2020年山东烟台高考4月诊断性测试数学试题-含答案

1、绝密启用前2020年山东省烟台市高考 4月诊断性测试数学试题注意事项：1 .本试题满分150分，考试时间为120分钟.2 .答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.3 .使用答题纸时，必须使用 0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单项选择题：本题共 合题目要求。1 .已知集合 Mx y ln(x 1) , N y yA. ( 1,0)B. ( 1,+ )2 .已知复数z满足(1 i) zA. 1 iB3 .设 X R,则 “ |x 2 | 1A.充分不必要条件C.充要条件4 .数列屋：F1 F2 1所著的算盘全书.若4

2、an ,则数列an的前50项和为A. 33B. 34umuum5 .设ABCD为平行四边形，|AB| 4, |AD|uum uuu uuu uuiu uuuruuu BM MC , AN 2ND ,则 NMgAMA. 23B. 178小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符ex ,则 M I NC. (0, + )D. R2i (i为虚数单位)，则 zC. 1 2iD. 1 2i是 “ x2 2x 3 0 ”的B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件Fn Fn 1 Fn 2 n 2 ,最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年Fn的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序

3、构成新的数列C. 49d. 506 , BAD .若点M , N满足3C. 15D. 96.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等， 则小球最终落入号球槽的概率为a.3B.”cT3264325 D.1622.A,B为切7 .设P为直线3x 4y 4 0上的动点，PA,PB为圆C：(X 2) y 1的两条切线,点，则四边形 APBC面积的最小值为A. 3b.2.3C. . 5D.2 5X X,一 e e8

4、.已知函数f(x) ex e x ,实数m, n满足不等式f(2m n) f (2 n) 0 ,则下列不等关系成 ex e x立的是a. m n 1b. m n 1C. m n 1 d. m n 1二、多项选择题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选又的得5分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分。9 . 2020年春节前后，一场突如其来的新冠IDS 223 24日？汩肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防 控就是责任.在党中央的坚强领导和统一 指挥下，全国人民众志成城、团结一心， 掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了 2月1

5、4日至A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据 该折线图，下列结论正确的是趋势且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和A, B是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线PA, PB的斜率分别为 K,七(耕2列说法正确的是0),若|k1| |k2| t恒成立，且实数t的最大值为乙近,则下32A.双曲线的方程为y2x y10.已知P是双曲线C: 1上任一点, m 13B.双曲线的离心率为 2C.函

6、数y loga(x 1)(a 0,a 1)的图象恒过C的一个焦点D.直线2x 3y 0与C有两个交点11.如图，在棱长为1的正方体ABCD ABiGD中，p,m分别为棱CD,CG的中点，q为面对角 线AB上任一点，则下列说法正确的是A.平面APM内存在直线与 AD1平行9B.平面APM截正方体ABCD ABGD1所得截面面积为-8C.直线AP和DQ所成角可能为60°D.直线AP和DQ所成角可能为30°12 .关于函数f (x) ex asinx, x (,)，下列说法正确的是A.当a1时，f (x)在(0, f (0)处的切线方程为2x y10b.当a1时，f (x)存在唯

7、一极小值点 小且1f (x0)0C.对任意a 0, f (x)在(，)上均存在零点D.存在a 0, f (x)在(，)上有且只有一个零点三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .已知 tan 2,贝Uc°s(2)214 . (x3 1)(2x ；)6的展开式中x3项的系数是(用数字作答)15 .已知点A, B,C在半彳5为2的球面上，满足 AB AC 1, BC J3 ,若S是球面上任意一点， 则三棱锥S ABC体积的最大值为216 .已知F为抛物线x 2py(p 0)的焦点，点A(1,p), M为抛物线上任意一点，|MA| |MF | 的最小值为3,则抛物线方程为

8、,若线段AF的垂直平分线交抛物线于P,Q两点，则四边形APFQ的面积为.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共 6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 . (10 分)已知 ABC的内角A, B,C所对的边分别为a,b,c , 2ac°sA T3(bc°sC+cc°sB).(1)求角A ;(2)若b 2后,BC边上的高为3,求c.18 . (12 分)已知等差数列备的前n项和为Sn,bn是各项均为正数的等比数列，&t4,ba8,115b13a 4,是否存在正整数k,使得数列一的刖k项和Tk 15 ,若存在，求出k的最小值;

9、&16若不存在，说明理由.从0 20,0 2a3,3a3 % 4这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作 答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19 . (12 分)(1)证明：GF平面PAC；若平面PAB 平面ABC, PA PB, PAAC BC, AB 2BC,求平面 EFG与如图，三棱锥P ABC中，点E , F分别是AB ,平面PFG所成的锐二面角的余弦值20. (12 分)推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布

10、表如下：得分30,40)40,50)50,60)60,70)70, 80)80,90)90,100男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试倩计其得分不低于(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”60分的概率；(得分不低于60分)和“不太了解”(得分彳氐于60分)两类，完成2 2列联表，并判断是否有 95%的 把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较J解男性女性(3)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 10*、人，连同n(n N )名男性调查

11、员一起组成 3个环保宣传队.若从这n 10人中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数的期望不小于2,求n的最小值.，、2附：K2 n(ad bC),(n a b c d).(a b)(c d)(a c)(b d)临界值表：2P(K2 30.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821. (12 分)已知函数 f(x) 1 1nx a(a R).x(1)若f(x) 0在(0,)上恒成立，求a的取值范围，并证明：对任意的n N ,都,111有 1 一 一 L 一 1n(n 1)；2 3n(2)设g(x)

12、(x 1)2ex,讨论方程f(x) g(x)实数根的个数.22. (12 分)22_已知椭圆C:x7 41(a b 0)过点M (2,72),且焦距为4. a b(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为直线l : y 2衣上一点，Q为椭圆C上一点，以PQ为直径的圆恒过坐标原点O .22(i)求OP 4OQ的取值范围；(ii)是否存在圆心在原点的定圆恒与直线PQ相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在,说明理由.参考答案一、单项选择题1. C 2. B 3. A 4. B二、多项选择题5. B 6. D 7. A8. C9. BC 10. AC 11. BC 三、填空题12. ABD13.514.

13、 3003+2、, 315.16.x2 4y 4%四、解答题17.解：(1)因为 2ac0sAJ3(bcosC+ccosB),由正弦定理得所以 2sin AcosA-3(sin BcosCsin C cos B)即 2sin Acos A73sin(B C),A,所以 sin(B C)sin(A) sin A所以 2sin AcosA所以所以cos AS ABC(2)因为1bcsin A 21a hC2将 b 2,3,hBC3,sin A 12代入,由余弦定理得b22c 2bc cos A ,(2,3)2 c22 2. 3 -3c2日10分18.解：设等比数列bn的公比为q（q 0）,则8qb

14、3 8q2 一一 一一一即c 9c 18 0,解得c 3或c 6.8 3 8q 4于是q, 2分1 22 q 二 q 二即6q q 2 0,解得 2 ,3 (舍去).4分-4 3_ b 2 S4 4a1 d 20若选：则a1 b4 2,2,解得d 2, 6分n(n 1)2S 2n2 n n所以2, 8分Sk1L + 一1k 110分（1151 -令 k 1 16,解得k 15,因为k为正整数，所以k的最小值为16.12分若选:则a1c 3 2 ,b 23a1d d 2(& 2d)d 2b4 2,2,解得 ai d 2卜同.若选：则a1b4 2 3(a1 2d)(4 3d) 8 解得 d

15、 3s于是2nn(n 1)4224 -nn2333注意到n(n 2)314(1 3)153(4 n(24)31-(1 -422),10分16,得 k 1 k 214,k为正整数，解得k7,所以k的最小值为7.12分19.解：(1)证明：延长EG交BC于点D,点D为BC的中点,因为D , E分别是棱BC , AB的中点，所以DE是ABC的中位线,所以DEAC,又DE平面PAC AC平面PAC所以DE/平面PAC同理可证EF / 平面 PAC又DE IEF E DE 平面 DEF,EF平面DEF所以平面DEF / 平面 PAC因为GF平面DEF ,所以GF /平面PAC .(2)连接PE,因为PA

16、 PB, E是AB的中点，所以PE AB,又平面PAB平面ABC,平面PAB I平面ABCAB, PE 平面 PAB,所以PE平面ABC.urn um以E为坐标原点，以向量 EB，EP所在的方向分别作为uur uuuy轴、z轴的正方向，以与向量eb, epE xyz垂直的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设 EB 1,则 E(0,0,0) , P(0,0,1),1 1f(0,2,2)G（"）uuu i iunr3 i uurrFE (0, 2, 2) FG (3。-)FP(0,1 12,2设平面EFG的一个法向量为 m (x, y,z), uuumgFE 0 y z 0

17、uuur_则 mgFG 0,即 x，3z 0令z 1,得y 1, x 73,于是取m (a1,1)又平面PFG的一个法向量为n (x1,y1,z1)uuin_n gFG 0x1 3z1 0uuu则n歼0,即y z1 0 ,令y1 1,得41, x1百，于是取n晨3,1,1）11分设平面EFG与平面PFG的所成的角二面角的大小为cos则cos m,nmgn|33m|n| 北而 512分所以平面CFG与平面EFG的所成的锐二面角的余弦值为20.解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为130 110 90 110 100 600.61000,故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概

18、率为0.6. 2分(2)由题意得列联表如下:不太了解比较J解男性250330女性1502702k 1000 (250 270 330 150)2 5 542K 2 的观测值400 600 420 580因为 5.542 3.841所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关(3)由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人.随机变量的所有可能取值为。1 2,3 ,其中P(0)C： 6C3C310P( 1)C： 6C：C3102)C P(C3,C33) TCn10所以随机变量0 3Cn 6c4C35 10c：Cn可得,6(n6)3(n6)(n20123PC： 6女C3Cn 1

19、0Cn 6北C3Cn 10C； 6c4C3Cn 10c3cn 6c3Cn 10的分布列为n 100CC4C3n 10c2 6c4C；1°C3-f6 3 2C35 1010分6c42C：63 2C3，、1，4(n 6)(n 5) -(n16)(n 5)(n 4) (n 10)(n 9)(n38)17n 72) 2(n 10)(n 9)(n 8)3(n 6) 2(n 10)解得n 212分21 .解:(1)由f(x) 0可得,1 1n x /a (x 0)xh(x)令1 1nx h(x)x ,则1x (1 In x) x1n x-2-x ,当 x (0,1)时 h(x) 0h(x)单调递

20、增，当(1,+ )时,h(x) 0 h(x)1分单调递减，故h(x)在x 1处取得最大值,1 1nx a 要使 x只需 a h(1) 1 ,故a的取值范围为1,1 ln x显然，当a1时,1,即不等式1nx1(n所以3In - L21nUn1即：3lln(n1)1 In x(2)由 f (x)g(x)可得,In x , (xx1)2ex,则当 x (0,1)时 t(x)(x1)21 In x(x 1)2ext(x)In x(x21)ex0, t(x)单增,(1+ )时，t(x)0, t(x)单减,故t(x)在x 1处取得最大值t(1) 1,又当x0时，t(x)，当x +时,t(x)6分8分10分11分所以，当a 1时，方程f(x) g(x)有一个实数解；当a 1时，方程f(x) g(x)有两个不同的实数解；当a 1时，方程f(x) g(x)没有实数解.12分22 .解：(1)将点的坐标代入椭圆 C的方程得4272a b2-2a b4 ,解得a2 8, b24 ,所以椭圆C的方程为