二元一次解法大全说课讲解

1、二元一次方程解法大全1 、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n 0) 的方程，其解为x=±根号下n+m.例 1 解方程(1 ) (3x+1)2=7 ( 2) 9x2-24x+16=11(3x-4)2 ，分析：(1 )此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。( 1)解：(3x+1)2=7 × (3x+1)2=5 3x+1=± ( 注意不要丢解) x=原方程的解为x1=,x2=( 2)解：9x2-24x+16=11 (3x-4)2

2、=11 3x-4= ± x=原方程的解为x1=,x2=2配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a 0)先将常数c 移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1 ： x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=b2-4ac 0 时， x+=± x=( 这就是求根公式)例2用配方法解方程3x2-4x-2=0( 注： X2 是 X的平方)解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1 ： x2-x=x2-x+()2=+()2然后计算判别式=b2-4ac 的值， 当 b2-4acx=

3、-b ± (b2-4ac)(1/2)/(2a),(b2-4ac方程两边都加上一次项系数一半的平方：配方： (x-)2=直接开平方得：x-= ± x=原方程的解为x1=,x2=.3 公式法： 把一元二次方程化成一般形式， 0 时，把各项系数a,b,c 的值代入求根公式0) 就可得到方程的根。例3用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-4 × 2× 5=64-40=24>0 x=(-b ± (b2-4ac)(1/2)/(2a)原方程的解为x1=,x2=.4

4、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例 4用因式分解法解下列方程：(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0(3)6x2+5x-50=0( 选学) (4)x2-2(+)x+4=0 (选学)(1) 解： (x+3)(x-6)=-8 化简整理得x2-3x-10=0( 方程左边为二次三项式，右边为零)(x-5)(x+2)=0( 方程左边分解因式) x-5=0 或 x+2=0( 转化成两个一元一次方程)

5、x1=5,x2=-2 是原方程的解。(2) 解： 2x2+3x=0x(2x+3)=0( 用提公因式法将方程左边分解因式)x=0 或2x+3=0( 转化成两个一元一次方程)x1=0，x2=- 是原方程的解。注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。(3) 解： 6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0( 十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 2x-5=0 或 3x+10=0 x1=,x2=- 是原方程的解。(4) 解： x2-2(+)x+4=0 (4 可分解为2· 2，此题可用因式分解法)(x-2)(x-2)=0 x1=2,x2=2

6、是原方程的解。小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是， 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元

7、法，配方法，待定系数法）。1、是方程组的解（）2、方程组的解是方程3x-2y=13 的一个解（）3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（）4、方程组，可以转化为（）5、若（a2-1）x2+（a-1）x+（2a-3）y=0 是二元一次方程，则a 的值为±1（）6、若x+y=0，且 |x|=2 ，则 y 的值为 2（）7、方程组有唯一的解，那么m的值为m -5 （）8、方程组有无数多个解（）9、 x+y=5 且 x， y 的绝对值都小于5 的整数解共有5 组（）10、 方程组的解是方程x+5y=3 的解， 反过来方程x+5y=3 的解也是方程组的解（）11、若 |a+5|=

8、5 ， a+b=1 则（）12、在方程4x-3y=7 里，如果用x 的代数式表示y，则（）二、选择：13、任何一个二元一次方程都有（）（ A）一个解；（B）两个解；（ C）三个解；（D）无数多个解；14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ A） 5 个（B） 6 个（C） 7 个（D） 8 个15、如果的解都是正数，那么a 的取值范围是（）（ A） a<2；（B）；（C）；（D）；16、关于x、 y 的方程组的解是方程3x+2y=34 的一组解，那么m的值是（）（ A） 2；（B） -1 ；（C） 1 ；（D） -2 ；17、在下列方程中，只有一个

9、解的是（）（ A）（B）（ C）（D）18、与已知二元一次方程5x-y=2 组成的方程组有无数多个解的方程是（）（ A） 15x-3y=6 （ B） 4x-y=7 （ C） 10x+2y=4（ D） 20x-4y=319、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）（ A）（B）（ C）（D）a、 b 的值等于（）20、已知方程组有无数多个解，则A） a=-3,b=-14 （ B） a=3,b=-7C） a=-1,b=9 （ D） a=-3,b=1421、若5x-6y=0 ，且 xy 0，则的值等于（）（ A）（B）（C） 1 （ D） -122、若x、 y 均为非负数，则方程6x=-7y 的解的情

10、况是（）（ A）无解（B）有唯一一个解（ C）有无数多个解（D）不能确定23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0 ，则 2x2-3xy 的值是（）（ A） 14（ B） -4（ C） -12（ D） 1224、已知与都是方程y=kx+b 的解，则k 与 b 的值为（）（ A），b=-4（ B），b=4（ C），b=4（ D），b=-4三、填空：25、在方程3x+4y=16 中，当 x=3 时， y=，当 y=-2 时， x=若 x、 y 都是正整数，那么这个方程的解为；26、方程2x+3y=10 中，当 3x-6=0 时， y=；27、如果0.4x-0.5y=1.2 ，那么用含有y 的

11、代数式表示的代数式是；28、若是方程组的解，则；29、方程|a|+|b|=2 的自然数解是；30、如果x=1 ， y=2 满足方程，那么a=；31、已知方程组有无数多解，则a=， m=；32、若方程x-2y+3z=0 ，且当 x=1 时， y=2，则 z=；33、若4x+3y+5=0，则 3(8y-x)-5(x+6y-2) 的值等于；34、若x+y=a， x-y=1 同时成立，且x、 y 都是正整数，则a的值为 ；35、从方程组中可以知道，x:z= ； y:z= ；36、已知a-3b=2a+b-15=1 ，则代数式a2-4ab+b2+3 的值为 ；四、解方程组37、；38、；39、；40、；4

12、1、；42、；43、；44、；45、；46、；五、解答题：47、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了式中的x 的系数，解得；乙看错了方程中的 y 的系数，解得，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；48、使x+4y=|a| 成立的x、 y 的值，满足(2x+y-1)2+|3y-x|=0 ，又 |a|+a=0 ，求 a 的值；49、代数式ax2+bx+c 中，当 x=1 时的值是0，在x=2 时的值是3，在x=3 时的值是28，试求出这个代数式；50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a 的值。2x+3y=6-6a ， 3x+7y=6-15a ， 4x+4y=9a+95

13、1、当a、 b 满足什么条件时，方程(2b2-18)x=3 与方程组都无解；52、 a、 b、 c 取什么数值时，x3-ax2+bx+c 程 (x-1)(x-2)(x-3) 恒等？53、 m取什么整数值时，方程组的解：1)是正数；2）是正整数？并求它的所有正整数解。54、试求方程组的解。六、列方程（组）解应用题55、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45 千米，就要延误30 分钟到达；若每小时行驶50 千米，那就可以提前30 分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？56、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全

14、部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？57、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10 米，那么甲跑5 秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2 秒钟，那么甲跑4 秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？58、甲桶装水49 升，乙桶装水56 升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。59、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走100 米，乙每分钟走110 米，丙每分钟走1

15、25 米，若丙遇到乙后10分钟又遇到甲，求A、 B 两地之间的距离。60、有两个比50 大的两位数，它们的差是10，大数的10 倍与小数的5倍的和的是11的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。【参考答案】1、 1、；2、；3、×；4、×；5、×；6、×；7、；8、；9、×；10、×；11、×；12、×；2、 13、D；14、B；15、C；16、A；17、C；18、A；19、C；20、A；21、A；22、B；23、B；24、A；3、 25、，8，；26、 2； 27、；28、 a=3， b=1 ；29、 3

16、0、；31 、 3， -432 、 1； 33、 20；34、 a 为大于或等于3 的奇数；35、 4:3 ， 7:936、 0；4、 37、；38、；39、；40、；41、；42、；43、；44、；45、；46、；5、 47、，；48、 a=-149、 11x2-30x+19 ；50、；51、，b=± 352、 a=6,b=11,c=-6 ；53、（1 ） m是大于-4 的整数，（2） m=-3， -2 ， 0，；54、或；6、 55、 A、 B 距离为 450 千米，原计划行驶9.5 小时；56、设女生x 人，男生y 人，57、设甲速x 米 /秒，乙速y 米 /秒58、甲的容量为

17、63 升，乙水桶的容量为84 升；59、 A、 B两地之间的距离为52875米；60、所求的两位数为52 和 62。二元一次方程组练习题100 道（卷二）一、选择题：1下列方程中，是二元一次方程的是（）A 3x 2y=4zB 6xy+9=0C +4y=6D 4x=2下列方程组中，是二元一次方程组的是（）AA有且只有一解B有无数解C无解D有且只有两解4方程y=1 x 与 3x+2y=5 的公共解是（）A5若x 2 +（ 3y+2） 2=0，则的值是（）A1B2C3D6方程组的解与x 与 y 的值相等，则k 等于（）7下列各式，属于二元一次方程的个数有（） xy+2x y=7；4x+1=x y；+

18、y=5； x=y；x2 y2=2 6x 2y x+y+z=1 y（ y 1 ） =2y2 y2+xA 1B 2C 3D 48 某年级学生共有246 人， 其中男生人数y 比女生人数x 的 2 倍少 2 人， ?则下面所列的方程组中符合题意的有（）A二、填空题9已知方程2x+3y 4=0，用含x的代数式表示y 为： y=；用含 y 的代数式表示 x 为： x=10在二元一次方程x+3y=2 中，当 x=4 时， y=；当y= 1 时， x=11若x3m 3 2yn 1=5 是二元一次方程，则m=， n=12已知是方程x ky=1 的解，那么k=13已知x 1 +（ 2y+1） 2=0，且2x k

19、y=4，则k=14二元一次方程x+y=5 的正整数解有15以为解的一个二元一次方程是16已知的解，则m=， n=三、解答题17当y=3时，二元一次方程3x+5y= 3 和3y2ax=a+2（关于x，y 的方程）?有相同的解，求a 的值18 如果 （ a 2） x+（ b+1 ） y=13 是关于 x， y 的二元一次方程，则 a， b 满足什么条件？19二元一次方程组的解x， y 的值相等，求k 20已知x， y 是有理数，且（x 1 ） 2+（ 2y+1 ） 2=0，则x y 的值是多少？21已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，?使它与已知方程所组成的方程组的解为22根据题意列出

20、方程组：（ 1）明明到邮局买0.8 元与 2元的邮票共13枚，共花去20 元钱，?问明明两种邮票各买了多少枚？（ 2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4 只，则有一鸡无笼可放；?若每个笼里放 5 只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？23 方程组的解是否满足2x y=8？满足2x y=8 的一对x， y 的值是否是方程组的解？24（开放题）是否存在整数m，使关于x 的方程2x+9=2（m 2） x 在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x 的解吗？答案：一、选择题1 D 解析：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：含有两个未知数；含有未知数的项的次数是1；等式两边都是整

21、式2 A解析：二元一次方程组的三个必需条件：含有两个未知数，每个含未知数的项次数为1；每个方程都是整式方程4 C解析：用排除法，逐个代入验证5 C解析：利用非负数的性质6 B7 C解析：根据二元一次方程的定义来判定，?含有两个未知数且未知数的次数不超过1 次的整式方程叫二元一次方程，注意整理后是二元一次方程8 B二、填空题9 101011，2 解析：令3m 3=1， n 1=1，m=， n=2121 解析：把代入方程x ky=1 中，得2 3k=1，k= 113 4解析：由已知得x 1=0， 2y+1=0， x=1， y=，把代入方程2x ky=4 中， 2+k=4，k=1 14解：解析：x+

22、y=5，y=5 x，又x， y 均为正整数， x 为小于 5 的正整数当x=1 时，y=4；当x=2 时， y=3；当 x=3， y=2；当x=4 时， y=1 x+y=5 的正整数解为15 x+y=12 解析：以x 与 y 的数量关系组建方程，如2x+y=17， 2x y=3 等，此题答案不唯一16 14解析：将中进行求解三、解答题17解：y= 3 时，3x+5y= 3，3x+5 ×（3） = 3，x=4，3x+5y=? ?3?和 3x 2ax=a+2 有相同的解， 3×（3）2a× 4=a+2，a=18解：（a 2） x+（ b+1） y=13 是关于 x，

23、y 的二元一次方程，a20，b+10，? a2，b1解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0（?若系数为0，则该项就是0）19解：由题意可知x=y，4x+3y=7 可化为4x+3x=7， x=1， y=1 将x=1 ， y=?1?代入kx+（ k 1） y=3 中得 k+k 1=3， k=2 解析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值20解：由（x 1 ）2+（2y+1）2=0，可得x 1=0 且2y+1=0，x=± 1，y=当 x=1， y=时，x y=1+=；当 x= 1 ， y=时，x

24、 y= 1+=解析：任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0，则这两非负数（x 1） 2 与（ 2y+1 ） 2 都等于0，从而得到x 1=0， 2y+1=021解：经验算是方程x+3y=5 的解，再写一个方程，如x y=322（1 ）解：设0 8 元的邮票买了x 枚， 2 元的邮票买了y 枚，根据题意得（ 2）解：设有x 只鸡， y 个笼，根据题意得23解：满足，不一定解析：的解既是方程x+y=25 的解，也满足2x y=8， ?方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2x y=8 的解有无数组，如 x=10， y=12，不满足方程组24解：存在，四组原方程可变形为mx=7，当

25、m=1时，x=7；m=1 时，x=7；m=?7时，x=1 ；m=7 时x=1 二元一次方程应用题题型一：配套问题1某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖 5 只 . 现计划用132 米这种布料生产这批秋装（ 不考虑布料的损耗） ，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？题型二：年龄问题2甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4 岁”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61 岁”请你算一算，甲、乙现在各多少岁？题型三：百分比问题3有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银 30%的合金100 千克，甲、乙两种合金各应取多少？题型四：数字问题4有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.题型五：古算术问题5巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。364只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧。诗句的意