九年级春季班第9讲：相似三角形的存在性问题(教案教学设计导学案)

1、若与相似，理论上应有六种可能情况， 但在中考中， 6 种情况未免过于复杂， 所以题目中一般都还会隐含 （或明示） 着其中一组对应角关系， 于是就只需讨论 两种情况是否可能，并解出相关结果可以将相似三角形的存在问题大致分为两类： 以函数为背景的和以几何为背 景的。相比而言， 以函数为背景的题目往往计算过程较为复杂， 但思维过程相对 简单，需要的是仔细认真； 而以几何为背景的题目思维过程更为复杂， 需要相对 高的几何能力1、 知识内容： 在纯几何问题中， 证明三角形相似主要有三种方法： 两组角对应相等； 一组角相等 且其两边对应成比例；三组边对应成比例 在以函数为背景的压轴题中，基本都属于第二种情

2、况，其他两种出现较少。若与相似， 且，则可能有两种情况：； 2、 解题思路：（1）寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角；（2）计算或表示出夹此两角的四条边中的三条；（ 3） 解出第四条边，并代回题面进行验证，舍去多余情况例 1】 如图，在平面直角坐标系中，双曲线（）与直线y = x 2 都经过点A（2，m）（1）求 k 与 m 的值；（2）此双曲线又经过点 B（n，2），过点 B的直线 BC与直线 y = x2平行交 y轴于点C，联结 AB、 AC，求的面积；（3）在（ 2）的条件下，设直线 y = x2与 y轴交于点 D，在射线 CB上有一点 E，如 果以点 A、 C、 E 所组成的三角形

3、与相似，且相似比不为1，求点 E 的坐标【答案】（1）k = 8，m = 4；（2）8；（3）（10，8）【解析】（ 1）将 A（2，m）代入 y = x + 2，得 m = 4；将 A（ 2， 4）代入，得 k = 8；（2）将 B（n，2）代入，得 n = 4；设 BC 为，将 B（4， 2）代入，得，直线 BC 解析式为C点为（ 0，）的面积为；（ 3）D 点坐标为（ 2，0），的三个角各不相等，且为公共角，当与相似时，或当时，相似比为，不合题意，舍去；当时，E 点坐标为（ 10，8）【总结】 本题一方面考查函数解析式与点的坐标的关系， 另一方面考查几何图形的面积的确 定以及相似三角形的

4、存在性，注意根据公共角去分类讨论例 2】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 y = ax2bx（ a > 0）经过 点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO = BO = 2， AOB = 120 °（ 1）求这条抛物线的表达式；（ 2）连结 OM，求 AOM 的大小；（ 3）如果点 C在 x轴上，且与相似，求点 C 的坐标答案】（1）；（ 2）；（ 3）（4，0）或（ 8，0）解析】解：（ 1）， A点坐标为， B 点坐标为代入， 解得：，抛物线解析式为：（2）过 M 作 MF OB 于 F，点 M 的坐标为，（3）， C 点在 B 点右侧，与为对应角

5、， 分情况讨论： 时，C 点坐标为（ 4，0）； 时，C 点坐标为（ 8，0）综上所述， C 点坐标为（ 4， 0）或（ 8， 0）方面考【总结】 本题一方面考查二次函数背景下的角度的确定， 注意对特殊角的发掘， 查相似的分类讨论，先找到相等的角，再分类讨论【例3】 如图，平面直角坐标系 xOy中，已知 B（， 0），一次函数的图像与 x轴、y 轴分别 交于点 A，C 两点二次函数的图像经过点 A、点 B（ 1）求这个二次函数的解析式；（2）点 P 是该二次函数图像的顶点，求的面积；（3）如果点 Q在线段 AC 上，且与相似，求点 Q的坐标【答案】（ 1）；（2）15；（3）（，）或（ 2，3

6、）【解析】（1）直线，当时，得；当时，得；A（5，0） C（0， 5） 二次函数的图像经过点 A（5， 0）、点 B（， 0），解得：；二次函数的解析式为（ 2）由，由题意得顶点 P（2， 9） 设抛物线对称轴与 x 轴交于 G 点，（ 3） CAB = OAQ， AB = 6，AO = 6，AC =，1 ，（，）；2 ，（2，3），当点 Q 的坐标为（， ）或（ 2，3）时，与相似 【总结】 本题主要考查二次函数背景下的面积问题及相似三角形的存在性问题， 注意求面积 的常用方法及相似的分类讨论例 4】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 过点 A（3， 0）、B（0，m）（），.

7、（ 1）求直线 AB 的表达式；（2）反比例函数的图像与直线 AB交于第一象限内的 C、D两点（ BD < BC），当AD = 2DB 时，求的值；（3）设线段 AB 的中点为 E，过点 E 作 x轴的垂线，垂足为点 M，交反比例函数的图 像于点 F ，分别联结 OE、OF，当时，请直接写出满足条件的所有的值答案】（1）；（2）；（3）或解析】解：（ 1），（2），；（3），1 当时，；2 当时，；综上：或 另一方面考查了【总结】 本题综合性较强， 一方面考查了锐角三角比在函数背景下的运用， 点的坐标与距离间的关系，注意对符号的判定1、 知识内容： 在以几何为背景的此类压轴题中， 几何推

8、导的过程较为复杂， 往往需要多次运用边、 角 关系的代换才能得到最终结果； 在计算上也经常需要借助函数、 方程的思想， 来求得最后的 解答。2、 解题思路：（1）寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角；（2）计算或表示出夹此两角的四条边；（ 3） 根据比例关系列出方程，解出未知边的长度等要求，并代回验证例5】 如图 1，已知梯形 ABCD中，AD/BC，AB = DC = 5，AD = 4M、N分别是边 AD、 BC 上的任意一点， 联结 AN、DN点 E、F 分别在线段 AN、DN 上，且 ME /DN ，MF /AN， 联结 EF （ 1）如图 2，如果 EF/BC，求 EF 的长； （2

9、）如果四边形 MENF 的面积是面积的，求 AM 的长；（3）如果 BC = 10 ，试探求、能否两两相似？如果能，求 AN 的长；如果不能，请说 明理由答案】（1）EF的长是 2；（2） AM的长为 1或 3；（3）解析】解： （ 1） EF/BC，AD/BC， EF/AD， 又 EM/ND ， FM /NA， ，即 AM=MD AE=EN， DF =FN2) EM/DN ，MF / AN，又，或 AM 的长为 1 或 3（ 3）先考虑与，或分情况讨论1 时，可得：过 A 作 AH BC 于 H，可得：，又，当，时，三个三角形两两相似2 时，可得，与情况相同 综上所述，【总结】 本题综合性较

10、强， 考查了梯形背景下的面积问题及相似三角形的存在性问题， 注意 利用梯形的性质进行分析例6】 如图 1，已知在直角梯形 ABCD 中， AD /BC， ABC = 90°， AB = 4，AD = 3， 点 P 是对角线 BD 上一动点，过点 P 作 PH CD，垂足为 H（ 1）求证： BCD = BDC ；（ 2）如图 1，若以 P 为圆心、 PB 为半径的圆和以 H 为圆心、 HD 为半径的圆外切时， 求 DP 的长；（3）如图 2，点E在BC的延长线上，且满足 DP = CE，PE交DC于点 F，若和 相似，求 DP 的长图1图2解析】（ 1）略；（2）DP 的长为；（3）

11、 DP 的长为 解析】解： （ 1）作 DGBC于 G，可得， ， BCD BDC （ 2）设 DP=x，则， ，两圆外切，解得：；（3）作 PM/BE，PM=DP=x，由，当时，即，解得： （舍）；当时，即，解得： ； DP 的长为例7】 如图，已知 BC 是半圆 O 的直径，过线段 BO 上一动点 D，作交半圆 O 于点 A， 联结 AO，过点 B作，垂足为点 H，BH 的延长线交半圆 O于点 F（ 1）求证：；（ 2）设，求关于的函数关系式；（ 3）如图 2，若联结 FA 并延长交 CB 的延长线于点 G ，当与相似时，求 BD 的长度答案】（ 1）略；（ 2）；（3） BD = 解析】

12、（ 1）证明： ADBC ，BHAO ， ADO =BHO = 90° 在 ADO 与 BHO 中， ADO BHO， OH = OD又OA = OB， AH = BD；（ 2）联结 AB、 AFAO 是半径， AO 弦 BF， AB=AF ， ABF=AFB在 RtADB 与 RtBHA 中， RtADB RtBHA ， ABF=BAD ， BAD =AFB 又 ABF =EBA， BEABAF， ， ， ADO =ADB =90° ，= 直径 BC = 8，BD =，（3）联结 OFGFB 是公共角， FAE >G当 FAEFBG 时， AEF =G BHA =A

13、DO = 90°AEF +DAO = 90 °，AOD +DAO = 90°AEF =AODG =AODAG = AO = 4AOD =AOFG =AOF ，又 GFO 是公共角 FAO FOG，AB = AF ， 解得：是原方程的解> 4，舍去，BD=主要运用了圆心角定理、【总结】本题主要考查圆背景下的函数解析式及相似的存在性问题， 全等的性质、勾股定理及相似三角形的判定等知识点例8】 如图，在中， ，BC = 7，点 D 是边延长线上的一点， AEBD，垂足为点 E，AE的延长线交 CA 的平行线 BF 于点 F，联结 CE 交 AB于点 G（1）当点

14、E是 BD 的中点时，求的值；（ 2）的值是否随线段 AD 长度的改变而变化，如果不变，求出的值； 如果变化，请说明理由；（ 3）当与相似时，求线段 AF 的长答案】（1）；（2）；解析】解：（ 1）AEBD，BE=DE， AB=AD， BC=7， AEBD ， BF CD ，；（ 2）的值不变，又，；（3）与相似，又，又， ，过点 B作 BHCE 于点 H，习题 1】 已知抛物线（）经过 A（，0）、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C （ 1）求抛物线（）的解析式，并求出顶点P 的坐标；（ 2）求 APB 的正弦值；（3）直线与 y轴交于点 N，与直线 AC 的交点为 M，当与相似 时，

15、求点 M 的坐标答案】（1）（1，）；（2）；（3）M 点坐标为或解析】解： （ 1）将 A、 B两点代入，解得： ，抛物线为，顶点 P 的坐标为（ 1，）；（2）作 AHBP 于 H，可得：（3）为直角三角形，为直角三角形，点 M 在 C 的左侧或又，或 M 点坐标为或【总结】本题综合性较强， 考查的内容比较多， 包含了二次函数的解析式及顶点坐标的确定， 还有几何图形的面积的确定， 以及相似背景下的点的坐标的确定， 解题时注意进行分析， 不 要漏解【习题 2】 如图，已知矩形 ABCD 中，AB = 12 cm，AD = 10 cm， O与 AD、AB、 BC三边 都相切，与 DC 交于点

16、E、F已知点 P、Q、R分别从 D、A、B 三点同时出发， 沿矩 形 ABCD 的边逆时针方向匀速运动，点 P、Q、R 的运动速度分别是 1 cm/s、x cm/s、 1.5 cm/s，当点 Q 到达点 B时停止运动， P、R两点同时停止运动设运动时间为t（单位： s）（ 1）求证： DE = CF ；（2）设 x = 3，当与相似时，求 t的值；（3）设关于直线 PQ 对称的图形的，当 t和 x 分别为何值时，点 A与圆 心 O 恰好重合，求出符合条件的 t、 x 的值答案】（1）略；（2）t 的值为或；（3），解析】（ 1）设 O分别切 AD、AB、 BC于 M、N、T，作 OHDC 于H

17、，连接 OM 、OT、OD、OC，EH = FH ，四边形 ABTM 为长方形AM = BT DM = CT又 OM = OT，OD = OC DH = CH DE = CF（ 2）当时，且，或或解得：（负舍）或当与相似时， t 的值为或（ 3）连接 AO， MN，四边形 MANO 为正方形，MN 垂直平分 AO，即 A、O 两点关于直线 M、N对称符合条件时， P在 M 点，Q 在N 点此时，总结】本题综合性较强，主要考查动点背景下的相似问题，注意分类讨论作业1】如图，中， C = 90°， A = 30°， BC = 2，CD 是斜边 AB上的高，点 E为边 AC 上一

18、点（点 E 不与点 A、C 重合），联结 DE ，作 CFDE，CF 与边 AB、线段 DE 分别交于点 F、 G（ 1）求线段 CD 、AD 的长；（2）设 CE = x，DF = y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （ 3）联结 EF，当与相似时，求线段 CE 的长答案】（1），；（2）（）；（ 3） CE 的长为或 解析】解： （ 1） CDAB，（2），（）；（ 3），分情况讨论： 时， EF/DC，即解得：时，又 CF DE，综上所述： CE 的长为或【总结】 本题主要考查直角三角形背景下的相似三角形的存在性问题，注意对基本模型的归纳总结，解题时注意进行分类讨论作业 2】 如图，在中，点 D 是边 AC 上的一点， AD = 8点 E是边 AB 上一点，以点 E 为圆心， EA 为半径作圆，经过点 D点 F