MATLAB实现抽样定理探讨及仿真剖析

1、应用MATLAB实现抽样定理探讨及仿真课程设计的目的利用MATLAB仿模信号抽样与恢复系统的实际实现，探讨过抽样和欠抽样的信号以及抽样与恢 复系统的性能。二. 课程设计的原理f(t)连续信号取样脉冲信号S(t)二 Ts (t)模拟信号经过(A/D)变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延 拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大 于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号J恢复原信号 :必需满足两个条件：(1)-:必须是带限信号，其频谱函数在也叫各处为零；(对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样

2、定理。)(2)取样频率不能过低，必须q> 2 % (或J； > 2人)。(对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。)如果采样频率二 Jl' ' J-大于或等于二，即一 Xi ( I为连续信号门的有限频谱)，则采样离散信号；能无失真地恢复到原来的连续信号-'Il。一个频谱在区间(-I,】)以外为零的频带有限信号,可唯一地由其在均匀间隔-(< )上的样点值-./J.：所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时fs'tU等抽样频率时的抽样信号及频谱(不混叠)a)(c)b)高抽样频率时的抽样信号及频谱(不混叠)c)低抽样

3、频率时的抽样信号及频谱2.1信号采样如图1所示，给出了信号采样原理图北)T相乘A昭)信号采样原理图由图1可见，fs(t) = f (t) ®s(t),其中，冲激采样信号 6s(t)的表达式为:0T(t)八沁- nTs)n=0其傅立叶变换为-召('- ns)，其中 - n=Ts设 F(j )，Fs(j )分别为 f (t)，fs(t)的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得Fs(j )12O01 O0F(j s ' 、( 一 n 上)' Fj(一 ns) n - ；Ts n -I若设f(t)是带限信号，带宽为 監，f(t)经过采样后的频谱 Fs(j

4、1;)就是将F(jco)在频率轴上搬移至0,一 1，二2s，厂ns，处(幅度为原频谱的1 Ts倍)。因此，当 2 -m时，频谱不发生混叠；而当，s ： 2 'm时，频谱发生混叠。信号重构设信号f(t)被采样后形成的采样信号为fs(t)，信号的重构是指由fs(t)经过内插处理后，恢复出原来信号f (t)的过程。又称为信号恢复。若设f (t)是带限信号，带宽为-，经采样后的频谱为 Fs(j，)。设采样频率s_2，m，则由式(9)知Fs(j )是以就为周期的谱线。现选取一个频率特性Ts0(其中截止频率满足，亍)的理想低通滤波器与Fs(j )相乘，得到的频谱即为原信号的频谱F(j )。显然，F

5、(jJ =Fs(j JH( j )，与之对应的时域表达式为(10)f(t)=h(t)* fs(t)而fs(t) = f(t)L (t -nTs) <nTs) (t- nTs)n =3Q1«ch(t)二 F H (j )二Ts Sa( .t)兀将h(t)及fs(t)代入式(10)得.t f (t)二 fs(t)*Ts=Sa( ,t)J，f( nTs)Sa c(t-nTs)( 11): : n =式(11)即为用f( nTs)求解f(t)的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数Saf ct)在此起着内插函数的作用。三、抽样定理的仿真和探讨Sa(t)的临界采样及

6、重构图当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即匕=2，m时，称为临界采样.修改门 信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号 与误差信号的变化。程序运行结果:3.1.2 Sa(t)的过采样及重构当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即S 2'm时，称为过采样.在不同采样频率的条件下， 观察对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。程序运行结果：sa(t=sinct/pi的黒 信号-10-8-64-20246310t詢tFsigt/pi)的采样信号詩 Q 卜片+-J._J-=-，2 1iiiii-10-6-64

7、-20246810过采样信号=|原信号的溟差error(t)的欠采样及重构当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即 匕：2 .m时，称为过采样。利用频域滤波的方法修改实验中的部分程序，完成对采样信号的重构。程序运行结果：sa(t)=sinc(t/pi| 的原信号-20-15-10-505101520KTs由S8(t)=sinc(t/pi)的欠采样信号重构间t)2*20*15-10-505101520误差分析：绝对误差error已大为增加，其原因是因采样信号的频谱混叠，使得在co <©c区域内的频谱相互“干扰”所致。四、课题研讨的小结该课程设计使我们对采样定理的一些基本公

8、式得到了进一步巩固。在整个实验过程中，我们查阅了很多相关知识，从这些书籍中我们受益良多。虽然学习过采样过程和恢复过程，但是认识不深， 实践能力也有所欠缺，通过这次实验对采样过程和恢复过程有了进一步掌握。通过实验的设计使我们对采样定理和信号的重构有了深一步的掌握，也让我们在实践的过程中了解到团队合作的重要性。虽然在实验过程中出现很多错误，但是在老师的帮助和团队成员的齐心 协力下，不断的修正错误，同时也学会了MATLAB信号表示的基本方法及绘图函数的调用。虽然刚开始我们对 MATLAB勺基本使用方法没有太深刻的认识，但是该实验使我们对MATLAB函数程序的基本结构有所了解，也提高了我们独立完成实验

9、的能力和理论联系实际的应用能力。通过这次课程设计，我们不仅学到了学科知识，锻炼了实践能力，更重要的是学到了学习的方法和团队合作的重要性。我们团队分工有序，每个人都能按时完成各自的任务。在遇到问题时，大家都能够互相理解，互相帮助，最后圆满完成课题！附录:Sa(t)的临界采样及重构1.Sa(t)的临界采样及重构程序代码;wm=1;wc=wm;Ts=pi/wm; ws=2.4*pi/Ts; n=-100:100;nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-

10、nTs'*ones(1,length(t); subplot(311);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)grid;的原信号');t1=-20:0.5:20; f1=sinc(t1/pi); subplot(312);stem(t1,f1); xlabel('kTs'); ylabel('f(kTs)'); title('sa(t)=sinc(t/pi) grid;subplot(313);plot(t,fa)x

11、label('t'); ylabel('fa(t)');title(' 由 sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');的临界采样信号重构sa(t)');grid;2.程序运行运行结果图与分析sa(t=sinc(t/pi)的原信号kTst图Sa(t)的临界采样及重构图t选取的运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算岀两信号的绝对误差。当 数据越大，起止的宽度越大。二、Sa(t)的过采样及重构1.Sa(t)的过采样及重构程序代码；wm=1;wc=1.1*wm;Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts

12、;n=-100:100;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10; fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);subplot(411);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信号');grid;error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f仁 sinc(t1/pi);subp

13、lot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title(' 由 sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构 sa(t)');grid;subplot(414);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(

14、t)');title('过采样信号与原信号的误差error(t)');grid;2.程序运行运行结果图与分析。sa(t)=sinc(t/pi)的馬信 号过采样倍号与原材号的误差error(t)图Sa(t)的过采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图时,运行分析：将原始信号分别修改为抽样函数Sa(t)、正弦信号sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指数信号e-2tu(t)在不同采样频率的条件下，可以观察到对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。三、Sa(t)的欠采样及重构1.Sa(t)的欠采样及重构程序代码；wm=1;wc=wm;Ts=2.

15、5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t); error=abs(fa-sinc(t/pi);subplot(411);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信号');grid;t1=-20:0.5:20;

16、f1=sinc(t1/pi);subplot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号 sa(t)');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title(' 由 sa(t)=sinc(t/pi)的欠采样信号重构sa(t)');grid;subplot(414);plot(t,error);xlabel('t');ylabel(