2021九年级中考第一轮必刷题：20直角三角形与勾股定理(解析版)

1、第20课时直角三角形与勾股定理一、选择题1、2021?渝北区如果以下各组数是三角形的三边，那么能组成直角三角形的是A. 1，.小 2B. 1, 3, 4C. 2, 3, 6D. 4, 5, 6【答案】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【解析】A、12+ 一匚2= 22,故是直角三角形，故此选项正确；2、2021?益阳 M、N是线段AB上的两点，AM = MN = 2, NB = 1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点 C,连接AC, BC,那么厶ABC 一定是A 锐角三角形B 直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】

2、B【解析】如下图， AC= AN= 4, BC= BM= 3, AB= 2+2+1 = 5,ac2+bc2= AB2, ABC是直角三角形，且/ ACB = 90°应选：B.3、 2021咸宁勾股定理是 人类最伟大的十个科学发现之一 .我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽 在注解?周髀算经?时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为赵爽弦图 .2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽以下图案中是赵爽弦图的是【答案】B【解析】解：赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如下图：应选：B.4、2021 广元如图, ABC 中，/ABC = 90:BA = B

3、C = 2,将厶 ABC绕点C逆时针旋转60°得到 DEC,连接BD,那么BD2的值是IX【答案】8+4.3【解析】连接AD,过点D作DM丄BC于点M,DN丄AC于点N,易得 ACD是等边三角形，四边形BNDM是正方形，设 CM = x,那么 DM = MB = x+2, / BC = 2,CD = AC = 2'、.2,.在 Rt MCD 中，由勾股定理可求得,x = -/3 - 1 ,DM = MB = -3+1 ,在 Rt BDM 中,BD2= MD2+mb2= 8+4肩5、2021益阳 M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2 , NB = 1,以点A为圆心，AN长为

4、半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC、BC,那么 ABC 定是A.锐角三角形B.直角三角形C钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如下图， AM=MN=2 , NB = 1, AB=AM=MN+NB = 2+2+1=5 , AC=AN=AM+MN=2+2=4, BC=BM=BN+MN1+2=3 AB25225, AC24216, BC2329,. AC2 BC2 AB2, ABC 是直角三角形.6、2021宁波勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书?周髀算经?中早有记载如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2的方式

5、放置在最大正方形内.假设知道图中阴影局部的面积，那么一定能求出B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠局部的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解析】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,那么 S 阴影=c2 a2 b2+b(a+b c),由勾股定理可知,c2=a2 b2, S阴影=c2 a2 b2+s重叠=S重叠，即S阴影=S重叠，应选C.7、2021毕节市积为A .3C. -5【答案】B 如图，点E在正方形B 3D 5ABCD的面B = 90° BC2= EC2-EB2 = 22 - 12= 3,【解析】四边形ABCD是正方形，/正方形ABCD的面积=B

6、C2= 3.应选：B.8、2021?南岸区如图，在 Rt ABC 中，/ A= 90° / C= 30° BC 的垂直 平分线交AC于点D,并交BC于点E,假设ED = 3,那么AC的长为A . 3 ；B . 3C. 6D. 9【答案】D .【解析】 DE是线段BC的垂直平分线， DC = DB , DE 丄 BC,A.直角三角形的面积/ C= 30°BD = DC = 2DE = 3,/ DBC = Z C= 30°在厶 ABC 中，/ A= 90° / C= 30°/ ABC = 60°/ ABD = 60°

7、- 30°= 30° AD = BD = 3,2 AC = DC+AD = 9,应选：D.9、2021湖州在数学拓展课上，小明发现：假设一条直线经过平行四边形对角线的交点，那么这条直线平分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形.P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点那么剪痕的长度是)A . 2.2B .53；5C .2D .P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两局部,P【答案】D .【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心O,作直线OP，得线段AB,那么沿折痕AB裁剪，即可将该图形面积两等分.过点 A作AC丄BD于点C

8、,那么/ ACB= 90°由中心对称的性质可知， BD = EF = AG,从 而BC = 1.又AC = 3，故在Rt ABC中，由勾股定理，得 AB = 、32 12 = 10 . 应选D .、填空题10、2021宜宾如图，直角ABC 中,【答案】世【解析】解：在 Rt ABC中，AB AC2 BC25,165【答案】5、22cm 结果保存根号图图由射影定理得， AC2 ADgAB ,2,AC 16 f话宀、rAD，故答案为:AB 511、2021苏州七巧板是我们祖先的一项卓越创造可以拼出许多有趣的图形，被誉为东方魔板图是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的七巧板图是用该

9、七巧板拼成的一个家的图形 该七巧板"中7块图形之一的正方形边长为【解析】此题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形与等腰三角形全等，且它们的斜边长都为1厂10=简，设正方形阴影局部的边长为xcm，那么=sin455°丄，解得2x=丄2，故答案为252212、2021枣庄把两个同样大小含个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点45。的三角尺按如下图的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另CD =【答案】 6 2 1【解析】在等腰直角 ABC中，/ AB = 2,二BC = 2 2 ,过点A作AM丄BD于点M,那么AM = MC =-BC =

10、2 ,2在 Rt AMD 中,AD = BC = 2.2 ,AM = 2，- MD = . 6 ,二 CD = MD MC = .6 2 .13、 2021南京无盖圆柱形杯子的展开图如下图.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的局部至少有cm.【答案】5【解析】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：-门亠4 -15,那么筷子露在杯子外面的筷子长度为：20 - 15= 5 cm.故答案为5.14、 2021哈尔滨如图将 ABC绕点C逆时针旋转得到厶 A B'其中点A与A是对应点，点B与B是对应点，点B'落在边AC上,连接A B假设/ ACB=45 ,AC=3,

11、BC=2,那么A'B的长为.【答案1 :13【解析】解：将 ABC绕点C逆时针旋转得到厶ABC,AC= A'C = 3，/ ACB =Z ACA'= 45°/ A'CB = 90°A'B= - BC A C = -. 13故答案为,1315、2021海南如图，将 RtA ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转0 < <90 °得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转【答案】帀【解析】+(0 °< <90°)得到 AF,连接 EF假设 AB = 3,AC = 2,且 + =/ B,那么 EF=

12、2,. EF= . AE2 AF 2 =帀16、2021大庆我国古代数学家赵爽的勾股方圆图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼 成的一个大正方形如下图.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b那么a b2的值是【答案】1【解析】a b2 =护+匕2 2ab其中，由勾股定理可得，a2+b2= 13,直角三角形面积=(13 1)呜=3,即1ab2所以 ab= 6 所以(a b)2= a2+b2 2ab= 13 12= 117、 2021北京市如下图的网格是正方形网格，那么PAB+ PBA =(点A , B , P是网格线交点第12题图【答案】45&

13、#176;【解析】如图12-1，延长AP至C,连结BC.设图中小正方形的边长为 1,由勾股定理得pc2 12山月2 2 2 2 2 2 225, BC 125 , PB 1310;2 2 2二PC BC PB，且PC BC .即厶PBC为等腰直角三角形，/ 由三角形外角的性质得PAB+ PBA MPC 45 .18、 2021巴中如图，等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP假设 AP = 6,BP= 8,CP= 10,那么 Ssbp+Smpc =【答案】16 3+24BPC=45° .【解析】将厶ABP绕点B顺时针旋转60°到厶CBP'，连接PP

14、9;所以BP = BP', / PBP'= 60°,所以 BPP是等边三角形，其边长 BP 为 8,所以 Sbpp' = 16 .3,因为 PP= 8,P'C= PA= 6,PC= 10所以是直角三角形 $ pp'c= 24,所以 Saabp+Sbpc = Sbpp'+Spp'c= 16r：3+24.19、2021黔东南三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点 B 在 ED 上, AB / CF, / F =/ ACB = 90° / E = 45° / A= 60

15、76; AC = 10,那么 CD 的长度是 【答案】15 - 5【解析】解：过点 B作BM丄FD于点M ,在厶 ACB 中，/ ACB = 90° , / A = 60° , AC= 10 ,/ ABC = 30° , BC= 10Xtan60 = 10,/ AB / CF , BM = BCXsin30 ° 辺屈兀;：5必，CM = BCcos30 = 15,在厶 EFD 中，/ F = 90°,/ E= 45°,/ EDF = 45°,MD = BM= 5 护:鸟 CD = CM - MD = 15 - 5、'

16、/耳故答案是：15 - 5/二.三、解答题20、(2021巴中)如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A,B作AE丄直线m于点E,BD丄直线m与点D.(1) 求证:EC = BD;(2) 假设设 AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理证明：(1)v ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90 °,AC = BC, / ACE+ / BCD = 90 °,/ AE 丄 EC, / EAC+ / ACE = 90°，/ BCD =/ CAE,/ BD 丄 CD, / AEC = / CDB = 90°, AEC CDB(AA

17、S), EC= BD.(2)v AEC 也厶 CDB, AEC 三边分别为 a, b, c, BD = EC= a,CD = AE = b,BC = AC = c, S梯形1(AE+BD)ED1一 (a+b)(a+b),211 2 1S 梯形 ab+ c2 + ab,22 2111 2 1 _ (a+b)(a+b) ab+ c2+ ab,222 2整理可得a2+b2= c2,故勾股定理得证21、( 2021龙东地区)如图，在 ABC中，AB = BC, AD丄BC于点D , BE丄AC于点E, AD与BE交于点F , BH丄AB于点B,点M是BC的中点，连接 FM并延长交BH于点H .(1)

18、如图所示，假设/ ABC = 30°求证：DF + BH =bd ；3(2) 如图所示，假设/ ABC = 45°如图所示，假设/ ABC = 60° (点M与点D重合)，猜测线段DF , BH ,BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜测，不需证明.CC【解题过程】解：(1)证明：连接CF AB=BC，/ ABC=30BAC= / ACB=75 .BE丄AC , BE垂直平分 AC ,/ AD 丄 BC,： / ADB=90，/BAD=60 , / DAC=15 / AB=BC , AF=CF , / ACF= / DAC=15,/ BCF=75 -15 &

19、#176;60° ,/ BH 丄 AB , / ABC=30 , / CBH=60 , / CBH= / BCF=60 在厶 BHM 和厶 CFM 中，/ CBH= / BCF ,BM=CM , / BMH= / CMF , BHM CFM , BH=CF, BH=AF , AD=DF+AF=DF+BH.在 Rt ADB中,/ ABC=30 , AD=J3 DF + BH = BD3(2)图猜测结论：DF + BH = BD;图猜测结论：DF + BH = . 3 BDC22、( 2021 十堰)如图 1, ABC 中，CA = CB , / ACB= a, DABC 内一点，将厶 CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 a得到 CBE ,点A , D的对应点分别为点 B , E ,且A , D , E三点在同一直线上.(1 )填空：/ CDE = (用含a的代数式表示)；(2)如图2,假设a= 60°请补全图形，再过点 C作CF丄AE于点F ,然后探究线段 CF , AE , BE之间 的数量关系，并证明你的结论；(3)假设a= 90° AC= 5淑,且点G满足/ AGB= 90° BG= 6,直接写出点 C到AG的距离