整理微积分B复习题

1、精品文档5.精品文档求级数1.的和.n -题设级数7 WoE一丄=3丄1 232.判别级数nil比了的敛散性.+1n丿解 由于故而lim : 11n ni. n21 n所以级数发散.(-1)n1 n = 1,试求其和.3.n +11()n = 12nn=0 2解:1 ' 1- 12n -12nn = 1 2丄、丄22 石o22nn=022n1_ 丄 4 彳 1_ 3 .1盲nn的敛散性n =1Unm?n=)e,故原级数发散.n - n判别级数2+(n1)n的敛散性.n=12精品文档精品文档U 2 + (-1) ncn2“2n而、2n收敛,故、Un收敛.n=1 2n=1n的敛散性.判别级

2、数工(arcsi nn-16.un 二 arcs innlnlim n Unn 亠limn arcs in - = 0.n故级数收敛.用根值判别法判别级数的敛散性.彳 3nn2占7.解 lim Ju-二 limnxn th原级数发散.limn-：；'2nsin 丄nnan二1,且 anso试证丄an收敛.n二 1n),-n = 112nsinn工J2收敛,故丄an也收敛.n=1n=i n2n判别级数、-2-x为不为零的实数的敛散性.n=1 n X2"2解lim Un lim ' n J 二 x2n n匸x2nn当 I X <1时,级数收敛；当 | X >1

3、时,级数发散; 当X二二1时,级数收敛.试求幂级数' 竺xn的收敛半径&i( n!)210.解 v lim 加 lim 2(2n 1) - 4nix an niH n+1二级数的收敛半径R=.4试求幂级数立斗里的收敛半径及收敛域n=1、'n11.h t n解 令x-5二t,级数丄1的收敛半径是1,收敛域是-匕1, n/W故原级数收敛半径是1,收敛域是4,6.试求幂级数丄丝寻X3n的收敛域设 un(x2nrx3n,由于 nmUn 1(X)Un(x)n=1.1 lim 牛 lim (n2nsinna n 1n -' 所以R = 2,且|x|=2时,级数发散,故收敛域

4、是-2,2.试求幂级数linnJxn在其收敛域上的和函数qQ13.求幕级数n2xn的和函数n ±解：设 s(x)n2xnJ x (T,1).贝U s(x)(nxn) = (' nxn)n 斗n=1n ToOoOoODOvvn n 1nn乂' nx x t nx x 八(x)=x('x)=x()n =1n 1n 4n Jn 4 x (1_ x)2 . _ x (1_x)X 、.1 X故,sx=7试求幂级数1 2x-2 3x2nn + 1 xn 的收敛域及和函数14.解级数的收敛域是-1,1.当X：-1,1时,有: n(n 丨 1)xnn=1s(x)二 n(n1)

5、 xn= xyn-1f x2I1 _ x>_ 2x= (1-X)3 .n二 1试求幂级数艺呵+ 1 XnT在其收敛域上的和函数n=1215.解级数的收敛域是-1,1,所以当X厂-1,1时,有s(x)弩 Xn1 n 122xn 1n_1211-x丿_ 1(1 一 x)3 .二 2x|n-1xn试求幂级数丄2n 1xn的收敛区域及和函数n = 116.解由于级数在(-1,1)上收敛,所以当X厂(-1,1)时,有s(x) . (2n+1)xn = 2 nxn . xnn=1n=1n=1,x - 3x_x2求幂级数n?x2n的收敛区间.17.十解 v lim 喀x2(w)/%x2n 二 lim

6、试把函数f (x)二 4在点x°=0处展开成(1 + x)(1 + x2)(1+ x4)泰勒级数.21. 出- x2 二x2, n» 2n + 1/ 2nn»2 n2所以当x '：；2时,级数收敛；而当x .2时,级数发散；当x二2时,原级数为丄丄n(.2)2n n,发散；n=1 2n = 1当x=2时,原级数仍为丄n,发散.n二 1故所求级数的收敛区间为(.2, 2).将函数f(x)二ax展开成x的幕级数,并求展开式成立的区间18.n解 f (x) = exlna = 山 a xnn = 0 n!(_： xlna* _：,即 _： < x v _：

7、).将函数y二x4展开成(x I 1)的幂级数.19.解由于X4=(X-11)4二(x_1)4_4(x_1)3_6(x_1)2一 4(x十 1) I 1 I 0" - - , x 匸(一 ",v )所以上式即为所求幂级数.将函数f (X) = In( a x)展开成x的幂级数,并求展开式成立的区 间.f(x) = ln a-20.解解 由于f(x)二(1 X)11- X8匕小心1)00B所以 fX： (1 x) x8n(x8nx8n 9 , x(1,1).n= 0n = 012 5x试将函数f(X) = 6TE 展开成x的幂级数22.解利用得f(x) =xnn 0求函数gf

8、(x) = ln 01 +斗6n丿Xnx： (_1,1).1在点X0 一1的泰勒级数展开式间.24.解3D(T)nn = 0(-X)nn 13D(T)nn = 0(2x)n 1n 1n n 1/|二 (T) 2 Tn匸0n + 1xn 123.解f(x) = In(1 (x I 1)2)宴n利用In(1 i x) = (T)nT, x(1,1n = 1得心一匕忙* +1)2n, XE 2,0).n 1将函数f(x) = ln(1 + x-2x2)展为x的幂级数,并指出其收敛区(x)二 ln(1x)(1+2x) =1 n(1x) + ln(12x)将 fX二1(1 x)(1 丨 x2)(1 x4

9、)(1 x8)展幵成x的幂级数.25.f (x)=1-x(1x)(1x)(1 丨 x2)(1 x4)(1 x8)1-x1 + x 16= (1- x)(工 x16n)n = 0= 1_x X16_x仃 x32_x33(|x|“： 1).试把函数y二cosx-展幵成“的幂级数.26.解 由于y = cosxcos" - sin xsin ",所以级数为yxosx、(-俨止-sinx' 虽竺7 幺 (2k)! 合(2k+ 1)!(T)kk 0cosx 2k sinx 2k 1 (2k+1)!L(2k)0 厂(,J ).试求函数y = cosx关于的幂级数.27.由于co

10、sx = cosx2丿.71= si n xI 2壬 n X2n 1所以nx22n : 1cosx2TT (2n 1)!,X、一 , 7.28.将函数f (x) =l n(1 x x2 x3 x4)展开成x的幕级数.解：f (x)二 In51-xxx二 ln(1 _ x ) Tn(1 _ x) _、 ( _ )、一 1-xnT n 心 n ：: n丁 X _X=L n 1 n5n(一1: 1)将函数f (X) = ln( x 3x 2)展成x的幂级数,并指出收敛半径R.29.解 ln( x2 - 3x - 2)二 ln( 2 卜 x) - ln( 1 + x)x=ln 2 l n(1) l n

11、(1 x)= ln2+ (-1)nn 01 xn 1n + 1 2n 1(-1)nn 0xn1将函数30.=1 n2 i (_1)nn 0112厂汕1n 丨 1 2n11 + x 1f(xrlnT2ar如xx展成x的幂级数.1 1 1 1 1 f'(x)= 1(宀宀 T4 1十 x 1- x=丄仁x41-x41-x421+x2=丄 x4n ( 1: X 1),n = 1f(0) = 0,知f (x)= f(x) f(0) f'(t)dt= t4ndt'0n 1八 X4n 1Ri4n i 1(1"X 1).把函数展幵为x的幂级数,并计算 (1)!n = 1 (n

12、 十 I丿!的值.31.exxn乔,Xu (-二,.),当 X / 0 时, n = 0'ex 1vxn = 1xn1-np, x匸-：,oo,.所以导(n 1)xn 2 肓2n!8 nXn-1,(- ,o)u(o,)n 1 (n 1 1 l)!d (ex-1(n 1)! dx=1.x= 1试将函数y二sin3x xcos3x展幵为麦克劳林级数32.所以x2n 1sin X 二丄(T)n(；'n_1)! , x(_： , 7 ) n= 0(2n 1)!二x2ncosx (T)n,么(2 n)sin 3xi xcos3x二 ( 1)n32n 1X2n 1 启()(2n 11)!n

13、=o、(n(n2)32nx2n 1出)(2n -1)!由于32nx2n 1一 (T)n(2n)!°°n!解：-1"牛绝对收敛,n壬n故级数的和存在,即nk !呷丄"厂ss是r 1 nrn- kd求函数y二tanx在点X二:处的泰勒级数至含的项34.1 解 由于 y=tanx, y1 tan2xcos2xy = 2tanx(1 丨 tan2x) , y(3) = 2+ 8tan2 x : 6tan4 x所以y®=1,y£)=2'y"®=4, y叫牛16泰勒级数为1 + 2(x_ + 2(x£2 +

14、8(x_3+I 4丿 I 4丿 34丿< 1 2n 试求极限lim +,其中a1.a a2an/35.解 考虑幕级数 nxn,n = 1设 S(x)二；nx n,那么n 二 1f 1 Y _ x 1_x丿-(1_x)2QOOCS(x) = x、nxn" = x (xn)n 1n 0limn+ : a1 $ a2a(1a)2设积分区域D的面积为S,那么JJ2d仃二D*36.答 2S.1 r 1 设f(x, y)为连续函数,那么二次积分I0dy 一 f(x, y)dx交换积分* 0y次序后为.37.答dxf (x,y)dy.Joo二重积分f2dx2ey2dv的值是0x38.1答 2

15、(1一 e").利用二重积分计算由曲线.x y = 3,为xy = 3所围成区域 的面积.39.解 A dx0* 3-xJ U3.x)2dy 二*3.2( 3x-x)dx二 3.由二重积分的几何意义,求口 (、；1 - x2-y2 + 1)dxdy. x2 y240.解原式二 JJ、j1-x2-y2 dxdy - jj dxdyX2 y2_1x2 y2_12 彳21 .3 3计算二重积分|丨ex ydxdy,其中D:1x乞1,1兰yid. D41.原式=f1 exdxf1J-1J -1eydy设z = z(x,y)由方程x2 2xyz2 = 2z 所确定,求42.解 2xdx+2(x

16、dy + y dx) - 2zdz 二 2dz,2(z + 1)dz 二 2xdx+ 2(xdy - ydx), dz _ x+ y dz _ xxz1 '( y z-卜 1.设y = y(x)由方程xy+ln(x-y)"所确定,求芸.dydx43.1+y(x+y)1 x(x i y)精品文档44.45.z 二 arcta n1ydzdxy2二 ex2,求 dzdxdyy_(x "dx_ y1_2(x + 1)2y2 i (V x)2r 7z 二 y x|n( xy),求 c'x ry '1Zx 二 yxl ny I nxy+&yx,1Zy

17、= xyx-1|n(xy)十 1 yx .P 2 f设 f(x,y)=ex2y,求丁46.y2y2 x)22 2 2解 fx = 2xyexy, fxy = 2xex y+ 2x3yex y.设 u(x, y, z)=zx2 + y2求du .47.du u dx u dy + ' u dz dxdydz_ -2z(xdx ydy) 1 (x2 y2)dzQu £us , it(x2 + y2)2设 u 二 arctan(xy),其中 x 二 s 2t, y= 3s t,解二 yx_3= 3x yQs 1 + x2y2 1 + x2y21 十 x2y2u 二 y 2_ x 二 2y-x辻1 + x2y21 i x2y2 1 - x2y2设 z 二 x3si