理论力学运动学

1、2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院1物物系系平平衡衡区分区分结构结构类型类型平行结构平行结构主次结构主次结构先整体后局部先整体后局部弄清楚结构由几弄清楚结构由几个个(n)物体组成，物体组成，就可选几个物体就可选几个物体为对象，最多列为对象，最多列3n个平衡方程！个平衡方程！注意，二力构件注意，二力构件只能作为约束，只能作为约束，不能作为物体！不能作为物体！先次要后主要先次要后主要整体整体+局部局部n受力比较简单的物体；受力比较简单的物体；处于水平或铅直位置的物体。处于水平或铅直位置的物体。选取原则选取原则次要次要+主要主要n次要物体研究完才可选主要物体

2、或整体。次要物体研究完才可选主要物体或整体。按由按由外向内的顺序选取次要物体；外向内的顺序选取次要物体；选取原则选取原则注意固定端的约束力注意固定端的约束力(3个个)和和单铰受荷载及复铰链的约束力！单铰受荷载及复铰链的约束力！2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院22021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院3 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫置的方法叫自然法自然法。 一、弧坐标一、弧坐标, ,自然轴系自然轴系1、弧坐标、弧坐标5-3 5-3 自然法自

3、然法 设动点设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，为参考点，并设点并设点O的某一侧为正向，动点的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧在轨迹上的位置由弧长长s确定，视弧长确定，视弧长s为代数量，称它为动点为代数量，称它为动点M在轨迹上的在轨迹上的弧坐标弧坐标。当动点。当动点M运动时，运动时，s随着时间变化，它是时间的随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即单值连续函数，即 s=f (t) MsAB(+)(- -)O2021/6/162021/6/16中南大学土木工

4、程学院中南大学土木工程学院4二、点的速度二、点的速度0000limlim()ddlimlimddddttttststsststssvt rrvrr三、点的加速度三、点的加速度22dddddd()ddddddvsvvvtttttt va式中式中v 称为速度矢量在切线上的投影。称为速度矢量在切线上的投影。2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院52t2ddddvstta切向加速度切向加速度 _ 表示速度大小的变化表示速度大小的变化t a2nddddddsvvvtstan法向加速度法向加速度 _表示速度方向的变化表示速度方向的变化na2tnddvvtaaan22t

5、tnn| arctanaaaaa，2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院62021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院7例例 是指刚体的平行是指刚体的平行 移动和定轴转动移动和定轴转动刚体的运动刚体的运动平行移动、定轴转动平行移动、定轴转动平面运动、定点运动、一般运动平面运动、定点运动、一般运动简单运动简单运动2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院8得出结论得出结论:即即二、刚体平移的特点二、刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状，速度和加速度都

6、一样。轨迹形状，速度和加速度都一样。 即即: :平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。dddd()(0)ddddABBAABBABttttrrrvrrv222222ddd:()dddABABBABtttrrarra同同理理A2B2A1B1OBrArAvBvAaBaBA2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院9一、刚体定轴转动一、刚体定轴转动 定轴转动定轴转动: :刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动。刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动。通过两点的直线称为转轴通过两点的直线称为转轴, ,不在转轴上的各点都在垂

7、直于转轴的不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。平面内做圆周运动。二、转角和转动方程二、转角和转动方程 _转角转角, ,单位弧度单位弧度( (rad) ) =f(t)_ 为转动方程为转动方程 方向规定方向规定: : 从从z z 轴正向看去轴正向看去, ,6-2 6-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院10三、定轴转动的角速度和角加速度三、定轴转动的角速度和角加速度0d lim dttt 定义定义代数量代数量1 1、角速度、角速度( )f t单位单位 rad/s若已知转

8、动方程若已知转动方程( )f t2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院112 2、角加速度、角加速度 设当设当t 时刻为时刻为 , , t +t 时刻为时刻为 + 220ddlim( )ddtftttt 单位单位:rad/s2 (代数量代数量)角加角加速度速度如果如果 与与 同号，则转动是同号，则转动是加速加速的；如果的；如果 与与 异号，异号，则转动是则转动是减速减速的。的。 与与 同号同号, ,转动加速转动加速 与与 异号异号, ,转动减速转动减速O O O O 2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院123 3、匀

9、速转动和匀变速转动、匀速转动和匀变速转动当当 =常数常数，为匀速转动为匀速转动；当当=常数常数，为匀变速转动为匀变速转动。020220122ttt常用公式常用公式与点的运动相类似。与点的运动相类似。 机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。转动的快慢用转动的快慢用转速转速n表示，其单位为转表示，其单位为转/分分(r / min=rpm)。则则n与与的关系为的关系为:2(rad/s)6030nn2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院136-3 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的

10、速度和加速度 刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内作平面内作圆周运动圆周运动，圆心在轴线，圆心在轴线O上，半径上，半径R等于点到转轴等于点到转轴的距离。的距离。设刚体以设刚体以 从定平面从定平面A绕定轴转动到绕定轴转动到B处；转角处；转角 。定轴转动刚体上任一点做圆周运动定轴转动刚体上任一点做圆周运动 刚体上一点从刚体上一点从MO转到转到M，取取MO为弧坐标原点。为弧坐标原点。方向方向: : 沿圆周的切线沿圆周的切线, ,指向与转动方向一致指向与转动方向一致速度速度: :dd()ddddsRvRRtttBAO(+)RvOMM点的

11、弧坐标点的弧坐标: :Rs 一、角速度一、角速度 与与v 的关系的关系2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院14即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。转动的一方。2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院15BAO(+)RvOMM二、角加速度二、角加速度与与an ，at的关系的关系设角加速度如图所示设角加速度如图所示tddd()dddvaRRRttt切

12、向加速度切向加速度ta即：即：转动刚体内任一点的切向加速度转动刚体内任一点的切向加速度( (又称转动加又称转动加速度速度) )的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，它的方向由角加速度的符号决定，当当 是正值时，它沿圆周的切线，指向角是正值时，它沿圆周的切线，指向角 的正向；的正向；否则相反。否则相反。法向加速度法向加速度: :222n()vRaRRna即：即：转动刚体内任一点的法向加速度转动刚体内任一点的法向加速度( (又称向心加速度又称向心加速度) )的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂

13、直距的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院16如果如果与与同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度动，这时点的切向加速度at与速度与速度v的指向相同；如果的指向相同；如果与与异号，刚体作减速转动，异号，刚体作减速转动， at与与v的指向相反。这两种情况的指向相反。这两种情况如图所示。如图所示。O vatanMO vatanM2021/6/162021/6/16中南大学土木工

14、程学院中南大学土木工程学院17 (1) (1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 (2)(2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的与半径间的夹角夹角 都有相同的值。都有相同的值。点的全加速度为点的全加速度为：（一般情况下不合成）：（一般情况下不合成）2224tnt2ntanaaaRaa2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院18例例试画出图中刚体上试画出图中刚体上M，N两

15、点在图示位置时的速度和两点在图示位置时的速度和加速度。加速度。1212()O AO BOOAB，2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院192021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院20研究点和刚体的运动研究点和刚体的运动地面为参考系地面为参考系不同参考系上观察物体不同参考系上观察物体的运动会有不同的结果的运动会有不同的结果相对于地面运动相对于地面运动的物体为参考系的物体为参考系实际问题中需要实际问题中需要2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院212021/6/162021/6/16中南

16、大学土木工程学院中南大学土木工程学院222021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院237-1 7-1 点的合成运动概念点的合成运动概念动动 点点定定 系系动动 系系绝对运动绝对运动相对运动相对运动绝对速度绝对速度 绝对加速度绝对加速度avaa相对速度相对速度 相对加速度相对加速度rvra点的运动点的运动固结于地面上的坐标系固结于地面上的坐标系固结于相对于地面固结于相对于地面运动物体上的坐标系运动物体上的坐标系绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹牵连运动牵连运动动系相对于定系的运动动系相对于定系的运动刚体运动刚体运动2021/6/162021/6/16中南大学土木工

17、程学院中南大学土木工程学院24动动 点点动动 系系不同瞬时，动点在不同瞬时，动点在动系中的位置不同。动系中的位置不同。牵连点牵连点设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体的的拖带拖带或或牵连牵连而产生的速度和加速。而产生的速度和加速。相对运动相对运动牵连点是牵连点是动系上的点，动系上的点，不同瞬时牵连点不同！不同瞬时牵连点不同！在某瞬时，动系中在某瞬时，动系中与动点相重合的点。与动点相重合的点。牵连点对定系的速度和加速度分别称为牵连点对定系的速度和加速

18、度分别称为 的的牵连速度牵连速度 与与牵连加速度牵连加速度 evea动点动点2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院25动点：动点： AB杆上杆上A点点动系：固结于凸轮上动系：固结于凸轮上定系：固结在地面上定系：固结在地面上凸轮顶杆机构凸轮顶杆机构2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院26绝对运动：铅直绝对运动：铅直运动运动相对运动：曲相对运动：曲线线( (圆弧圆弧) )运动运动牵连运动：凸轮牵连运动：凸轮直线平移直线平移2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院27av绝对速度绝对速度

19、 ：相对速度相对速度 ：rv牵连速度牵连速度 ：ev2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院28绝对加速度：绝对加速度：相对加速度：相对加速度：牵连加速度：牵连加速度：aaeara2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院29动点：动点：AB杆上的杆上的A点点 动系：偏心轮动系：偏心轮绝对运动：直线绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院302021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院

20、中南大学土木工程学院312021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院322021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院33绝对运动：曲线（圆周）绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线相对运动：直线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动圆轮摇杆机构圆轮摇杆机构动点：动点：A（在圆盘上（在圆盘上) )动系：动系：OA摆杆摆杆定系：机架定系：机架2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院34摇杆滑道机构摇杆滑道机构绝对运动：点绝对运动：点A的水平直线运动；的水平直线运动；相对运动：点相对运动：点A沿沿OB轴线

21、的运动；轴线的运动；牵连运动：牵连运动： OB杆的定轴转动。杆的定轴转动。动点：销子动点：销子A (CD上上); 动系：固结于动系：固结于OB。2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院35曲柄滑块机构曲柄滑块机构动点：动点：O1A上上A点点; 动系：固结于动系：固结于BCD上。上。绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动相对运动：直线运动;牵连运动：牵连运动： BCD平移平移动点：动点：BCD上的套筒上的套筒F点点; 动系：固结于动系：固结于O2E上。上。绝对运动：直线运动；绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动

22、：定轴转动。牵连运动：定轴转动。再选再选2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院36刨床机构刨床机构2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院372021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院38相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院39相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。2021/6/1

23、62021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院40相对轨迹清楚，可以确定相对速度和相对加速度的方位。相对轨迹清楚，可以确定相对速度和相对加速度的方位。2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院412021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院422021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院432021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院44说明：说明：va动点的绝对速度；动点的绝对速度；vr动点的相对速度；动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点

24、动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点牵连点)的速度的速度动系作平移时，动系上各点速度都相等动系作平移时，动系上各点速度都相等;动系作转动时，动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。动点相重合点的速度。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。矢量和，这就是点的速度合成定理。aer vvv7-2 7-2 点的速度合成定理点的速度合成定理2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院45点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小，方向点

25、的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小，方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。二、应用举例二、应用举例解：选取动点解：选取动点: 物块物块A，动系，动系: 小车小车相对运动相对运动: 铅直直线铅直直线;相对速度相对速度vr =v2 牵连运动牵连运动: 平移平移; 牵连速度牵连速度ve=v1 绝对运动绝对运动: 曲线，轨迹未知曲线，轨迹未知;绝对速度绝对速度va 的大小、方向待求。的大小、方向待求。例例 桥式吊车桥式吊车 已知：小车水平运行，速已知：小车水平运行，速度为度为v1，物块，物块A相对小车垂直上升的速度相对小车垂直上升的速度为

26、为v2。求物块。求物块A的运行速度。的运行速度。v1v2A作出速度平四边形如图示，则作出速度平四边形如图示，则物块物块的速度大小和方向为的速度大小和方向为由速度合成定理：由速度合成定理：aervvvvevrva2222aer2Avvvvvv12arctanvv1 2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院462021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院47由速度合成定理由速度合成定理 va= ve + vr ，作出速度平行四边形作出速度平行四边形 如图示。如图示。解：动点取直杆上解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘。点，动系固结

27、于圆盘。 绝对速度绝对速度 va = ? 待求，方向待求，方向/AB 相对速度相对速度 vr = ? 未知，未知，方向方向 CA 牵连速度牵连速度 ve =OA = 2e ， 方向方向 OA0ae2 32 3tan30 ( )33ABvveve例例 圆盘凸轮机构圆盘凸轮机构已知：已知：OC=e， ，凸轮角速度，凸轮角速度 。图图示瞬时，示瞬时，OC CA 且且 O、A、B三点共线。三点共线。求从动杆求从动杆AB的速度。的速度。eR3ReCO ABvavevr 2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院48例例刨床的急回机构如图所示。曲柄刨床的急回机构如图所示。

28、曲柄OA的角速度为的角速度为 ，通过，通过套筒套筒A带动摇杆带动摇杆O1B摆动。已知摆动。已知OA=r，OO1=l，求当，求当OA水平水平时时O1B的角速度的角速度 1。 AO1O Bea2e1122sinsin()vvrrvO Alr2221122()rO Alrlrvevavr 1 1解：取解：取OA杆上杆上A点为动点，摆杆点为动点，摆杆O1B为动系。为动系。 绝对速度绝对速度 va = r ，方向，方向 OA相对速度相对速度 vr = ? ，方向方向/O1B牵连速度牵连速度 ve = ? ，方向方向 O1B2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院49由

29、上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：选取动点，动系和定系（工程问题选地面不作说明）；选取动点，动系和定系（工程问题选地面不作说明）；三种运动的分析；三种运动的分析；三种速度的分析；三种速度的分析；根据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形。作出速度平行四边形。 根据速度平行四边形，求出未知量。根据速度平行四边形，求出未知量。aervvv恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。动点、动系的选择原则动点、动系的选择原则动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体动点、动

30、系和定系必须分别属于三个不同的物体，否则绝，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 （已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院50解：以小环解：以小环M为动点，动系取在为动点，动系取在AB杆上，动点的速度合成杆上，动点的速度合成矢量图如图。矢量图如图。由图可得：由图可得：easinsinvuveasinvv 例例

31、水平直杆水平直杆AB在半径为在半径为r的固定圆环上以匀速的固定圆环上以匀速u竖直下落，竖直下落，如图。求套在该直杆和圆环交点处的小环如图。求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。的速度。uABOMr vrvave2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院51解：取套筒解：取套筒A为动点，动系与为动点，动系与OC固连，分析固连，分析A点速度，有点速度，有easinsinvvvesinOCvvOAasinCOCabvOCvaaervvv 例例 求图示机构中求图示机构中OC杆端点杆端点C的速度。其中的速度。其中v与与 已知，已知，且设且设OA=a, , AC=b。P

32、355例例14-4 vA BCOvC OCvavevr2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院52 分析：分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。可以发现，凸轮上触点为动点。可以发现，凸轮上C的轨迹是直线，若选的轨迹是直线，若选OA为为动系，其相对轨迹也容易确定是直线。动系，其相对轨迹也容

33、易确定是直线。例例 已知已知: 凸轮半径凸轮半径r ，图示位置时其速度为，图示位置时其速度为v， =300。 杆杆OA靠在凸轮上，求杆靠在凸轮上，求杆OA的角速度。的角速度。x vOAC2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院53x OAC解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点点为动点, 动系固结于动系固结于OA杆上。杆上。 绝对运动绝对运动: 直线运动直线运动, 绝对速度绝对速度:相对运动相对运动: 直线运动直线运动, 相对速度相对速度:牵连运动牵连运动: 定轴转动定轴转动, 牵连速度牵连速度:a vv， 方方向向 e vOCOC，未未知知待待求求 方方向向r

34、v，未未知知 方方向向OAavrvev如图示。如图示。根据速度合成定理根据速度合成定理aervvv作出速度平行四边形作出速度平行四边形ea3tan3vvve2, sinrvOCr又e133 2236vvvrrr（ ）2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院54va解解 取取M为动点，为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。取取M为动点，为动点，CD为动坐标系，为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。相对速度、牵连速度如图。由上面两式可得：由上面两式可得：ae1r1vvvae2r2vvve1r1e2r2vvvv其中其中e

35、11e22，vvvvM例例AB杆以速度杆以速度v1向上作平移，向上作平移，CD杆斜向上以速度杆斜向上以速度v2作平移，作平移，两条杆的夹角为两条杆的夹角为 ，求套在两杆上的小环，求套在两杆上的小环M的速度。的速度。P194、7-13BCD Av2v1ve1vr1vr2ve22021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5512r2r212cossin(cos )/sinvvvvvv将等式两边同时向铅直轴投影将等式两边同时向铅直轴投影则动点则动点M的绝对速度为：的绝对速度为：222212ae2r2222121 2cos()sin12cossinvvvvvvvvv v

36、=e1r1e2r2vvvvvr2ve2vaMBCD Av2v1ve1vr12021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院567-3 7-3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理aervvv由于由于牵连运动为平移牵连运动为平移，故，故由速度合成定理由速度合成定理ee OOvvaa，ddddddxyzvijktttr ad dd dddOxyzvvijkttt对对t求导求导222aa222ddddddddddOvvxyzaijkttttt 设有一动点设有一动点M按一定规律沿着固连于动系按一定规律沿着固连于动系Oxyz的曲线的曲线AB运运

37、动，曲线动，曲线AB同时又随同动系同时又随同动系Oxyz相对定系相对定系Oxyz平移。平移。OxyzaOOxyzvOABM2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院57aer aaa牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理即当牵连运动为平移时，动点的即当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。对加速度的矢量和。222er222ddddddddOOvxyzaaaijktttt， tn aaatntntnaaeerraaaaaa一般式可写为：一般式可写为：OxyzaOOxyzAB

38、Mae= aOaraa(其中其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平移，故为动系坐标的单位矢量，因为动系为平移，故它们的方向不变，是常矢量，所以它们的方向不变，是常矢量，所以 )ijk， ，d dd000dddijkttt，2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院58解解1 1 用运动方程求解。因推杆作平移，用运动方程求解。因推杆作平移，其上各点的速度和加速度都相同，现取其上各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与凸轮的接触点推杆上与凸轮的接触点M分析：分析：2sinddcoscosdddddcossindddcossinyReyveettvaeetttee例例

39、平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB可沿导轨上下移动，偏心凸轮可沿导轨上下移动，偏心凸轮 绕轴绕轴O转动，轴转动，轴O位于顶杆轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表位于顶杆轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表 面。该凸轮半径为面。该凸轮半径为R，偏心距，偏心距OC = e，凸轮绕轴，凸轮绕轴O转动的角速度为转动的角速度为 ， 角加速度为角加速度为 。求。求OC与水平线成夹角与水平线成夹角时顶杆的速度和加速度。时顶杆的速度和加速度。yBACO x M2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院59解解2 2 取圆盘的中心取圆盘的中心C

40、为动点，动系与平底推杆为动点，动系与平底推杆AB固连。分析动点的速度和加速度如图所示。固连。分析动点的速度和加速度如图所示。aveeacoscosABvvven2aaetaaentaaeraaaanaataaearaC nteaa2sincoscossinABaaaaee 可求得：可求得：向向y轴投影：轴投影：ntaaesincos-aaaABCO vevavr 2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院60解：取杆上的解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。点为动点，动系与凸轮固连。例例已知凸轮半径为已知凸轮半径为R，其速度和加速度分别为，其速度和加速度分别

41、为v0和和a0。 求求 =600时，顶杆时，顶杆AB的加速度。的加速度。ABCv0a0 绝对速度绝对速度va = ?，方向，方向/AB；绝对加速度；绝对加速度aa=?，方向，方向/AB相对速度相对速度vr = ?，方向，方向 AC；相对加速度相对加速度art =? 方向方向 AC arn =vr2/R ，方向沿，方向沿AC指向指向C牵连速度牵连速度ve=v0，方向水平；牵连加速度，方向水平；牵连加速度 ae=a0 ，方向水平，方向水平2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院61由速度合成定理由速度合成定理aervvv作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四

42、边形，如图示。e0r02sinsin603ovvvvABCv0a0 vavevr 因牵连运动为平移，故有因牵连运动为平移，故有tnaerraaaa2n220rr042/() /33vavRvRR其中其中作作加速度矢量图加速度矢量图如图示。如图示。aaaearnart 2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院62naersincosaaa2n0aer04(cos)/sin(cos60)/sin603vaaaaR整理得整理得20a038()33ABvaaaRABCv0a0 aaaearnart tnaerraaaa将矢量方程将矢量方程 投影到投影到x x轴上，得

43、轴上，得x x 3 3个矢量个矢量组成的方程，通常用组成的方程，通常用几何法求解几何法求解！例如！例如3个力平个力平衡，画力三角形求解，速度合成定理衡，画力三角形求解，速度合成定理3个矢量，用三角形求个矢量，用三角形求解！解！3 3个以上的矢量个以上的矢量组成的方程，通常用组成的方程，通常用解析法解析法求解，即采求解，即采用用投影的方法投影的方法求解。求解。左边矢量在某轴上的投影左边矢量在某轴上的投影= =右边矢量在同一轴上的投影右边矢量在同一轴上的投影2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院63BACDEO300600 O例例图示平面机构，已知：图示平面机

44、构，已知：OA=r， O为常数，为常数，BC=DE，BD=CE=l，求图示位置，杆求图示位置，杆BD的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。 P181例例7-9解解： 动点：动点：A点点(OA杆杆)， 动系：动系：BC杆杆vavrveaervvveraOvvvr由几何关系得由几何关系得OBDrl BD根据牵连运动为平移的加速度合成定理根据牵连运动为平移的加速度合成定理ntnaaeera = aaa + aneaarteaaaA300300300在铅直轴上投影得在铅直轴上投影得0t0n0aeesin 30cos30sin 30aaa n02taee0()sin303()cos303Oaar lr

45、al BDt2e23()3OBDar lrll2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院64 设一圆盘以匀角速度设一圆盘以匀角速度 绕定轴绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以以大小不变的速度大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，沿槽作圆周运动，那么那么M点相对于静系的绝对加速度应点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？是多少呢？R O 上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否

46、还适用呢？下面我们来分析一特例。否还适用呢？下面我们来分析一特例。7-4 7-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理vrM2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院65牵连运动为定轴转动，其牵连速度和加速度为牵连运动为定轴转动，其牵连速度和加速度为2rrrconstvvaR，（方向如图）（方向如图）由速度合成定理可得由速度合成定理可得aerrconstvvvRv选点选点M为动点，动系固结与圆盘上，为动点，动系固结与圆盘上，则则M点的相对运动为匀速圆周转动，点的相对运动为匀速圆周转动，即即绝对运动绝对运动也为半径为也为半径为R的

47、的匀速圆周运动匀速圆周运动，所以，所以方向指向圆心方向指向圆心点点2222arrar()2vRvvaRvRRRR MOvevrar2ee vRaR，（方向如图）（方向如图）ae2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院66 分析上式：分析上式： 还多出一项还多出一项2vr 。 可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度aa 并不并不等于牵连加速度等于牵连加速度ae 和相对加速度和相对加速度ar 的矢量和。那么他们之间的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？的关系是什么呢？ 2vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？又是怎样出

48、现的呢？它是什么呢？下下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。度合成定理。22rre/ avRaR，2222arrar()2vRvvaRvRRR2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院67点的加速度合成定理：动系转动时，动点在某瞬时的绝对点的加速度合成定理：动系转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。速度的矢量和。eeeeer2()2 ()()()2()2xyzxyzxyz ijki

49、jki +jkvaerer2aaavCer2av令,称为科氏加速度，于是有aerCaa+ aa法国科里奥利。法国科里奥利。1792-18432021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院68牵连运动为转动时，加速度合成定理为牵连运动为转动时，加速度合成定理为aerCaaaa一般式一般式tntntnaaeerrCaaaaaaa 一般情况下科氏加速度一般情况下科氏加速度 的计算可以用矢积表示的计算可以用矢积表示CaCer2avCrr2sin()av v ，方向：按右手法则确定。方向：按右手法则确定。rC0 180 ( / )0va或，rCr90 ()2vav，大小：大

50、小：2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院69C220 (/)av点点M2 的科氏加速度的科氏加速度解：点解：点M1的科氏加速度的科氏加速度C112sinav垂直板面向里垂直板面向里 。 例例 矩形板矩形板ABCD以匀角速度以匀角速度 绕固定轴绕固定轴 z 转动，点转动，点M1和点和点M2分别沿板的对角线分别沿板的对角线BD和边线和边线CD运动，在图示位置时相对于板的运动，在图示位置时相对于板的速度分别为速度分别为 v1和和v2，计算点，计算点M1 、 M2的科氏的科氏加速度大小，并图示其方向。加速度大小，并图示其方向。DABCC1a工程中常见的平面机构中

51、工程中常见的平面机构中 e和和vr是垂直是垂直的，此时的，此时aC=2evr；且真实的；且真实的vr顺顺 e实际转实际转向（逆时钟、顺时钟）转向（逆时钟、顺时钟）转900就是就是aC的方向。的方向。900 evraC2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院70解解: 动点：顶杆上动点：顶杆上A点；点； 动系：凸轮动系：凸轮 根据速度合成定理根据速度合成定理aervvv作出速度平行四边形，求得作出速度平行四边形，求得aetantan ( )ABvvvrre/cos/cosvvr由牵连运动为转动时的加速度合成定理由牵连运动为转动时的加速度合成定理tnaerrCa

52、aaaa例例 已知凸轮机构以匀角速度已知凸轮机构以匀角速度 绕绕O轴转动，轴转动，图示瞬时图示瞬时OA= r，A点的曲率半径点的曲率半径 ， 已知。已知。求该瞬时顶杆求该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。的速度和加速度。ABO n vavevr 2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院71ABO n n2222rr/cosavr相对加速度相对加速度方向沿方向沿ntr? a 方向垂直方向垂直na? /aAB， 方方向向绝对加速度绝对加速度tn2eee 0 aaar，牵连加速度牵连加速度A指向指向O2Cr=22/cosavr科氏加速度科氏加速度vr顺顺 的转向转的转

53、向转900，即，即n的反方向。的反方向。aC22222a(cossec/2sec )/cosABaarrr 232(1sec/2sec)rr aaaearnart将方程将方程 向向 n 轴投影：轴投影：tnaerrCaaaaanaerCcoscosaaaa得得2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院72例例刨床的急回机构如图所示，曲柄刨床的急回机构如图所示，曲柄OA以匀角速度以匀角速度 绕绕O转动转动，通过滑块通过滑块A带动摇杆带动摇杆O1B摆动。已知摆动。已知OA=r，OO1=l，求当，求当OA水水平时平时O1B的的角速度角速度 1和角加速度和角加速度 1

54、 。 AO1O B解：解： 选取滑块选取滑块A作为研究的动点，把作为研究的动点，把动系固定在摇杆动系固定在摇杆O1B上。作速度矢图。上。作速度矢图。 ea2e1122sinsin()vvrrvO Alr2221122()rO Alrlrvevavrr22rlvlr 1 12021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院73AO1OB11araaaC由于动参考系作转动，因此加速度合成定理为：由于动参考系作转动，因此加速度合成定理为：2aarC1 r2avaerCrCnteeaaaaaaaa2r12222rlrvlrlr，23C32222()r lalrte11aO A

55、假设假设 1的转向的转向为顺时针转向。为顺时针转向。aenaet42n2e113222()raO Alr可以不算可以不算2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院74h为了求得为了求得aet，应将加速度合成定理向轴，应将加速度合成定理向轴h h投影：投影： ntaeerCaaaaahhhhh即：即：taCecosaaa得：得：22t2e3222()()rl lralr 摇杆摇杆O1B的角加速度的角加速度 ：t222e12221()()arl lrO Alr 负号表示负号表示 1的转向应为逆时针转向。的转向应为逆时针转向。AO1OB11araaaCaenaet2

56、021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院75解：速度分析解：速度分析1）取套筒）取套筒A为动点，动系与摇杆为动点，动系与摇杆O2B固连。固连。a1112002400 mm/svO A例例牛头刨床机构如图所示。已知牛头刨床机构如图所示。已知 O1A=200mm，以匀角速度以匀角速度 1=2rad/s 转动，求图示位置滑枕转动，求图示位置滑枕CD的速度和加速度。的速度和加速度。P197、7-27650CDO2O1BA 130由速度合成定理作速度矢图可得由速度合成定理作速度矢图可得 ：va1vr1ve12e1a1r1a112e122sin30200 mm/scos3

57、02003mm/s400 mmsin302000.5 rad/s400o BvvvvO AO AvO A 22021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院76x x650CDO2O1BA 130 22）取套筒）取套筒B为动点，动系与滑枕为动点，动系与滑枕CD固连。固连。由速度合成定理作速度矢图可得由速度合成定理作速度矢图可得 ：va2ve2vr2a222e2a26506500.5mm/scos303cos30325 mm/svO Bvv滑枕滑枕CD的速度为的速度为e2325mm/sCDvv加速度分析加速度分析由由A点的加速度合成定理有点的加速度合成定理有nnta1

58、a1e1e1r1Caaaaaane1ate1ar1aa1aAaC在在x x轴上投影得轴上投影得0ta1e1Ccos30aaa于是于是t020e1a1C112r12cos30cos302200 3mm/saaaO Av2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院77n0t0a2a2e2cos60cos30aaa2t2e122200 33rad/s4002O BaO AO2B杆的角加速度为杆的角加速度为650CDO2O1BA 130 2 2由由B点的加速度合成定理有点的加速度合成定理有nta2a2e2r2aaaata2ana2aBe2ar2a为了清晰为了清晰画在向上

59、画在向上将各加速度向水平方向投影得：将各加速度向水平方向投影得：滑枕滑枕CD的加速度为的加速度为2e2657mm/sCDaan222a222t2a2226503250.5mm/scos3036503650 mm/scos302aO BaO B2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院78第七章点的合成运动习题课第七章点的合成运动习题课一、概念及公式一、概念及公式 1、一点、二系、三运动、一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动点的绝对运动为点的相对运动 与牵连运动的合成与牵连运动的合成 2、速度合成定理、速度合成定理 3、加速度合成定理、加速度合成定理

60、牵连运动为平移时牵连运动为平移时 牵连运动为转动时牵连运动为转动时aerCCr (2)vaaaaaaervvvaeraaa注意加速度切注意加速度切向和法向分量向和法向分量2021/6/162021/6/16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院79二、解题步骤二、解题步骤1、选择动点、动系和定系。、选择动点、动系和定系。2、分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。、分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3、作速度分析，画出速度平行四边形，求出有关未知量、作速度分析，画出速度平行四边形，求出有关未知量 (速度，角速度）。速度，角速度）。4、作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加