整理平板应力分析

1、第四节 平板应力分析3. 4平板应力分析3.4.1概述3.4.2圆平板对称弯曲微分方程3. 4.3圆平板中的应力3. 4.4承受对称载荷时环板中的应力3.4. 1概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带增强筋的圆平板; 反响器触媒床支承板等.2、平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸 分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板.图2-28薄板w/t < 1/5时小挠度按小挠度薄板计算3、载荷与内力载荷：平面载荷：作用于板中面内的载荷 横向载荷垂直于板中面的载荷 复合载荷内力：薄膜力

2、中面内的拉、压力和面内剪力,并产生面内变形弯曲内力弯矩、扭矩和横向剪力,且产生弯扭变形当变形很大时,面内载荷也会产生弯曲内力,而弯曲载荷也会产生面内力,所以,大挠度分析要比小挠度分析复杂的多本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论4、弹性薄板的小挠度理论根本假设-克希霍夫Ki rchhoff 板弯曲时其中面保持中性,即板中面内各点无伸缩和剪切变形,只有沿中面法 线w的挠度.只有横向力载荷 变形前位于中面法线上的各点,变形后仍位于弹性曲面的同一法线上,且法线上 各点间的距离不变.类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面,且仍 然垂直于变形后的梁轴线.平行于中面的各层材料互不挤压,即

3、板内垂直于板面的正应力较小,可忽略不计 研究：弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题3.4.2圆平板对称弯曲微分方程分析模型ra.prMd土c.yizdQ dr dr dr dM M+ drb.rdrd.分析模型：半径R,厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz,在r、B、z圆柱坐标系中, 内力M、MB、Q三个内力分量轴对称性:几何对称,载荷对称,约束对称,在r、B、z圆柱坐标系中,挠度w只 是r的函数,而与B无关.求解思路：经一系列推导基于平衡、几何、物理方程弯曲挠度微分方程Pz : w 一求W求一内力Mr、M -求应力r、t/2t/2微元体：用半径为r和r+dr 体.z的圆柱面和夹角为

4、ddO的两个径向截面截取板上一微元微元体内力：径向：M、Mr+( dMr/dr)dr周向：MB、 MB横向剪力：Q、Q+ (dQ/dr) dr微元体外力：上外表Ppzrd drdQr , dr drdoz1、平衡方程c.dQ J.dr drrMM+ d" drpzM+ dr dr rza.Mt微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零,即工MT=0“ dM dM rdr rdrddrdr d M rrd 2M dr sin Qrrd drpzrd dr 0Q dr2Qrr0dr 0(圆平板在轴对称载荷下的平衡方程)c.y(2-54)MrdMTMdQdrb.drBa.r mrrd.2

5、、几何协调方程(V£ )取AB dr,径向截面上与中面相距为z,半径为r与r dr两点A与B构成的微段板变形后:微段的径向应变为drz dr第2假设过A点的周向应变为z第1假设r作为小挠度dW ,带入以上两式,得dr应变与挠度关系的几何方程：.2d wrz厂dr 2-55z dwr dr3、物理方程根据第3个假设,圆平板弯曲后,其上任意一点均处于两向应力状态.由广义虎克定律可得圆板物理方程为：(2- 56)4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程(2-55)代入(2- 56)式：Ezd2wdwr1 2dr2 r dr(2-57)Ez1 dwd w12r drdr2通过圆板截面上弯矩与应力

6、的关系,将弯矩Mr和M表示成w的形式.由式2-57可见,r和 沿着厚度即z方向均为线性分布,图2-31中所示为径向应力的分布图Mrt2t2rzdzd2wdr2dw r drz2dzMrd2w dr2dwdr(2-58a)同理M1 dwDr drd2wdr2(2- 58b)Et312 1 2参照38页壳体的抗弯刚度,(2-58)代入(2-57),得弯矩和应力的关系式为:“抗弯刚度与圆板的几何尺寸及材料性能有关12Mrr z12M(2-59)(2-58)代入平衡方程(2-54),得：啤dr1 d2w r dr21 dw Qr r2 dr D即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程:q 1A

7、2Qdr r dr drD(2- 60)图2-31圆平板内的应力与内力之间的关系的线性分布力系便组成弯矩Mr、M.单位长度上的径向弯矩为:Q值可依不同载荷情况用静力法求得3.4.3圆平板中的应力(圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用) 承受均布载荷时圆平板中的应力：简支固支承受集中载荷时圆平板中的应力、承受均布载荷时圆平板中的应力据图2-32,可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力,即：Qr2r ppr2 r2代入2-60式中,得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为:did dw r - dr r dr drpr2D对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率:3dw pr C1r C2dr 1

8、6D2 r对r连续三次积分,得到中面在弯曲后的挠度(2-61)4pr64DC1r24C21n r C3(2- 62)01、C2、C3均为积分常数.对于圆平板在板中央处r=0挠曲面之斜率与挠度均为有限值,因而要求积分常数C2 = 0,于是上述方程改写为：dwpr3drw16D4pr64DC1r24C3(2-63)式中C1、C3由边界条件确定.下面讨论两种典型支承情况两种边界条件 周边固支圆平板 周边简支圆平板ppI r TJ 门IR "zaJ 1 H H丁TTTT 丁ARR-1zrb.周边固支圆平板周边简支圆平板图2- 33承受均布横向载荷的圆板1、周边固支圆平板：在支承处不允许有挠度

9、和转角J J JJ J J1 i 1 iIIRRIIPrza.周边固支圆平板dw 小r R,0drr R, w 0C1将上述边界条件代入式2-63,解得积分常数:PR28DPR464Ddwdr代入式2-63得周边固支平板的斜率和挠度方程:旦R2(2- 64)16D丄 R2 r264D将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式2-58,便得固支条件下的周边固支 圆平板弯矩表达式：P22MrR21r23(2- 65)r 16P22MR 1 r 1 316由此代入2-59弯曲应力计算试,可得r处上、下板面的应力表达式:Mrmt2 -6m3-pp R2 18t2r2 3M m 2t26m3g R2 18t

10、2r2 1 3(2-66)周边固支圆平板下外表的应力分布,如图2-34a所示图2-34 圆板的弯曲应力分布板下外表2、周边简支圆平板将上述边界条件代入式2-63,解得积分常数C1、C3： 代入式2-63得周边简支平板的挠度方程：P64DR22 2 4R2 R2r1(2- 67)周边简支圆平板弯矩表达式:P22Mr 3 R r16P 2 n2MR 3 r 1 316应力表达式：(2-68)r m338t2R2m34 R28t2r2 1 3(2- 69)可以看出,最大弯矩和相应的最大应力均在板中央处r 0,MrmaxmaxPR216r maxmax3 3 pR28t2周边简支板下外表的应力分布曲线

11、见图2- 34(b)a oeOrO(T0.827.I3 40.50.628rR3图2-34圆板的弯曲应力分布(板下外表)3、比拟两种支承a.边界条件dw小rR0周边固支时：drrR,w 0一rR,w 0周边简支时：rR,M r 0b.挠度周边固支时,最大挠度在板中央wlaxPR464D(2- 70)周边简支时,最大挠度在板中央w；max5pR4164D(2-71)0.3简支固支sWmaxWmax5 0.31 0.34.08说明：周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度.c.应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力,其值为fr max3pR2(2-72)周边简支圆平板中的最大正应力为

12、板中央处的径向应力,其值为sr max3 3pR28t2(2-73)0.3简支固支sr maxf-r max3.321.65说明：周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力内力引起的切应力:在均布载荷p作用下,圆板柱面上的最大剪力Qr max £ rR处,近似采用矩形截面梁中最大切应力公式max2 bh得到max3 Qr max21 t3_pR4 t2最大正应力与Rt同一量级;最大切应力那么与Rt同一量级 因而对于薄板R>>t ,板内的正应力远比切应力大 从以上可以看出：max与Wmax圆平板的材料E、卩、半径、厚度有关假设构成板的材料和载荷已确定,那么减小半径或增加厚度

13、都可减小挠度和降低最大正 应力.工程中较多的是采用改变其周边支承结构,使它更趋近于固支条件增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提升平板的强度与刚度4、结论a. 板内为二向应力状态：r、且为弯曲应力,平行于中面各层相互之间的正应力z及剪力Qr引起的切应力 均可予以忽略.工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式.b. 应力分布：沿厚度呈线性分布,且最大值在板的上下外表.沿半径呈抛物线分 布,且与周边支承方式有关c. 强度：简支s maxsr max2sPR21.23上亍maxt2固支fmaxfr1 max0.75tsr maxfr max1.65d. 刚度：周边固支的圆平板在刚度

14、和强度两方面均优于周边简支圆平板e. 薄板结构的最大弯曲应力max与Rt成正比,而薄壳的最大拉 与Rt成正比.故在相同Rt条件下,薄板所需厚度比薄壳大.、承受集中载荷时圆平板中的应力压应力maxF Qr2 r采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法,可求得周边固支与周边简支圆板的挠度 和弯矩方程及计算其应力值挠度微分方程式2-60中,剪力Qr可由图2-35中的平衡条件确定:图2-35圆板中央承受集中载荷时板中的剪力Q3.4.4承受轴对称载荷时环板中的应力通常的环板仍主要受弯曲,仍可利用上述圆板的根本方程求解环板的应力、应变, 只是在内孔边缘上增加了一个边界条件当环板内半径和外半径比拟接近时,环板可简化为圆环.圆