山东工商学院-线性代数重点

1、(n阶行列式)11 L 1MMOM11 L 1解：D4 (n(n10L01L0)MMOM11L(na1a100a2a2-二00a30001110a10a200解：D4MM00n 11(n 1)( 1)n L ananan110L00a2L00a3L00MMMM0Lanan1L11(1)n(n 1)a1a2L 务三、设 11,1,1 ,1,2,3 ,31,3,t(1)当t为何值时,向量组 1, 2, 3线性相关?当t为何值时,向量组 1111解：(1)当D12313t(3)当1, 2, 3线性相关时,1 2,3线性相关3可否由1,2线性表示？假设能,求111012t 50,即 t 5 时,02

2、t 12,3线性无关?其表示系数(2)当D t 50,即t 5时,1,2, 3线性无关(3)当t 5时,解线性方程组3X1 1 X2 2,即X|x21x1 2x23得x 1x22x1 3x25所以3可由1 , 2线性表示,表达式为:3122 .四试判断向量2,4,8可否由向量组12,1,121,1,3 ,31,1,342,1,1线性表出？假设能,请试写出其一种表示形式解:解线性方程组X1 1X2 2X33&42x1X2X32x42即xX3X443x23x3X482112210212A1111411114133181331810212102120130601306035010004081

3、0212100 1201306010 0000102001 02X12x4即X20,当X40时,X12,X20,X3 2,X4 0.X32所以210 22304 .五证实：假设向量组12s 线性相关,那么向量组11,212,L ,s123s 也线性相关 .证明：显然, 向 量 组 1, 2,L ,s 可由向量 组 1,2,L ,s 线 性 表出 , 故 秩1, 2,L ,s )秩(1,2,L ,s,而向量组1, 2丄, s 线性相关,有秩1, 2,L ,ss,那么秩1, 2,L, s s ,所以向量组1, 2,L , s也线性相关六证实：假设向量组1,2,3可由向量组1 ,2,3 线性表出,1

4、,2,3线性相关,那么1, 2 , 3 也线性相关 .证实： 由于向量组 1, 2, 3 可由向量组 1, 2, 3 线性表出,故秩 1, 2, 3 秩1,2,3 ,而向量组1,2,3线性相关,有秩1,2,3 S,那么秩1,2,3s,所以向量组1,2,3也线性相关 .123121k2七设矩阵A0113 , 假设它的秩等于 3,求 k 的值11042025解：对矩阵A进行初等变换12311231123121k205k6000k115A01130113011311040333000122025044300015123112300113011000k11500k100001000100010000要

5、使矩阵A 的秩等于3,那么k1.八、设向量组i 1, 1,2,4, 20,3,1,2 , 33,0,7,14, 41, 2,2,0 ,52,1,5,10 .求其极大无关组103121031130210331A217250110421401002201031210312000100110101101000100000000000这个向量组的秩为3,其极大无关组为1,2 ,九试求向量组1 1,1,2,2,20,2,1,5 ,32,03,1,4解：根据这个向量组作一个矩阵并对这个矩阵作初等行变换2312将其余向量用此极大无关组表示解：根据这个向量组作一个矩阵并对这个矩阵作初等行变换4 或 1,3 ,

6、4 或 1,4 ,5.1,1,0,4的秩和一个极大无关组,并这个向量组的秩为一个极大无关组为,且有2x1x2x30取何值时,方程组xx2x30有非零解？4x15x2 5x30解：当这个线性方程组的系数行列式212 1D111 0(1)(54) 0,4 554504十这个线性方程组有非零解4时,即 1或32120Xi十一方程组4X15x1X2 X3 X4 X513x2 2x3 2x4 2x514x2 3x3 3x4 x5 aX22x3 2x4 6x5 b问：当a、b为何值时,方程组有解？无解？有解时,是唯一解还是无穷解?解:对这个线性方程组的增广矩阵进行初等行变换1111111 1111 143

7、22210 12263A54331a0 1226 a 501226b0 1226b11111101226300000a 200000b 3当a2或b3时,这个线性方程组无解；当a 2且b 3时,这个线性方程组有解,且有无穷多解十二a、b取何值时,线性方程组Xi X2X3X4X53 2x2X3X43x5x2 2x3 2x4 6x53解:对这个线性方程组的增广矩阵进行初等行变换11111111111132113a01226a 3A01226301226354331b01226b 510115201226300000a00000 b25x1 4x23X33x4X5有解,并求出全部解当a 0且b 2时

8、,这个线性方程组有解,其全部解为211532260k111<2 0 1<3 0 , <1*2*3为任意常数00100001十三设A125203TTTB,求AB,B A,A A341,12 021125133解：abt0234130352158 11T1 25B A023 4168 2 ；3036151310148ata125241420143415181426十四设A2A,说明EA可逆,并求EA) 1.解：由A2A,得AA2EE,有A1A2 E1 A2E,22进一步有AE1 A) E -2 2AE,即E1A)(E -A) E,所以E A可逆,且(EA)1 (E 1 A).十五

9、设n阶方阵A和B满足条件AB AB,证实A E为可逆矩阵证实：由A BAB,得ABABOMAB A B EE,即AEJ(BE) E,所以A E为可逆矩阵,且AE)1B E.121十六用初等变换求A310的逆矩阵.102解：对下面矩阵只进行初等行变换121100121100(A|E)310010053310102001023101102001102001013112013112023101009125-9 1-3 5-94-9 1-3 2-92 一 9 2-3 1-9o o 1o 1 o1 o o1 2 5-9 0 12-9 o 11-92 3 1 o 1 o 1 o o121故A 131010

10、2125999十七设A21311111 ,B20 ,求解矩阵方程 AX B X1 2 153解：X (A E) 1B,对下面矩阵只进行初等行变换11311(A E|B)121201205374211311032 11033641519所以 X (A E)1B15519十八假设n阶矩阵A满足A2 2A EO ,试证A可逆,并求出A 1.证实：由A2 2A E O得2A A2E,即 A(2E A) E,所以A可逆,且A 1(2E A).十九、求正交矩阵T ,使T1AT为对角矩阵.112333221解：1求 fA(1)( 2)(5).2由1解得A的特征值为:1,2,35.3对于1,解齐次线性方程组得

11、其线性无关的特征向量为:X3X1对于 2,解齐次线性方程组X2得其线性无关的特征向量为:X1对于5,解齐次线性方程组X2得其线性无关的特征向量为:4将3单位化得1X312233321-,有 T 1AT3332213335)令 T ( 1 , 2 , 3)1 0 00 2 00 0 54101-1410A01411014解：1求 fA41011410014110142)(4)2(6).2由1解得A的特征值为:12,234,46 .2101为01210x,03)对于2,解齐次线性方程组0121x30得其线性无关的特征向量为:对于4,解齐次线性方程组得其线性无关的特征向量为:1012焉0111110101x