导数的简单应用考点与题型归纳

1、导数的简单应用考点与题型归纳一、根底知识1. 函数的单调性与导数的关系在(a, b)内可导函数f(x), f' (x)在(a, b)任意子区间内都不恒等于 O.f' (x)>0? f(x)在(a, b)上为增函数.f' (x)w 0? f x?在(a, b)上为减函数.2. 函数的极值(1) 函数的极小值：函数y= f(x)在点x= a的函数值f(a)比它在点x= a附近其他点的函数值都小,f' a = 0； 而且在点x= a附近的左侧f' (x) v 0,右侧f' (x)>0,那么点a叫做函数y=f x的极小值点, f(a)叫做函数

2、y= f(x)的极小值.函数的极大值：函数y = f(x)在点x= b的函数值f(b)比它在点x= b附近的其他点的函数值都大,f' (b)=0;而且在点x= b附近的左侧f' (x) > 0,右侧f' (x) v 0,那么点b叫做函数y= f(x)的极大 值点,f(b)叫做函数y = f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.3. 函数的最值(1)在闭区间a, b上连续的函数f(x)在a, b上必有最大值与最小值.假设函数f(x)在a, b上单调递增,那么f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值；假设函 数f(x)在a,

3、b上单调递减,那么f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.开区间上的单调连续函数无最值.,O (1)f' (x)>0(v 0)是f(x)在区间(a, b)内单调递增(减)的充分不必要条件.f' (x) > 0(w 0)是f(x)在区间(a, b)内单调递增(减)的必要不充分条件.(3)由f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)可得f' (x) > 0(w 0)在该区间内恒成立,而不是f' (x) > 0( v 0)恒成立,“=不能少,必要时还需对“=进行检验臂(X0)= 0是X0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如,f(x)=

4、 x3, f' (0) = 0,但x =0不是极值点.(1)极值点不是点,假设函数f(x)在xi处取得极大值,那么xi为极大值点,极大值为f(xi);在x2处取得极小值,那么X2为极小值点,极小值为f(X2).极大值与极小值之间无确定的大小关系.(2) 极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数、常用结论(1)假设所求函数的单调区间不止一个,这些区间之间不能用并集“U及“或连接, 只能用“,“和字隔开.假设函数f(x)在开区间(a, b)内只有一个极值点,那么相应的极值一定是函数的最值.(3) 极值只能在定义域内取得(不包括端点),最值却可以在端点处取得,有极值的不一定 有最

5、值,有最值的也未必有极值； 极值有可能成为最值,非常数可导函数最值只要不在端点处取,那么必定在极值处取.第一课时导数与函数的单调性考点一求函数的单调区间1 .函数 f(x) = xln x,贝U f(x)()A .在(0,+s )上单调递增B .在(0,+s )上单调递减1c.在o, e上单调递增1D .在0, -上单调递减e解析：选D由于函数f(x)= xl n x的定义域为(0 ,+s),所以 f (x)= In x+ 1(x> 0),1当f (x)>o时,解得x>e,12.假设幕函数f(x)的图象过点即函数f(x)的单调递增区间为 -,+ ；所以 1= 2 a,a= 2

6、,所以 f(x) = x2,故 g(x)= exx2,那么 g ' (x)= exx2 + 2exx = ex(x2 + 2x),令 g ' (x)v 0,得一2 v xv 0,故函数g(x)的单调递减区间为(一2,0).答案：(一2,0)3. (2021开封调研)定义在区间(一n n上的函数f(x)= xsin x + cos x,贝U f(x)的单调递增区间是 .解析：f' (x) = sin x+ xcos x sin x= xcos x.令 f' (x) = xcos x>0(x ( n, n )解得nV xv n或 0V xvn,nn即函数f(x

7、)的单调递增区间是一 n 2和0,2 .答案：nnn 2 和 0,2考点二判断含参函数的单调性1(2021全国卷I节选)函数f(x) = - x+ aln x,讨论f(x)的单调性.x解f(x)的定义域为(0,+),1 ax2 ax + 1f'(X)1 + x一 x.当 aw 2 时,贝y f' (x)w 0,当且仅当 a = 2, x= 1 时,f' (x)= 0,所以f(x)在(0, + a)上单调递减.当a>2时,令f' (x)= 0,0,22f' (X) V 0 ；f' (x)>0.f(x)在 0 a-严2a+ . a2-42

8、+ oo上单调递减上单调递增.综合可知,当aw 2时,f(x)在(0 , + o)上单调递减；当a> 2时,f(x)在0a-a2- 42+ o上单调递减,在十,寸上单调递增.题组练习函数g(x)= In x+ ax2 + bx,其中g(x)的函数图象在点(1, g(1)处的切线平行于 x轴.(1)确定a与b的关系；假设a > 0,试讨论函数g(x)的单调性.1解：(1)g ' (x)= x + 2ax+ b(x> 0).由函数g(x)的图象在点(1, g(1)处的切线平行于x轴,得 g ' (1) = 1 + 2a+ b = 0,所以 b= 2a 1.(2)由

9、(1)得2ax2 2a+ 1 x+1(x)=2ax 1 x 1x由于函数g(x)的定义域为(0, + o),所以当a = 0时,x 1 g' (x)=由 g ' (x)> 0,得 0V xv 1,由 g' (x) V 0,得 x> 1, 即函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+ o)上单调递减.1当 a > 0 时,令 g' (x) = 0,得 x= 1 或 x=1假设2aV 1,即 a>12,(x)>0,得 x> 1 或 0V xv丄2a,(x)v 0,得 2a v xv 1,即函数g(x)在o, 2a, (1 ,+

10、o)上单调递增,在2a, 1上单调递减;1 1 1 假设石>1,即 Ov av 2,由 g' %)> 0,得 x>石或 0v xv 1,1 由 g ' (x)v 0,得 1 v xv 石,1 1即函数g(x)在(0,1), 2,+ m上单调递增,在1, 2a上单调递减；1 1假设2a= 1,即卩 a = 2,在(0,+ m)上恒有 g ' (x)> 0,即函数g(x)在(0,+)上单调递增.综上可得,当a= 0时,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减；1 1 1当0v av 2时,函数g(x)在(0,1),2,+ m上单调递

11、增,在1,亦 上单调递减；当a =舟时,函数g(x)在(0,+)上单调递增；1 1 当a>2时,函数g(x)在0,2,(1,+ m)上单调递增,1 、在2a, 1上单调递减.考点三根据函数的单调性求参数典例精析1(1) 假设函数f(x)= x-§sin 2x+ asin x在(,+ )单调递增,那么a的取值范围是 .1假设函数h(x) = In x 2ax2 即a?* ；恒成立. 2x(a丰0)在1,4上单调递减,那么 a的取值范围为 .1 2 解析(1)函数 f(x)= x ?sin 2x+ asin x在( 8,+ )单调递增,等价于 f' (x)= 1 ?cos

12、2x+ acos x= §cos2x+ acos x+3?0 在(一8,+8 )恒成立.设 cos x= t,贝V g(t) = §t24_5门g 1 = 3+ a+ 3?0,53311+ at + > 0在1,1恒成立,所以解得RW a<-.34533g 1 = 3a+尹0,(2) 由于h(x)在1,4上单调递减,1所以当 x 1,4时,h' (x)= - ax 2 W 0 恒成立,x1 2由(1)知 G(x) = -2-x,1 , 2所以 a> G(x)max,而 G(x)= - 解析：由于h(x)在1,4上单调递增,所以当 2而当 x 1,4

13、时,正-min = 1(此时 x= 1),所以a> 1,又由于0,所以a的取值范围是(一1,0) U(0,+s). 1 ,1 1由于 x 1,4,所以x 4,1 ,所以G(x) max= £(此时 x = 4),所以7a>低,又由于0,所以a的取值范围是£,0U (0,+ ).117答案：3,3(2) 16, 0 U (0,+ )变式发散1. (变条件)假设本例 条件变为“函数h(x)在1,4上单调递增,那么 a的取值范围为1x 1,4时,h' (x)A0恒成立,即a<壬恒成立,1 2又由于当 x 1,4时,-2 - min = 1(此时 x= 1

14、),x x所以aw 1,即a的取值范围是(一R , 1.答案：( R, 12. (变条件)假设本例(2)条件变为“函数h(x)在1,4上存在单调递减区间,那么a的取值范围为.解析：由于h(x)在1,4上存在单调递减区间,所以h' (x) v 0在1,4上有解,1 2所以当x 1,4时,a>x2 x有解,答案：(1,0)U (0,+ )3. (变条件)假设本例 条件变为“函数h(x)在1,4上不单调,那么 a的取值范围为解析：由于h(x)在1,4上不单调,12 1所以h' (x) = 0在(1,4)上有解,即a= x x= X 1 2 1在(1,4)上有解,127令 m(x

15、) = x2 x,x (1,4),那么1 v m(x)v花.所以实数a的取值范围是1,召.答案：-1,- £题组练习1. (2021渭南质检)函数f(x)= ax3 + bx2的图象经过点 M(1,4),曲线在点 M处的切 线恰好与直线x+ 9y= 0垂直.假设函数f(x)在区间m, m+ 1上单调递增,那么m的取值范围是解析：Tf(x)= ax3 + bx2的图象经过点 M(1,4),'a + b= 4,f' (x) = 3ax2+ 2bx,那么 f' (1) = 3a+ 2b.由题意可得f' (1)19 = 1,即卩 3a+ 2b= 9联立两式解得

16、a = 1, b = 3,'f(x)= x3+ 3, f'(x) = 3x2 + 6x.令 f' (x) = 3x2 + 6x> 0,得 x> 0 或 x< 2.函数f(x)在区间m , m+ 1上单调递增, m, m + 1? ( m , 2 U 0,+),'m>0 或 m+ K 2,即卩 m?0 或 mW 3.答案：(一m, 3 U 0,+m )2.函数f(x) = 3x 2x2 + In x(a>0),假设函数f(x)在1,2上为单调函数,那么a的取值范 a围是.31解析：f' (x) = - 4x + 一,ax

17、9;假设函数f(x)在1,2上为单调函数,3131即 f (x) = 4x+-?0 或 f' (x) = 4x+-W 0 在1,2上恒成立,axax3131即a>4x x或a三4x x在1,2上恒成立.ax ax人1令 h(x) = 4x x,那么h(x)在1,2上单调递增,33所以 a> h(2)或-< h(1),aa即3> 125或3,又 a>0,a 2 a2所以Ov a<或a> 1.答案：0,55 u 1,+r )课时跟踪检测A级1. 以下函数中,在(0,)上为增函数的是()A . f(x)= sin 2xB. f(x)= xexC. f

18、(x)= x3 xD. f(x) = x+ In xnn解析：选B 对于A , f(x) = sin 2x的单调递增区间是 kn 4, kn+ 4 (k Z);对于B,f' (x)= ex(x+ 1),当 x (0 ,+s)时,f' (x)> 0,二函数 f(x)= xex 在(0, +)上为增函数;对于 C,f' (x)= 3/ 1,令 f'(x) > 0,得 x>f 或 xv扌函数 f(x) = x3 x 在一R,和 ¥,+ R 上单调递增；对于 D , f' (x)= 1 + 1 = ?,令 f' (x) >

19、; 0,得 0v xv 1,3函数f(x)= x+ ln x在区间(0,1)上单调递增.综上所述,应选B.2. 函数f(x)= x2 + 2cos x,假设f' (x)是 f(x)的导函数,贝U函数f' (x)的大致图象是()l八1y k7)1f 1C解析：选 A 设 g(x) = f' (x) = 2x 2sin x,那么 g ' (x)2 2cos x>0,所以函数 f' (x)在 R 上单调递增,结合选项知选 A.13假设函数f(x) = (x2 cx+ 5)ex在区间2,4上单调递增,那么实数 c的取值范围是()B ( 8, 4A (汽 2

20、C. ( 8, 8D 2,41解析：选 B f' (x) = x2 + (2 c)x c+ 5ex, ：函数 f(x)在区间 2,4 上单调递增,/-x2 +12,4恒成立,1 2(2 c)x c+ 5> 0对任意 x 2, 4 恒成立,即(x + 1)c< x2 + 2x + 5对任意 x1 x2 + 2x+ 54,4,/.= x+ 1 +2 x+1x+1当且x2 + 2x+ 51心帀厂对任意x 2, 4恒成立,一" 仅当x= 1时等号成立, CW 4.14. (2021咸宁联考)设函数f(x)= -x2 9ln x在区间a 1, a+ 1上单调递减,那么实数a

21、的取值范围是()A . (1,2B . (4, +8 )C. (8, 2)D. (0,31 99解析：选 ATf(x) = Tx2 9ln x,/f' (x) = x _(x> 0),由 x 一< 0,得 0v x< 3,/f(x)2 xx在(0,3上是减函数,那么a 1, a+ 1? (0,3, /a 1>0 且 a + 1< 3,解得 1 v a< 2.5. (2021南昌联考)函数f(x+ 1)是偶函数,当x (1, +8)时,函数f(x) = sin x x,1设 a= f , b= f(3), c = f(0),贝U a, b, c 的大小

22、关系为()A. bv av cB. cv av bC. b v cv aD. av bv c1解析：选A函数f(x+ 1)是偶函数,函数f(x)的图象关于直线x= 1对称,.a= f -5=f , b = f(3), c= f(0) = f(2).又当 x (1, + 8)时,函数 f(x) = sin x x,/ 当 x (1, +8)时,f' (x) = cos x 1 w 0,即 f(x)= sin x x 在(1,+ 8)上为减函数,/. bv av c.6 .函数y = f(x)(x R)的图象如下图,那么不等式xf' (x)>0的解集为解析:由f(x)图象特征

23、可得,2 2 上 f (x) vx> 0,x< 0,0,所以 xf' (x)A 0?或f' x > 0 f' x w 00wxwg或x>2,所以xf' (x)>0的解集为 0, 1 U 2 ,+s).1答案：0, 1 U 2,+ )7. (2021岳阳模拟)假设函数f(x)= x2- e"- ax在R上存在单调递增区间,贝U实数a的取值范围是.解析：函数f(x)= x2- ex- ax在R上存在单调递增区间,'f' (x)= 2x- ex- a> 0,即 a v 2x- ex有解.设 g(x) = 2

24、x-ex,贝U g' (x) = 2- ex,令 g ' (x)= 0,得 x= In 2 ,那么当xv In 2时,g ' (x)> 0, g(x)单调递增, 当 x > In 2 时,g' (x)v 0, g(x)单调递减,当 x= In 2 时,g(x)取得最大值,且 g(x)max= g(ln 2) = 2ln 2 2 ,.av 2ln 2 2.答案：(一a, 2ln 2 2)&设f(x)= a(x- 5)2+ 6ln x,其中a R,曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线与y轴相交 于点(0,6).(1) 确定a的值；(2)

25、 求函数f(x)的单调区间.解：(1)由于 f(x)= a(x- 5)2+ 6ln x,6所以 f' (x)= 2a(x- 5) + .入令 x = 1,得 f(1) = 16a, f' (1) = 6 8a,所以曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y 16a = (6 8a)(x-1),1由点(0,6)在切线上,可得 6- 16a= 8a-6,解得a=(2)由知,f(x) = j(x 5)2+ 6ln x(x > 0),6x 2 x 3f' (x)=x 5+x= x .令 f' (x) = 0,解得 x = 2 或 x= 3.当 0 v

26、xv 2 或 x> 3 时,f' (x)> 0;当 2 v xv 3 时,f' (x)v 0,故函数f(x)的单调递增区间是(0,2), (3 ,+s),单调递减区间是(2,3).9e是自然对数的底数,实数 a是常数,函数f(x)= ex ax 1的定义域为(0,+ ).(1) 设a = e,求函数f(x)的图象在点(1, f(1)处的切线方程；(2) 判断函数f(x)的单调性.解：(1) Ta = e,.f(x) = ex ex 1,f' (x)= ex e, f(1) = 1, f' (1) = 0.当a= e时,函数f(x)的图象在点(1, f

27、(1)处的切线方程为y= 1.(2) - f(x) = e ax 1 ,.°.f' (x) = e a.易知f' (x)= ex a在(0 ,+s)上单调递增.当 aw 1 时,f' (x)> 0,故 f(x)在(0,+ a)上单调递增；当 a> 1 时,由 f' (x)= ex a = 0,得 x= In a,当 0vxv In a 时,f' (x) v 0,当 x> In a 时,f' (x)> 0,f(x)在(0, In a)上单调递减,在(In a,+)上单调递增.综上,当aw 1时,f(x)在(0,+a

28、)上单调递增；当a > 1时,f(x)在(0, In a)上单调递减,在(In a, + a)上单调递增.B级1.2021南昌模拟函数f(x) = xsin x,nnX1, X2 2, 2,且 f(X1)V f(X2),那么()A.X1 X2 > 0B.X1 + X2> 0C.x1 x2> 0D.x2 x2v 0解析：选 D 由 f(x)= xsin x,得 f' (x)= sin x+ xcosx= cosx(tan x+ x),当 x 0,才 时,nf' (x)>0,即 f(x)在 0, 2 上为增函数,又Tf( x)= xsin( x)= x

29、sin x= f(x), .-.f(x)为偶函数,当 f(Xl)V f(X2)时,有 f(|Xl|)V f(|X2|),.|xi| V |X2|, xi x2< 0,应选 D.12.函数f(x)= x2 In x的单调递减区间为 .1 解析：由题意知,函数f(x)的定义域为(0 ,+),由f(x) = x -< 0,得0 < x< 1,所以X函数f(x)的单调递减区间为(0,1).答案：(0,1)13. (2021郴州模拟)函数f(x) = 2X2+ 4x 3ln x在区间t, t + 1上不单调,那么实数t的取值范围是.3 1 3解析：由题意知f' (x) =

30、 x+ 4= ,由f' (x) = 0得函数f(x)的两个极值点为1和3,那么只要这两个极值点有一个在区间(t, t+ 1)内,函数f(x)在区间t, t + 1上就不单调,t< 1 ,t< 3,1 (t, t+ 1)或 3 (t, t + 1)?或t+ 1 > 1 t + 1> 30< t< 1 或 2< t< 3.答案：(0,1) U (2,3)4. 函数y= xf' (x)的图象如下图(其中f' (x)是函数f(x)的导函数),解析：选C(x) < 0,故y= f(x)在(0,1)上为减函数；当当 0<

31、x< 1 时,xf' (x)< 0,.f'x> 1 时,xf' (x)> 0,.f' (x)> 0,故 y= f(x)在(1 ,+s)上为增函数,因此排除A、B、D ,f(a 1) + f(2a2) w 0,x= 0时取等号,上单调递减;应选C.15. 函数f(x) = x3 2x+ ex x,其中e是自然对数的底数假设e那么实数a的取值范围是 .1解析：由 f(x)= x3 2x+ ex -x,e1得 f( x) = x'+ 2x+ x x= f(x),所以f(x)是R上的奇函数.又 f (x) = 3x x 当a= 0时

32、,F ' (x)=,F(x)在(0,1)上单调递增,在(1, + 2+ -x+ -x?3x2 2+ 2 i' -x = 3x2> 0,当且仅当所以f(x)在其定义域内单调递增.由于 f(a 1)+ f(2a2)w0,所以 f(a 1)w f(2a2) = f( 2a2),2 1所以a 1w 2a2,解得1w aw勺,1故实数a的取值范围是1, 2 .1答案：1, 11 、6. f(x)= ax一,g(x)= In x, x>0, a R 是常数.x(1) 求函数y= g(x)的图象在点P(1, g(1)处的切线方程；设F(x)= f(x) g(x),讨论函数F(x)的单调性.解：(1)由于 g(x) = In x(x> 0),1所以 g(1) = 0, g ' (x) = x, g' (1) = 1,故函数g(x)的图象在P(1, g(1)处的切线方程是y = x 1.1(2) 由于 F(x)= f(x) g(x)= ax In x(x> 0),1 1 1 1 2 1所以 f '(x)=a+x2 1=a+ 1-2 211 当a> 4时,F' (x) > 0, F(x)在(0 ,+s)上单调递增