实数典型例题培优

1、标准文档实数典型问题精析培优例1 . 2021年乌鲁木齐市中考题.2的相反数是A.2 B. 2C乎D.乎分析：此题考查实数的概念一一相反数,要注意相反数与倒数的区别,实数a的相反数是-a ,选A.要谨防将相反数误认为倒数,错选D.11上w;3 12丿<3丿< 4丿例2. 2021年江苏省中考题下面是按一定规律排列的一列数：第3个数：丄1+二1 i厂*1厂M5412丿<3丿4丿1 5丿< 6丿第1个数：2弓；第2个数:第 n 个数：11 + 一1 i1+-13川(-1)22n +1 I 2 丿< 3丿< 4 r'、2门丿那么,在第10个数、第11个数、

2、第12个数、第13个数中,最大的数是A A.第10个数B.第11个数C.第12个数D.第13个数解析：许多考生对此题不选或乱选,究其原因是被复杂的运算式子吓住了,不善于从复杂的式子中寻找出规律,应用规律来作出正确的判断也有一些考生尽管做对了,但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比拟而得出答案的,费时费力,影响了后面试题的解答,造成了隐性失分此题貌似复杂,其实只要认真观察,就会发现,从第二个数开始,减数中的因数是成对增加的,且增加的每一对数都是互为倒数,所以这些数1 1111的减数都是 丄,只要比拟被减数即可,即比拟丄、丄、丄、丄 的大小,答案一目了然2 11 12

3、 13 14例3 荆门市定义b= a2 b,那么1探2探3= .2 2 2解 由于b= a b,所以1探2探3= 1 2探3= 1探3 = 1 3= 2.故应填上-2.说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义,注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系,及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号例4 河北省古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、,这样的数称为“三角形数而把1、4、9、16、,这样的数称为“正方形数从如下图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数都可以看作两个相邻“三角形数之和以下等式中,符合这一规律的是A.13 = 3+10B.25 = 9+16C.36 =

4、 15+21D.49 = 18+31* «- * «4=1+39=3+616=6+10解 由于15和21是相邻的两个“三角形数,且和又是36,刚好符合“正方形数, 所以36= 15+21符合题意,故应选 C.说明 此题容易错选 B,事实上,25虽然是“正方 形数,而9和16也是“正方形数,并不是两个相邻“三角形数 例5. 2021年荆门市中考题假设. x=x y2,那么x y的值为A. 1 B . 1 C . 2 D . 3分析：由于 x-1 > 0,1-x > 0,所以 x > 1 ,x < 1,即 x = 1.而由 Jx 1 屮 一x = x 十

5、 y2 , 有 1+y= 0,所以 y = -1 , x y= 1- 1= 2.1例6. 2021年宜宾市中考题数据：,、2,-、3 , n, 2 其中无理数出现3的频率为A. 20% B . 40% C . 60% D . 80%分析：,、2和,3开方开不尽的数,所以、:2和-.3都是无理数；沢是无限不循环小数,也13是无理数；而丄,-2都是有理数,所以无理数出现的频率为=0.6 = 60%,选C.3 5例 7 为了求122 232 2021 的值,可令S=1222322021,那么 2S =222324 22021,因此2S-S= 2 2021 - 1 ,所以 1 22 2322021=2

6、 2021 -1.仿照以上推理计算出1552552021的值是20212021A. 52021 - 1B.5 2021 -1C. _11D.52021 -14 4解析：此题通过阅读理解的形式介绍了解决一类有理数运算问题的方法,利用例题介绍的方法,有：设S=1552552021,那么 5S=5 52552021-52021,因此 5S-S = 52021 -1,所以 S= 5TA,选 D.4说明：你能从中得到解决这类问题的一般性规律吗？试一试例8. 2021年枣庄市中考题a是不为1的有理数,我们把称为a的差倒数.如:1 _a1 11 12的差倒数是口 i 一1的差倒数是中二 a-3,a2是a1的

7、差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,依此类推,那么a2021二.解析：首先要理解差倒数 的概念,再根据要求写出一列数,从中找出规律,再应用规律1131来解决问题根据题意可得到：a1, a2 =1, a3 =3 =4, a4 =31-41-3411,可见这是一个无限循环的数列,其循环周期为3,而2021= 669X 3+2,1-43所以a2021与a2相同,即a2021 :4典型例题的探索利用概念例3.:的算术数平方根,立方根,求的平方根.分析：由算术平方根及立方根的意义可知a,b-2=2: 1 .,2a-b,4=3 : 2 联立<1><2>解方程组,得:代入

8、条件得：故M+ N的平方根是土练习：1.,所以,求的算术平方根与立方根.2.假设一个正数a的两个平方根分别为大小比拟例4.比拟的大小.分析：要比拟的大小,必须搞清,综合得,此时仍无法比拟,为此可将和,求的值.a的取值范围,由知,由知a的取值分别为:;时,取,那么三种情况进行讨论,各个击破.当实用大全显然有当 时,当时,仿取特殊值可得,求的值.例5.有理数a满足分析：观察表达式中的隐含条件,被开方数应为非负数即,亦即,故原式可化为：- 2004 -a .a-2005 =a. a - 2005 = 2004. a - 2005 =20042. a-20042 =2005练习：假设x、y、m适合关系

9、式.3x 5y -3 -m2x 3y -m 二 x -2005 yJ2005-X -y,试求 m的值.思路：x-2005+y与2005-x-y互为相反数,且均有算术平方根,故二者分别为0规律探索例6借助计算器计算以下各题：12 34仔细观察上面几道题及其计算结果,你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？分析：利用计算器计算得：1,23, 4观察上述各式的结果, 容易猜测其中的规律为：个1与n个2组成的数的差的算术平方根等于n个3组成的数.即实数思想方法小结实数是整个数学学科的根底,对于初学者来讲,有些概念比拟抽象、难懂,但是,如果我们运用数学的思想方法来指导本章的学习,却会收到良好的效果. 那么

10、,在本章中有哪些重要思想方法呢？一、估算思想估算水平是一种重要的数学思维方法, 估算思想就是在处理问题时,采用估算的方法达 到问题解决的目的,在遇到无理数的大小比拟或确定无理数的范围等问题时,常用到估算的方法进行解决.例i估计.70+1的值是A在2和3之间B在3和4之间C在4和5之间D在5和6之间分析：此题主要考查学生的估算水平,首先要确定.10的取值范围,在估算.10+ 1的取值 范围.由于 9v 10v 16,所以,9 v 10< ,16,即 3v 10< 4, 4v 10+K5,从而可确 定.10 + 1的取值范围.解：选C.二、数形结合思想所谓数形结合就是抓住数与形之间本质

11、上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来的一种方法.通过“以形助数或“以数解形 ,使复杂问题简单化、抽象问题具体化, 从而到达优化解题的目的. 在数轴上表示实数,根据数轴上的数进行有关的计算等都能表达 数形结合思想的重要作用.例2如图1,数轴上点A表示,2,点A关于原点的对称点为 B,设点B所表示的数为x, 0 _求x - 2. 2 x的值.BA 图1分析：此题是与数轴有关的数形结合的问题,要求°. 2x的值,需要先根据数轴确定x的值,由数轴易得 x - - J2.从而可求出代数式的值.解：；点A表示的数是2 ,且点B与点A关于原点对称,点B表示的数是-2,即x =$2.x-、

12、20.2x=-、2- .2°、2 -、2 =1-2 - -1.三、分类思想所谓分类讨论思想就是根据一定的标准,把研究对象分成为数不多的几个局部或几种情况,然后逐个加以解决,最后予以总结做出结论的思想方法.根据不同的标准,实数会有一些不同的分类方法. . 1例3在所给的数据：22 ,3一 -5,-,二,0.57,0.585885888588885相邻两个5之间8的个数 3逐次增加1个其中无理数个数.A2 个B3C4个D5 个解析：作此类题需要掌握实数的分类.判断一个数是哪类数,可以化简后再判断,但是对于2代数式分类判断,那么不能化简后再判断,如是分式,对于数、式分类时,常用策略是：x“

13、数看结果,式看形式.22 = .4 = 2 ； 3 5 - -3 5 ；显然.22、-、0.57都是有理3数；所以无理数的个数为3.选B.解释理由如下：11- 1-222 = 1 10n 11一1 _222 = 111 10n1 = ；11 1 10n -1. 2n个1n个2.n个1n个1n个2.n个1n个1n个1=9 11 12 =333Vn个 1n个 3?平方根?典例分析平方根是学习实数的准备知识, 是以后学习一元二次方程等知识的必备根底,也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法,供同学们学习时参考.一、基此题型例1求以下各数的算术平方根151 64 ; 2 一32

14、 ; 3 1.49分析：根据算术平方根的定义, 求一个数a的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a的运算,更具体地说,就是找出平方后等于a的正数.解：1由于82 =64,所以64的算术平方根是8,即、64 = 8 ；2由于-32 =32 =9,所以-32的算术平方根是3,即.-32 =3 ；由于爲境,又82常,所以149的算术平方根是'r 14H.点评：这类问题应按算术平方根的定义去求2.要注意-3的算术平方根是3,而不是3.另外,当这个数是带分数时,应先化为假分数,然后再求其算术平方根,不要出现类似想一想：如果把例 1改为：求以下各数的平方根 你会解吗？请试一试例2求以下各式的值(1

15、) _ . 81 ; ( 2)一 .16 ;(4)(二4)2分析：土 . 81表示81的平方根,故其结果是一对互为相反数；.16表示16的负平方根,故其结果是负数；.25表示的算术平方根,故其结果是正数；._42表示-4225的算术平方根,故其结果必为正数解:由于 92 =81,所以土 ,81 =± 9.(2)由于42 =16,所以. 16 = -4.(3)由于2 _13!9缶门3-=一,所以=_.2 丿 25¥255由于2 2 24 =( V),所以.(-4)=4.点评：弄清与平方根有关的三种符号土、a、. a、 , a的意义是解决这类问题的关键.± , a表示

16、非负数a的平方根.a表示非负数a的算术平方根,一.a表示非负数a的负平方根注意,a工土 . a .在具体解题时,符与“.一 的前面是什么符号,其计算结果也就是什么符号,既不能漏掉,也不能多添例3 假设数m的平方根是2a 3和a-12,求m的值.分析：因负数没有平方根,故 m必为非负数,故此题应分两种情况来解解：由于负数没有平方根,故m必为非负数.(1)当m为正数时,其平方根互为相反数,故 (2a 3) + ( a -12) =0,解得a = 3,故 2a 3 = 2 3 3 =9 , a-12=3-12 = -9,从而 a =92 =81.2 当m为0时,其平方根仍是 0,故2a *3 = 0

17、且3a-43=0,此时两方程联立无解.综上所述,m的值是81.二、创新题型是多少？有下面的解题过程： X -1和 J - X都是算术平方根,故两者的被开方数例4先阅读所给材料,再解答以下问题：假设,x -1与一 1 - X同时成立,贝y x的值应x -1,1 -x都是非负数,而x -1和1 -X是互为相反数两个非负数互为相反数,只有一种情形成立,那就是它们都等于o,即X -1=0, 1 -x=o,故X =1.问题：y »订2x . 2x 12,求xy的值.解：由阅读材料提供的信息,可得2x_1=0,故x = 进而可得y = 2.故2点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题

18、目所给的材料,总结出正确 的结论,然后用所得的结论解决问题穿墙术例5请你认真观察下面各个式子,然后根据你发现的规律写出第、个式子. -/16 = . 116 = ：. 1 4? = .1 4 14=4 ； ,32 = . 216 = 2 4 -2 :, 4 -24 - 4: 2 ； 48 = . 316 = i 3 42 =. 3 ： -. 42 =34 - 4-13 .分析：要写出第、个式子,就要知道它们的被开方数分别是什么,为此应认真观察所给式子的特点通过观察,发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的,故第、个式子的被开方数应该分别是64和80.解：. 64 = 4 16 = 4

19、 42 =、. 4,： = 42 = 2 4 = 8 ； J80 = *5x16 = H5X 42 = J5 江 J42 = J5 汇帖42 = J5 x 4 = 4J5 .点评：这是一个探究性问题,也是一道开展数感的好题,它主要考查观察、归纳、概括的水平.解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点,然后从特殊的例子,推广到一般的结论,这是数学中常用的方法,同学们应多多体会,好好掌握！平方根概念解题的几个技巧平方根在解题中有着重要的应用同学们想必已经知到但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用希望对大家的学习有所帮助一、巧用被开方数的非负性求值大家知道,当a> 0时,a的平方根是土

20、a ,即a是非负数例 1、假设2 - x - . x - 2 - y = 6,求 yX的立方根.分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2 x> 0,得x< 2;x 2> 0,得x> 2;进一步可得x=2.从而可求出y= 6.- x >0x <2t丄x2解 丿,.x=2;当 x=2 时,y= 6. y =( 6) =36.X20込32所以yx的立方根为3 36 .二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道,当a> 0时,a的平方根是土 .a,而(a) ( -a) = 0.例2、：一个正数的平方根是2a 1与2 a,求a的平方的相反数的立方根

21、.分析由正数的两平方根互为相反得:(2a 1)+(2 a)=0,从而可求出a= 1,问题就解决了 .解 / 2a 1 与 2 a 是一正数的平方根,.(2a 1)+(2 a)=0, a= 1.a的平方的相反数的立方根是3 一1 = 一1.三、 巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,a _0,即a=0时其值最小,换句话说.a的最小值是零.例3、：y= . a - 2 3(b 1),当a、b取不同的值时,y也有不同的值.当y最小 时,求ba的非算术平方根.(即负的平方根)分析y= . a - 2 3(b1),要y最小,就是要a - 2和.3(b - 1)最小,而:/a - 2?0, /3(b

22、1)?0,显然是 Ja - 2 =0 和./3(b 1) =0,可得 a=2,b= 1.解ra - 2?0, 3(b 1)?0,y= fa - 2 t、；3(b ' 1) , . ila - 2 =0 和 3(b 1) =0 时,y 最小.由 a - 2 =0 和.3(b 1) =0,可得 a=2,b= 1.所以ba的非算术平方根 是- J = -1.四、 巧用平方根定义解方程.我们已经定义：如果x2=a ( a> 0)那么x就叫a的平方根.假设从方程的角度观察,这里 的x实际是方程x2=a (a > 0)的根.例4、解方程(x+1) 2=36.分析 把x+1看着是36的平

23、方根即可.2解 ( x+1) =36 x+1看着是36的平方根.x+仁 ± 6./ xi=5 , x 2= 7.例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程)你能否解 27(x+1) 3=64这个方程呢？不妨试一试.利用平方根的定义及性质解题如果一个数的平方等于a (a>0),那么这个数是 a的平方根根据这个概念,我们可以解决一些和平方根有关的问题(例1与例2区别)例1一个数的平方根是2a 1和a 11,求这个数.分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.互为相反数的两个数的和为零.解：由 2a 1+a 11=0,得 a=4,所以 2a 1=

24、2x 4 仁7.2所以这个数为7=49.例22a 1和a 11是一个数的平方根,求这个数.分析：根据平方根的定义,可知2a 1和a11相等或互为相反数.当2a 1=a 11时,a=10,所以2a仁21,这时所求得数为(21)2=441;当2a 1+a 11=0时,a=4,所以2a仁7,这时所求得数为 72=49.综上可知所求的数为 49或441.(区别：类似3是9的平方根,但9的平方根不是3,是+3、-3.)例32x 1的平方根是土 6,2 x+y 1的平方根是土 5,求2x 3y+11的平方根 分析：由于2x 1的平方根是土 6,所以2x 仁36,所以2x=37;由于2x+y 1的平方根是

25、± 5,所以 2x+y 1=25,所以 y=26 2x= 11,所以 2x 3y+11=37 3 X ( 11)+11=81,由于81的平方根为土 9,所以2x 3y+11的平方根为土 9.例4假设2m 4与3m- 1是同一个数的平方根,那么口为()(A) 3( B) 1(C 3 或 1( D) 1分析：此题分为两种情况：(1)可能这个平方相等,即2m 4=3n 1,此时,m= 3; ( 2) 一个数的平方根有两个,它们互为相反数,所以(2m- 4) + (3m 1) =0,解得 m=1.所以选(C).练一练：1. x的平方根是2a 13和3a 2,求x的值2. 2a 13和3a2是

26、x的平方根,求x的值3. x+2y=10,4x+3y=15,求 x+y 的平方根.答案:1.49;2. 49 或 1225; 3._、.5 .从被开方数入手二次根式中被开方数的非负性,时常是求解二次根式问题的重要隐含条件.从被开方数入手,将会使很多问题迎刃而解.一、确定二次根式有意义例1.以下各式中一定是二次根式的是A- - B. 1 匸 C.D 厂分析：二次根式的两个根本特征是带二次根号“,被开方数必为非负数. A中被开方数为负数；B中不带“,而是“D中被开方数的正负无法确定；所以 A B D都不是或不一定是二次根式.只有 C中的被开方数 F +4恒大于0,且带“ ,故 选C.例2. x取何

27、值时,以下各式在实数范围内有意义.仁,.：.仲1分析：使二次根式在实数范围内有意义,必有被开方数大于等于0.如果式子中含有分母,分母不能为0°解：由2 x?0,x l?0,.lWxW2,.当1 <x<2时,式有意义；由2x 1>0分母2x 1工0. x>, 当x> 1时,式有意义；2 2由x 1> 0, x 2工0, x> 1且x丰2,二当x > 1且x丰2时,式有意义； 由于x 3> 0,. x取任何实数时,式都有意义.二、含有相反数的被开方数根式的化简与求值例3.Y=r ：. ,:,求xy64 i的算术平方根.分析：由被开方数

28、x 7 7x互为相反数,且均需满足被开方数大于等于0.故x 7=7x=0,由此求出x、y.解：由 0x 7 = 7x= 0,得 x=7,. y= 9.JO_642-64| =卩沙-64| =1例4.设等式在实数范围内成立.其中,m x、y是互不相等的三个实数,求代数式 _2 '一 的值.x -y-y解：由x 丰 y,. x 0, y 0又被开方数x m> 0 , m y > 0即y m< 0即有 x m> 0, y m< 0而被开方数搐A 一廉工o血工om <0L.将m=0代入等式,得.x = y>0 *+ + / = '+*?+/ =

29、 /_ = 1?-jy-y1V3 3F面两道练习题,同学们不妨试试.1.x取何值时,以下各式在实数范围内有意义.,二十.'：.2.假设 i ：. - ： -,试求4x - 2y2021 的值.实数大小进行比拟的常用方法实数的大小比拟是中考及数学竞赛中的常见题型,不少同学感到困难.“实数是初中数学的重要内容之一, 也是学好其他知识的根底.为帮助同学们掌握好这局部知识,本文介绍几种比拟实数大小的常用方法,供同学们参考.方法一：差值比拟法差值比拟法的根本思路是设 a, b为任意两个实数,先求出 a与b的差,再根据当a b > 0时,得到a > b.当a b< 0时,得到a

30、< b.当a b= 0,得到a=b.例1: 1比拟上1与-的大小.5 52比拟1 - , 2与1 3的大小.解( 12 ) ( 1 ,3 ) =、3 2 > 0 , 1- . 2 > 1 . 3.方法二：商值比拟法商值比拟法的根本思路是设a, b为任意两个正实数,先求出 a与b得商.当a v 1时,av b;当a > 1时,a>b;当a=1时,a=b.来比拟a与b的大小. b3 11例2:比拟.与的大小.3-155解：- 3-1 v 155方法三：倒数法 倒数法的根本思路是设 a, b为任意两个正实数, 先分别求出a与b的倒1 1数,再根据当丄丄时,av b.来比

31、拟a与b的大小.a b例 3：比拟.2004 . 2003 与,2005 -. 2004 的大小.解1= . 2004 + . 2003.2004 -、20031= . 2005 + . 2004.2005 -、2004又 . 2004 + 2003 v . 2005 + . 2004 . 2004 - 2003 > . 2005 . 2004 -超纲,不作要求方法四：平方法平方法的根本是思路是先将要比拟的两个数分别平方,再根据a>0, b>0时,可由a2 > b2得到a>b来比拟大小,这种方法常用于比拟无理 数的大小.例5:比拟、2 R与.5的大小解：、一 2

32、,.62 =82,12,、 3.52=8+2 15.又8+2/2 v8+2 . 15- 26 v . 3 .5.方法五：估算法估算法的根本是思路是设a,b为任意两个正实数, 先估算出a ,b两数或两数中某局部的取值范围,再进行比拟.例4:比拟 "一3 与-的大小8 8解： 3v 13 v 4 . 13 3v 1方法六：移动因式法穿墙术移动因式法的根本是思路是,当a> 0, b> 0,假设要比拟形如a、.b与c、. d的大小,可先把根号外的因数 a与c平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比拟.例6:比拟2 .7与3 .3的大小解：2 . 7 = J22 7 = 28

33、, 3 3 = ； 32 *3 =. 27.又 28> 27, 2 . 7 >3 . 3.方法七：取特值验证法比拟两个实数的大小,有时取特殊值会更简单.例7：当0YxY1时,X2 , X, 1的大小顺序是.X解：特殊值法取x=!,那么：x2=, 1=2o24X11c2 1<_ v2,X v X v42X例常德市设a=20, b= ( 3)2,c =3 -9 , d=1 '-,贝U a、b、c、d按由小到大的2顺序排列正确的选项是)A. cv av dv bB. bv dv av cC.av cv dv bD. bv cv av d分析 可以分别求出a、b、c、d的具体

34、值,从而可以比拟大小 解 由于 a= 2 = 1, b= 32= 9,=2,而- 39 v 1 v 2v 9,所以cv av dv b.故应选A能快速地取得除以上七种方法外,还有利用数轴上的点,右边的数总比左边的数大；以及绝对值比拟 法等比拟实数大小的方法. 对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题.令人满意的结果.无限循环小数可以化成分数我们知道小数分为两大类： 一类是有限小数,一类是无限小数.而无限小数又分为两类: 无限循环小数和无限不循环小数.有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之 几,很容易化为分数无限不循环小数即无理数,它是不能转化成分数的但无限循环 小数却可以化成分数,下

35、面请看：探索1:把0.323232即0.3 2化成分数.分析：设 x=3 2=0.32+0.0032+0.000032+ 上面的方程两边都乘以100得100x=32+0.32+0.0032+0.000032+ 323299用同样方法,我们再探索把0.5 , 0.3 02化为分数.可知 0.5 =,0.3 30202=999得 100x x=3299x=32 x=所以 0323232通过上面的探索可以我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数,发现,纯循环小数的循环节最少位数是几,化成分数的分母就有几个 9组成,分子恰好是个循环节的数字.探索2:把0.4777和0.325656化成

36、分数分析：把小数乘以10得0.4777X 10=4.777再把小数乘以100得0.4777 X 100=47.77 得 0.4777 X 100 0.4777 X 10=47 40.4777 X 90=43 0.477743=90 所以 047774390再分析第二个数0.325656化成分数.把小数乘以100得0.325656 X 100=32.5656 把小数X 10000得0.325656 X 10000=3256.56 一得0.325656 X( 10000 100) =3256 323224°325656 x 9900=3224 0.325656 =9900同样的方法,我们可化0.17 2 5 =170899000. 32326990混循环小数化分数我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数.的规律是：循环节的最少位数是n,分母中就有n个9,第一个循环节前有几位小数,分母中的9后面就有几个0,分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数,减去一个循环节数字的差,例如0.172 5化成分数的分子是1725