switchedsystemscourse2(2013)

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/32二、切换系统概述二、切换系统概述 2.1 切换系统的研究背景切换系统的研究背景 2.2 切换系统的基本概念和特性切换系统的基本概念和特性 2.3 切换系统的数学模型切换系统的数学模型 2.4 切换系统的基本问题和方法切换系统的基本问题和方法 2.5 切换系统的研究现状切换系统的研究现状 2.6 常用的结果常用的结果机动 目录 上页 下页 返回 结束 2/322.1 切换系统的研究背景切换系统的研究背景 混杂系统混杂系统(hybrid systems)是指包含连续时间动态系是指包含连续时间动态系统统(continuous-time dynamic sy

2、stems)和离散时间动态系和离散时间动态系统统(discrete event dynamic systems)及其相互作用的复杂及其相互作用的复杂系统，主要用于对复杂大系统的描述、分析及控制。系统，主要用于对复杂大系统的描述、分析及控制。 切换系统切换系统(switched systems)是从系统与控制科学的是从系统与控制科学的角度来研究混杂系统的一类重要模型，是目前混杂系角度来研究混杂系统的一类重要模型，是目前混杂系统理论研究的一个国际前沿方向。统理论研究的一个国际前沿方向。机动 目录 上页 下页 返回 结束 3/32实例实例 背景背景u 温度控制系统温度控制系统温度温度T(t)是连续动

3、态；是连续动态；温度调节器温度调节器“开开”、“关关”是离散事件；是离散事件；机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/32u汽车驾驶自动换挡控制汽车驾驶自动换挡控制位置q油门u0,1档位g1,2,3,4速度w机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/32u汽车驾驶自动换挡控制汽车驾驶自动换挡控制行驶速度、加速度、油门开度、刹车制动力均为连续动态；行驶速度、加速度、油门开度、刹车制动力均为连续动态；汽车档位为离散事件；汽车档位为离散事件；机动 目录 上页 下页 返回 结束 6/32u过程工业中的分级控制过程工业中的分级控制u远程通信系统远程通信系统 u电力系统电力系统u飞机协调控制系统飞机协调控制

4、系统u交通控制系统交通控制系统机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/322.2 切换系统的基本概念和特性切换系统的基本概念和特性 切换系统切换系统由一组连续（或离散）的系统和一条决定由一组连续（或离散）的系统和一条决定子系统之间如何切换的规则所组成，它是混杂系统中子系统之间如何切换的规则所组成，它是混杂系统中极其重要的一种类型。极其重要的一种类型。 每个子系统对应着离散变量的一种取值，子系统之每个子系统对应着离散变量的一种取值，子系统之间的切换表示离散事件动态。间的切换表示离散事件动态。切换是连续动态和离散切换是连续动态和离散事件的耦合作用。切换无处不在。事件的耦合作用。切换无处不在。 由于

5、切换的引入，系统的动态发生了很大的变化。由于切换的引入，系统的动态发生了很大的变化。机动 目录 上页 下页 返回 结束 8/32Switching between asymptotically stable systemsx(t) = As s(t) x(t), s s(t)1, 2, xR2x(t) = A1 x(t) x(t) = A2 x(t)问题：寻找在任意切换规则下切换系统渐近稳定的条件。问题：寻找在任意切换规则下切换系统渐近稳定的条件。机动 目录 上页 下页 返回 结束 9/32Switching between unstable systemsx(t) = As s(t) x(t

6、), s s(t)1, 2, xR2x(t) = A1 x(t) x(t) = A2 x(t)问题：寻找使得切换系问题：寻找使得切换系统渐近稳定的切换规则。统渐近稳定的切换规则。机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/32从上述两个例子中可以看到：从上述两个例子中可以看到：u 即使是两个稳定的子系统，如果切换规则选取不当，即使是两个稳定的子系统，如果切换规则选取不当，就会导致整个系统的不稳定；就会导致整个系统的不稳定；u两个不稳定的子系统，如果通过适当的切换规则，也两个不稳定的子系统，如果通过适当的切换规则，也可以构成一个稳定的系统。可以构成一个稳定的系统。 这表明切换系统与以往研究的非切换

7、的连续或离这表明切换系统与以往研究的非切换的连续或离散系统间有很大不同，切换规则的引入使系统的动态散系统间有很大不同，切换规则的引入使系统的动态行为大为丰富，使用得不好会对系统产生极其不良的行为大为丰富，使用得不好会对系统产生极其不良的影响，反之，使用得当的话，则会为控制带来很大的影响，反之，使用得当的话，则会为控制带来很大的方便，因此有必要对其进行深入的研究。方便，因此有必要对其进行深入的研究。机动 目录 上页 下页 返回 结束 11/32( )00( )( )( ( ), ( ),( ), ( ),( )( ( ),( ),( ):0,): 1,2,ttx tfx t u ttx txy

8、tgx tttMmsswws x(t)：系统的状态；：系统的状态；u(t)：控制输入；：控制输入；y(t)：系统的输出；：系统的输出；w w(t)：外部信号：外部信号(如干扰等如干扰等)；s s ：切换规则、切换信号、切换律；：切换规则、切换信号、切换律；2.3 切换系统的数学模型切换系统的数学模型模型描述模型描述机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/32 切换系统的动态由各子系统的动态和切换规则共同确切换系统的动态由各子系统的动态和切换规则共同确定。切换规则是分段常值函数，它通常依赖于状态、时定。切换规则是分段常值函数，它通常依赖于状态、时间、输出量、外部信号、自身的过去值等等。间、输出

9、量、外部信号、自身的过去值等等。(),(), ( ), ( ),( ) , 0tttx ty tttssw 在任一时刻有且仅有一个子系统被激活。此外，假设在任一时刻有且仅有一个子系统被激活。此外，假设切换规则在有限的时间区间上具有有限次切换。切换规则在有限的时间区间上具有有限次切换。 切换的类型切换的类型依赖于状态的切换依赖于状态的切换 state-dependent switching依赖于时间的切换依赖于时间的切换 time-dependent switching自治和受控切换自治和受控切换 autonomous and controlled switching 机动 目录 上页 下页 返

10、回 结束 13/32图图3 切换系统的结构框图切换系统的结构框图图图4 系统的多控制器结构框图系统的多控制器结构框图结构框图结构框图机动 目录 上页 下页 返回 结束 14/322.4 切换系统的基本问题和方法切换系统的基本问题和方法 1999年，年，Daniel Liberzon*和和A Stephen Morse发表了发表了第一篇有关切换系统的稳定性和切换规则设计的综述文第一篇有关切换系统的稳定性和切换规则设计的综述文章，比较全面地阐述了切换系统稳定性研究的基本问题。章，比较全面地阐述了切换系统稳定性研究的基本问题。 * Liberzon D, Morse A S. Basic probl

11、ems in stability and design of switched systems, IEEE Control Systems Magazine, 1999, 19(5): 59-70.Daniel Liberzon A Stephen Morse机动 目录 上页 下页 返回 结束 15/32 稳定性和镇定控制器设计是控制系统的最基本任务，稳定性和镇定控制器设计是控制系统的最基本任务，因此切换系统的研究主要集中在系统的稳定性分析和镇因此切换系统的研究主要集中在系统的稳定性分析和镇定控制器设计问题上。定控制器设计问题上。基本问题基本问题u寻找保证切换系统在任意切换规则下均稳定的条件寻

12、找保证切换系统在任意切换规则下均稳定的条件u切换系统在给定的切换规则下的稳定性问题切换系统在给定的切换规则下的稳定性问题u构造切换规则使得切换系统是稳定的构造切换规则使得切换系统是稳定的机动 目录 上页 下页 返回 结束 16/32基本方法基本方法u 共同共同Lyapunov函数法函数法u 单单Lyapunov函数法，凸组合函数法，凸组合u 驻留时间法驻留时间法平均驻留时间法平均驻留时间法u 共同共同Lyapunov函数法函数法u 单单Lyapunov函数法，凸组合函数法，凸组合u 多多Lyapunov函数法函数法u 驻留时间法驻留时间法u 共同共同Lyapunov函数法函数法u 单单Lyap

13、unov函数法，凸组合函数法，凸组合u 驻留时间法驻留时间法u 切换切换Lyapunov函数法函数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 17/32 The family of systemsshare a radially unbounded common Lyapunov function at x = 0 if there exists a continuously differentiable function V(x) such thatCommon Lyapunov function( ), 1, .ixf xiMm( )0, 0, (0)0|( )( )( )0, 0, .iV x

14、xVxV xdV xf xxiMdx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 18/32 Considering the following switched systemsIf all systems in the family share a radially unbounded common Lyapunov function at x = 0, then the equilibrium x = 0 is globally uniformly asymptotically stable. Common Lyapunov function( )( ), ( )1, .txfxtMmss( ),

15、 1, .ixf xiMm机动 目录 上页 下页 返回 结束 19/32 Considering the following switched systemsIf there exists P = PT 0 such that Then the equilibrium x = 0 is globally uniformly asymptotically stable. Common Lyapunov function( )( ), ( )1, .txAxtMmssT0, 1,.iiPAA PiMm 机动 目录 上页 下页 返回 结束 20/32 Dayawansa和和Martin, Manci

16、lla-Aguilar和和Garcia 切换系统的切换系统的逆逆Lyapunov定理定理表明各子系统存在表明各子系统存在共同共同Lyapunov函数函数是保证该切换系是保证该切换系统在任意切换规则下均渐近稳定的充分必要条件。统在任意切换规则下均渐近稳定的充分必要条件。寻求共同寻求共同Lyapunov函数的存在条件、构造共同函数的存在条件、构造共同Lyapunov函数函数李代数方法是有效方法之一，但不具有任何鲁棒性。李代数方法是有效方法之一，但不具有任何鲁棒性。 为各子系统构造公共的为各子系统构造公共的Lyapunov函数是非常保守的。函数是非常保守的。事实上，实际系统中存在共同事实上，实际系统

17、中存在共同Lyapunov函数的情况并函数的情况并不多见，尤其是非线性切换系统。不多见，尤其是非线性切换系统。当各子系统不存在共同当各子系统不存在共同Lyapunov函数时，切换系统的函数时，切换系统的稳定性依赖于切换规则。稳定性依赖于切换规则。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 21/32Assume: A = a aA1 + (1-a a)A2 stable for some a a(0,1), i.e.PA + ATP 0Single Lyapunov functionTT1122()(1)()0.PAA PPAA Paax(t) = A1 x(t) x(t) = A2 x(t) bo

18、th unstablex(t) = As s(t) x(t), s s(t)1, 2So for each x0：either xT(PA1 + A1TP)x 0 or xT(PA2 + A2TP)x 0 , 令切换时刻令切换时刻t1 , t2 , 满足满足ti+1ti t td , 即即相邻两次切换的时间间隔不小于相邻两次切换的时间间隔不小于t td , t td 称为驻留时间称为驻留时间.对任意的切换信号对任意的切换信号s s(t), t t t 0, 令令Ns s(t t, t)表示表示s s(t)在时间在时间区间区间(t t, t)内切换的次数内切换的次数. 若存在若存在N00、t t

19、d 0 使得使得则称则称t td 为平均驻留时间为平均驻留时间 , N0 是抖振界是抖振界(chatter bound).0d( , )tNtNsttt机动 目录 上页 下页 返回 结束 25/32 也是传统也是传统Lyapunov函数方法在切换系统中的推广。函数方法在切换系统中的推广。如果同一个子系统在下一次被激活时的类如果同一个子系统在下一次被激活时的类Lyapunov函函数的终点值数的终点值(或起点值或起点值)不大于前一次被激活时的类不大于前一次被激活时的类Lyapunov函数的终点值函数的终点值(或起点值或起点值)，那么整个系统的能，那么整个系统的能量将呈现递减趋势量将呈现递减趋势,

20、则系统全局渐近稳定则系统全局渐近稳定. Multiple Lyapunov functions机动 目录 上页 下页 返回 结束 26/32 重大的国际国内学术会议上均有混杂重大的国际国内学术会议上均有混杂/切换系统专题切换系统专题. CDC (IEEE Conference on Decision and Control) IFAC (International Federation of Automatic Control) World Congress ECC (European Control Conference) ACC (American Control Conference)

21、CCC (Chinese Control Conference) 2000年第一份混杂系统的专业杂志年第一份混杂系统的专业杂志: International Journal of Hybrid Systems, 2006年更名为年更名为Nonlinear Analysis: Hybrid Systems and Applications. 2004年第二份混杂系统的专业杂志年第二份混杂系统的专业杂志: International Journal of Hybrid Intelligent Systems.2.5 切换系统的研究现状切换系统的研究现状机动 目录 上页 下页 返回 结束 27/32

22、 国际权威学术期刊上常有切换系统类文章发表国际权威学术期刊上常有切换系统类文章发表 IEEE Transactions on Automatic Control IEEE Transactions on Circuits and Systems Systems & Control Letters Automatica International Journal of Control Nonlinear Analysis: Hybrid Systems and Applications Journal of the Franklin Institute International Jou

23、rnal of Hybrid Intelligent Systems 等等等等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 28/32 国外主要研究机构国外主要研究机构 University of California (Berkeley) Stanford University (Santa Barbara) University of Notre Dame Delft University of Technology Hamilton-Institute National University of Ireland 均面向控制理论与工程、计算机科学等专业的研究生均面向控制理论与工程、计算机科学等专

24、业的研究生和本科生开设了有关混杂系统的理论与应用的课题和本科生开设了有关混杂系统的理论与应用的课题. 国内主要研究机构国内主要研究机构 北京大学、清华大学、东北大学、上海交大、浙大、北京大学、清华大学、东北大学、上海交大、浙大、东南大学、中科院自动化研究所、华南理工大学东南大学、中科院自动化研究所、华南理工大学 国内混杂系统的研究主要偏重于控制科学方面国内混杂系统的研究主要偏重于控制科学方面. 权威权威学术期刊上常有切换系统类文章发表学术期刊上常有切换系统类文章发表.机动 目录 上页 下页 返回 结束 29/322.6 常用的结果常用的结果 : 考虑一个矩阵考虑一个矩阵 SRnn , 并将并将

25、 S 进行分块：进行分块：其中其中S11是是rr维的维的. 假定假定S11是非奇异的是非奇异的, 则则 称为称为S11在在S中的中的Schur补补.11122122,SSSSS=12221 11 12SS S S ：对给定的对称矩阵：对给定的对称矩阵 其中其中S11是是rr 维的维的. 以下三个条件是等价的：以下三个条件是等价的：11122122,SSSSS=0 ;S T111221211120 , 0 ;SSS S S1T22111222120 , 0 .SSS S S机动 目录 上页 下页 返回 结束 30/320 S TTT111122222112 , , .SSSSSS 证明证明: . 由于由于S是对称的是对称的, 故有故有应用矩阵块的初等运算应用矩阵块的初等运算, 可得可得11122122SSSS121110IS SIT121110IS SI1112221111200SSS S S因此因此T1112112111