第十三章：数的开方

1、第十六章 数的开方·单元要点分析·1 本章的主要内容：平方根与立方根的概念，二次根式的概念及其运算，实数的概念（包括实数运算）。具体地本章首先引入实际问题，然后通过实际问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算，通过计算器的探索活动，引入无理数概念，并介绍估算方法，包括通过估算比较大小，检验结果合理性等。最后，给出实数的概念和分类，并引入实数的相关概念、运算律和运算法则等。2 本章特点：（） 注意创设问题情境（正方形的面积为25cm2，边长是多少？两个根式相除，怎样进行呢？等等），为学生提供了许多富有挑战性的问题（如：你能在数轴上找到表示的点吗？为什么说不是有理数？等等

2、），为学生提供了探索问题的时间和空间，使学生能够经历问题探索的过程，进一步培养学生的抽象思维能力。（） 实数概念的建立，要突出无理数概念的建立。对于无理数概念的引入，要采取从特殊到一般的方法，重点讲清为什么是无理数，让学生经历是无理数的探索过程，感知生活中确实存在不同于有理数的数。对于运算技能的培养，本章不但重视精确计算和估算，而且重视计算器的使用，计算器的使用贯穿本章始终，成为本章的一大亮点。3 重点、难点： 重点：平方根、立方根，实数及其相关概念；求数的平方根、立方根；掌握估算方法，发展学生的数感和估算能力；会进行有关实数的简单四则运算。难点：平方根的概念；掌握估算的方法，发展学生的估算能

3、力和数感；有理数与无理数的区别以及实数概念的建立；能利用实数的运算解决简单的实际问题，培养学生数学应用的意识和能力。4 教学目标（1）了解平方根、立方根、二次根式、实数及相关概念，会求数的平方根和立方根，能进行有关实数的简单的四则运算。（2）掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力。（3）能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生数学应用的意识和解决问题的能力。（4）让学生经历平方根、立方根、二次根式、实数概念和建立以及探求二次根式运算规律的过程，发展学生抽象概括能力，并在活动中进一步培养学生独立思考、合作交流的习惯。（5）能使用计算器进行开方运算并探求规律。课时安排（1）平方根与立方根2课

4、时（2）二次根式4课时（3）实数与数轴2课时回顾与思考 1课时§16.1 平方根与立方根1. 平方根 教学目的1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；3、使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；4、理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；重点难点1重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法；2难点：平方根的概念、算术平方根的概念；教学过程一、 创设问题情境，解决问题知识点一：1 请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长是多少？（5cm）这个问题实质上就是找一个数

5、，这个数的平方等于25。2 提出问题，探索解决问题的办法。（1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。问：有了这个规定以后，a是什么数？让学生思考、交流后回答：a是非负数。（2）在上述问题中，因为52=25，所以5是25的一个平方根。问25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25？（因为（-5）2=52=25,所以 -5也是25的一个平方根）从解决上述问题的过程中，你能总结一下求一个数的平方根的方法吗？求平方根的方法：根据平方根的定义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根二、 范例例1 求100的平方根。提问：（1）你能仿照上述问题解决的方法，求出100的

6、平方根吗？让学生讨论、交流后回答。（2）你能正确书写解题过程吗？请一位同学口述，教师板书。（3）10和-10用±10表示可以吗？试一试（1）144的平方根是什么？（2）0的平方根是什么？（3）的平方根是什么？（4）0.81的平方根是什么？ （5）-4有没有平方根？为什么？请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答。通过上面可以得到平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。知识点二：(2)算术平方根概念：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即-。因此正数a的平方根可以记作±，a称为被

7、开方数。例如表示3的算术平方根，±表示3的平方根。提问:（1）有了这个规定以后，a是什么数？是什么数？让学生讨论、交流、归纳得到结论：a是非负数；是非负数。也就是说，当式子有意义时，它一定表示一个非负数，即a0时它有意义。例：有意义吗？（2）算术平方根与平方根的联系和区别（正数a的正的平方根就是a的算术平方根；正数a的平方根有两个，并且互为相反数，而正数a的算术平方根只有一个。）（3）开平方：求一个数a(a0)的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根

8、。将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根。例如：100的算术平方根是=10，100的平方根是±=±102范例。例2 将下列各数开平方：（1）49 （2）1.69 按照题（1）的方法解决题（2），让学生明确开方运算与平方运算是互为逆运算，能够利用这个互逆运算关系求出某些非负数的算术平方根，进而求出平方根。问题：在例1，例2中，他们通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的，如果被开方数比较复杂，如等，那么如何进行计算呢？例3 用计算器求出下列各数的算术平方根：1529 2.1225 3.44.81教学要点：（1）让学生动手操作，并交流计算结果，总结用计算器求一个非负数的

9、算术平方根按键顺序。（2）阅读课本解题过程。三、 课堂练习1说出下列各数的平方根：（1）64 （2）0.25 （3）2四、 小结1. 什么叫平方根？一个正数如果有平方根，那么有几个，它们之间关系如何？0的平方根呢？负数有平方根吗？为什么？2. 什么叫叫算术平方根？算术平方根与平方根有什么联系和区别？3如何表示平方根、算术平方根?1 用计算器求一个非负数的算术平方根，其按键顺序如何？五、 作业1 习题16.1第1题。2 选用一课一练。2.立方根教学目的1. 了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根。2. 能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。3. 会用计算器求立方根。重点

10、难点重点：了解立方根的概念；用立方运算求某些数立方根；=a；会用计算器求某些数的立方根。难点：明确平方根与立方根的区别；能熟练地求某些数的立方根。教学过程一、 创设问题情景，引入立方根概念现有一只体积为216cm3的正方形纸盒，它的每一条棱长是多少？与“平方根”类似，让学生讨论和研究以下问题：问题1 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？（实质上就是找一个数，这个数的立方等于216）问题2 你能找一个数，使这个数的立方等于216吗？（63=216）问题从这里可以抽象出一个什么数学概念？（如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根）二、 试一试让学生讨论以下问题 7的立方根是什么？

11、-27的立方根是什么？ 的立方根是什么？让学生对以上问题逐一作答，教师作正确判断，并请同学自己也编三道求立方根的题目，并给出解答根据以上题目的答案，回答以下问题：1. 正数有几个立方根?2. 0有几个立方根?3. 负数有几个立方根?4. 从以上问题中你发现了什么?(每一个数只有一个立方根)三、 立方根的表示法任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个。数a的立方根，记作，读作“三次根号a”。a称为被开方数，3称为根指数。例如x3=6；则x是6的立方根，即x=；而23=8,则2是8的立方根，即=2。数a的平方根和立方根相同吗？学生讨论后回答，教师归纳为：0的平方根和立方根都是0，

12、不为0的数的平方根和立方根不同。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。四、 范例例1 求下列各数的立方根（1） （2）-125 （3）-0.008教学要求:1.可以借助立方运算来求立方根;2.可以用立方运算来检验开立方是否正确.3.按照第一小题的方法,要求学生解决题(2)和题(3).让学生讨论、研究以下问题：12例2用计算器求下列各数的立方根：（1）1331 （2）-343 （3）9.263(精确到0.01)教学要点:(1)指出用计算器求一个有理数的立方根,只需要按书写顺序按键.若被开方数为负数,“-”号的输入可以按（-），也可以按。（2）对于第二小题，可引导学生用减号代替负号，或将被开方数加上

13、括号试一试，看看是否计算出相同的结果。五、课堂练习 P7练习1.2六、小结1、 什么叫立方根？如何用根号表示一个数的立方根？2、 什么叫开立方？如何求一个数的立方根？举例说明。3、4、 正数、0、负数的立方根有何特点？七、作业1、 习题16.1第2、3（2）、5题2、 选用一课一练。§16.2 二次根式1.二次根式的概念教学目的1. 了解二次根式的概念.2. 掌握二次根式的性质.重点难点1. 重点:二次根式的概念和二次根式的基本性质.2. 难点:教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1表示什么？2a需要满

14、足什么条件？为什么？二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题（可以补充），归纳为：1 当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；2 当a是零时，表示零，也叫零的算术平方根；3 a0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零。三、归纳特点，引入二次根式概念1 基本性质。问题1 你能用一句话概括以上3 个结论吗？让一个学生回答，其他学生补充，概括为；（a0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，（a0）是一个非负数，即0（a0）。问题2 （a0）等于什么？说说你的理由并举例验证。让学生小组讨论或自主探索得出结论：=a（a0），如=4，=2等。以上两个问题的结论就是基

15、本性质，特别是可以当公式使用，直接应用于计算。反过来，把写成的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式。例如：。提问：（1）（2）对不对？如果不对，错在哪里？2二次根式概念形如（a0）的式子叫做二次根式。说明：二次根式必须具备以下特点：（1） 有二次根号；（2） 被开方数不能小于0。举出二次根式的几个例子，并判断是不是二次根式。四、范例例1 要使式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件？分析：要使式子有意义，必须x-10，即x1。提问：若将式子改为，则字母x的取值必须满足什么条件？（x1）五、课堂练习P10页练习1.2。六、思考提高我们已经研究了=a（a0），现在研究等于什么

16、。提问：1.对于抽象问题的研究，常常采用什么策略？2.在中，a的取值有没有限制？（a的取值没有限制）3.取a的一些值，分别算一算，看等于什么，从中你发现了什么？我们不妨取a为2，（-2），3，（-3），计算对应的的值，有；观察以上计算结果；当a0时，= ；当a<0时, = ,也就是说, = .也可以写成.因此,今后我们遇到时,可先改写成a的绝对值|a|,再按照a取正数值,0还是负数值来取值.例如当x<0时,4.是一样的吗?说说你的理由,并写同学交流.七、小结1 什么叫二次根式？你们能举出几个例子吗？2 二次根式有哪两个形式上的特点？3 二次根式有哪些性质？八、作业1 习题16.2第

17、1题。2 选用一课一练。2.二次根式的乘除法第一课时 二次根式的乘法教学目的1. 使学生掌握二次根式的乘法运算法则,会用它进行简单的二次根式的乘法运算.2. 使学生掌握积的算术平方根的性质,会根据这一性质熟练地化简二次根式.3. 培养学生合情推理能力.重点二次根式的乘法运算法则,会用它进行简单的二次根式的乘法运算;积的算术平方根的性质,会根据这一性质熟练地化简二次根式.教学过程一、 复习提问1 什么叫做二次根式？下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根式？2 二次根式有哪些性质？计算下列各题：二、 提出问题，导入新知1 试一试计算：（1） = = （2） = = 提问：观察以上计算结果，你能发现

18、什么？2 思考提问：（1）你将用什么方法计算？（2）通过计算，你发现了什么？是否与前面试一试的结果一样？3概括让学生观察以上计算结果，归纳得出结论：注意，a、b必须都是非负数，上式才能成立。三、 举例应用例1 计算：解：（1） （2）说明：二次根式运算的结果，应该尽量化简，如（2）结果不要写成,而应化简成4.等式(a0,b0),也可以写成(a0,b0)利用它可以进行二次根式的化简,例如:.例2.化简(1)解:(1)(2) (为什么?)说明:(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方,可以利用积的算术平方根的性质,将这些因式(或因数)开出来,从而将二次根式化简;(2)在化简时

19、,一般先将被开方数进行因式分解或因数分解,然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用它们的算术平方根代替,移到根号外,也就是开出方来.四、 课堂练习1、 计算下列各式，并将所得结果化简：2、 P12页练习1（1）、（2）、2五、 想一想1、是否相等？a、b、c有什么限制？请举出一个例子加以说明。2、3、 化简：六、 小结这节课我们学习了以下知识：1 二次根式的乘法运算法则，即(a0,b0)（1）2积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即(a0,b0)（2）要特别注意，以上（1）、（2）中，a、b必须都是非负数，如果a、b中出现了负数，等式就不成立。想一想，应用（1）、（2）进行计

20、算和化简，在计算和化简中，复习了性质，加深了对非负数a的算术平方根的性质的认识。七、 作业1 P14页习题3(1)、（2）。2 选用一课一练。第二课时 二次根式的除法教学目的1. 使学生掌握二次根式的除法运算法则,会用它进行简单的二次根式的除法运算.2. 使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式.3. 使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化.4. 经历探索二次根式的除法运算法则过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯.重点难点1. 重点:二次根式的除法运算法则以及用它进行简单的二次根式的除法运算;化简二次根式;探索二次根式的除法运算法则过程.2. 难点:探求二次根式除

21、法运算法则.教学过程一. 创设问题情境问题1 上一节课,我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则?问题2 是否也有二次根式的除法法则呢?问题3 两个二次根式相除,怎样进行呢?二. 加强合作,探索规律让抽象的问题具体化,这是我们研究抽象问题的一个重要方法.请同学们参考二次根式的乘法法则的研究,分组讨论两个二次根式相除,会有什么结论,并提出你的见解,然后其它小组同学补充,归纳为:提问1. a和b有没有限制?如果有限制,其他取值范围是什么?2. (a0,b>0)成立吗?为什么?请举例.三. 范例例1. 计算(1)教学要求:(1)对于(1)可由教师解答示范;对于(2)可由学生自己计算.提问:1.

22、除了课本中的解答外,是否还有其它解法?如果有,请给出另外解法.(有另外解法.如2.哪种方法更简便?例2.化简:(要求分母不带根号)解: 这说明:二次根式的化简要求满足以下两条:(1) 被开方数的因数是整数,因式是整式,也就是说“被开方数不含分母”.(2) 被开方数中不含能开得尽的因数或因式,也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”.把一个二次根式化简的具体方法是:化去根号下的分母;并把被开方数中能开得尽的因数或因式用它的算术平根代替后移到根号外面.四. 做一做化简:(1) 教学要点:(1)叫两位同学板演,其它同学做完练习进行评价.(2)可用提问的方式引导学生探索其它解法.五. 课堂

23、练习P12 练习1.(3)、（4）六小结本节课，我们学习了二次根式的除法法则,即(a0,b>0),并利用它进行计算和化简.化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。具体办法是：化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。化简的具体方法可用于计算。七作业1P14页16.2 2(3).3(3)2.选用一课一练。3.二次根式的加减法教学目的1. 使学生知道什么是同类二次根式,会辨别两个根式是否同类二次根式.2. 使学生会通过合并同类二次根式,进行二次根式的加法与减法运算.3. 使学生通过二次根式的加减,进一步了解归

24、类的思想方法.重点难点1. 重点:同类二次根式概念以及二次根式的加法与减法运算.2. 难点:如何辨别两个根式是否同类二次根式.教学过程一. 创设问题情境1. 化简:2. 试一试 计算:二. 提出问题,探索解决方法1. 观察以上两道计算题,你联想到什么?(让学生类比、联想、讨论、交流)2你能试着解决它吗？让学生动手计算，鼓励学生加强合作，同桌、上下桌同学可以互相交流，并请两位同学上台板演 ，教师进行讲评。上面两个例子表明，遇到两个二次根式相加（或加减）时，我们希望利用分配律。这里利用分配律的实质是要求这两个二次根式的被开方数相同。这种类似的情况我们过去也遇到过：将两个单项式相加，如果想利用分配律

25、的话，那就启发我们，类似在整式的加减中依靠“同类项”那样，能不能在二次根式的加减中，也依靠一种“同类二次根式”呢？3同类二次根式像这样的两个二次根式，称为同类二次根式。说明：（1）被开方数相同。问：是不是同类二次根式？（2）二次根式不能再化简。（3）与二次根式的系数无关。（4）你还能说出几个与同类的二次根式吗？三. 举例应用二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并。例1 计算：解：=（=例2 计算：提问：1.这里三个加项中有同类二次根式吗？（没有）2能否将它们化简？化简情况详见上面,可以发现,有些二次根式是同类二次根式,而有些不是,将同类二次根式合并,就可以得到最后的结果

26、.小结:先化简,再合并同类二次根式.例3.计算:(1)(让学生试试看,完成例3的计算.)四. 课堂练习P14页练习1、2，思考：P14页打开计算黑盒。五. 小结这节课，我们学习了同类二次根式概念，同类二次根式必须满足两个条件：（1）它们都是最简二次根式；（2）它们被开方数必须完全相同。同时，我们还学习了二次根式的加法与减法运算。通过运算我们知道，二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式。为了确认哪些二次根式是同类二次根式，我们先要把被确认的二次根式都化成最简二次根式，再按它们的被开方数是否完全相同去判断。六. 作业1 P14页习题3.(4)、（5）。 2.选用一课一练。 第 17 页 16.3

27、 实数与数轴第一课时 实数与数轴教学目的1.了解实数的意义,能对实数进行分类.2.了解数轴上的点与实数一一对应,能用数轴上的点来表示无理数.3.会估计两个实数的大小.重点难点1重点:了解实数意义,能对实数进行分类,了解数轴上的点与实数一一对应,并能用数轴上的点来表示无理数.2难点:用数轴上的点来表示无理数.教学过程一. 创设问题情境,导入实数的概念问题1 用什么方法求?其结果如何?(用计算器,求得=1.414213562)问题2 你能利用平方关系验算所得结果吗?(能.用计算器计算1.414213562的平方,结果是1.999999999)问题3 验证的结果并不是2,而是接近于2,这说明了什么问

28、题?(这说明求得的的值只是一个近似值)问题4 如果用计算机计算,结果如何呢?让学生阅读P15页计算结果,并指出:在数字上已经证明,没有一个有理数的平方等于2,也就是说, 不是有理数.有兴趣的同学可以看一看第18页的阅读材料.问题5 那么, 是怎样的数呢?1. 回顾有理数的概念.(1)有理数包括 和 .(2)请你随意写出三个分数,将它化成小数,看一看结果.(3)由此你可以得到什么结论?(任何一个分数写成小数的形式,必定是有限小数或者无限循环小数)2. 无理数的概念与有理数进行比较, 计算的结果是无限不循环小数,所以不是有理数.提问:还有没有其它的数不是有理数?为什么?无限不循环小数叫无理数.例如

29、.都是无理数.有理数与无理数统称为实数.二. 试一试问题1 按照计算器显示的结果,你能想像出在数轴的位置吗?问题2 你能在数轴上找到表示的点吗?请同学们准备两个边长为1的正方形纸片,分别沿它的对角线剪开,得到四个什么三角形?如果把四个等腰直角形拼成一个大的正方形,其面积为多少?其边长为多少?01这就是说,边长为1的正方形的对角线长是,利用这个事实,我们容易画出表示的点,如图所示. 三. 反思提高问题1 如果将所有有理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗?问题2 如果再将所有无理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗?让学生充分思考交流后,引导学生归结为:如果交所有有理数都标到数轴上,数轴未被填满;如

30、果再将所有无理数都标到数轴上,那么数轴被填满.数轴上的任一点必定表示一个实数;反过来,每一个实数(有理数或无理数)也都可以用数轴上的点来表示,即实数与数轴上的点一一对应.四. 范例例1. 试估计解:用计算器求得,而3.141592654这样,容易判断>说明:正实数的大小比较和运算,通常可取它们的近似值来进行.提问:若将本题改为:试估计-（）与-的大小关系，如何解答。让学生动手解答，并请一位同学板演，教师讲评。五课堂练习P17练习1（1），P18练习3。六小结1什么叫做无理数？2什么叫做实数？3有理数和数轴上的点一一对应吗？为什么？4无理数和数轴上的点一一对应吗？为什么？4 实数与数轴上的

31、点一一对应吗？为什么？七. 作业选用一课一练。§16·3实数与数轴第二课时 实数与数轴教学目的1. 了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则以及运算律在实数范围内仍然适用。2. 能利用运算法则进行简章四则运算。重点难点1 重点：了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，利用运算法则进行简章四则运算。2 难点：熟练地运用法则进行四则运算。教学过程一、 创设问题情景，导入新知1 复习提问（1） 用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。（2） 用字母表示有理数的加法交换律和结合律。（3） 平方差公式？完全平方公式？（4） 有理数a的相反数是什么？不为0的数a的

32、倒数是什么？有理数a的绝对值等于什么？在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用。例如：二、 范例例1 计算：。（结果精确到0.01）分析:对于实数的运算,通常可以取它们的近似值来进行.提问:用什么手段取它们的近似值?解:用计算器求得所以1.570796327-0.778539072=0.7922572550.79例2.计算:解题过程略.三、 课堂练习P17页练习1（2）、2，P18页练习4让四位同学板演，教师根据学生的具体解答情况作出正确判断，并分析发生错误的原因。四、 小结由学生完成如下小结：1 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。2 实数的运算法则 a+b=b+a （a+b）+c=a+（b+c） a