第十三章《实数》平方根教案 人教新课标版

1、第十三章 实数 平方根教学过程一、 情境导入1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,-,-3,3,1,2、请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果这块画布的面积是？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容这节课我们先学习有关算术平方根的概念二、新知探究：1、揭示概念（1）提出问题：（教材68页的问题）你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？（学生思考并交流解法）这个问题相当于在等式=25中求

2、出正数x的值。填表正方形的面积1916360.25边长上面的问题，实际上就是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（2）小结一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式=a (x0)中，规定x =.（3） 试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来2、新知应用（1） 想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？（2）讲解例题例1 求下列各数的算术平方根： （1）100； (2)1； (3)； (4)0.0001 （5）思考：负数有算术

3、平方根吗？（任何实数的平方都是非负数，所以被开方数都是非负数，即 负数没有算术平方根。） 小结： 对于：a0 0 即算术平方根的双重非负性（3）反馈练习下列各式中，哪些有意义？那些无意义？为什么？ 3、拓展提升（1）81的算术平方根是 。（2） 的值是 。（3） 的算术平方根是 。三、总结1、这节课学习了什么呢？2、算术平方根的具体意义是怎么样的？3、怎样求一个正数的算术平方根四、巩固练习1、P69练习 1、22、备选题(1)双基练习 1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_;若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为_.2.求下列各式的值:, , , 3.3x-4为25的算术平方根,求x的

4、值. 4.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值. (2)创新提升 5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值. (3)探究拓展 6.若与互为相反数,求xy的算术平方根.六、作业布置：P75习题13.1第1、2、题课题：用计算器求算术平方根一、情境导入我们已经知道：正数x满足=a,则称x是a的算术平方根当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如，=4；但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢？例如课本第69页的大正方形的边长等于多少呢？二、探究新知1、探究1：究竟有多大？怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为

5、2的大正方形？方法1：课本中的方法，略；方法2：可还有其他方法，鼓励学生探究。问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？大正方形的边长是，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？建议学生观察图形感受的大小小正方形的对角线的长是多少呢？让学生思考讨论并估计大概有多大.由直观可知道大于1而小于2，那么是1点几呢？（接下来由试验可得到平方数最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且最接近的1位小数是1.5，大于1.4而小于1.5.关于是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明为无理数的概念的提出打下基础交流：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？的结果有两种情况：当a是完全平方数

6、时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。2、用计算器求算术平方根 例1 用计算器求下列各式的值：（P71） （1）（2）（精确到0.001）注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似值3、探究2：:被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.例2:(1)求下列各数的算术平方根. 0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000 (2)利用计算器计算下列各式的值: 你能找到其中的规律吗?把你的发现用自己的语言叙述出来,并利用你的发现说出、的近似值(已知1.73

7、2),你能根据的值确定 的值吗? 解:(1)0.0012=0.000001 =0.001依次可得出=0.01, =0.1, =1, =10, =100, =1000 从中发现被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,其算术平方根也在逐渐扩大,但只扩大10倍,于是猜测两个正数之间如果满足b=100a,则有=10,(或者:被开方数每扩大100倍时,其算术平方根相应地扩大10倍) (2) =0.25 0.79057 7.9057 7.9057 =25 79.057 =250 790.57比较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根,同样可验证在题(1)中的规律,而与中的数开方数只扩大了10倍,它们的算

8、术平方根之间没有规律可循.故若已知1.732,可知0.1732, 17.32, 173.2,但不能知的值.规律：被开方数的小数点向左（向右）移动两位，平方根的小数点相应的向左（向右）移动一位。 (一)双基练习1. 用计算器求出下列各式的值. - 2.用计算器比较与的大小. 3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P之间有如下的一个关系式:P=I2R,现有一用电器,电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I. 4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01cm)课题：平方根教学过程一、 情境导入1、复习算术平方根的定义

9、和性质2、提出问题（1）什么数的平方是49？（2）平方得81的数有几个？分别是什么？（3）一对互为相反数的平方有什么关系？二、新知探究1、揭示平方根与开平方的概念：问题：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？小结：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根即：如果=a，那么x叫做a的平方根a的平方根记作±（a0）求一个数的平方根的运算，叫做开平方例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算观察：课本P73的图13.1-2.图13.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质并根据这个关系说出1,4,9的平方根2、开平方运算

10、 例1 求下列各数的平方根。（注意书写格式）（1） 100 （2） （3） 0.25 例2:求下列各式的值(1) (2)- (3)±3、一个数的平方根的特征（1）合作交流按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？（2）归纳一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根；0的平方根是它本身；负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算， 引人符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的平方根可用表示,正数a的负的平方根可用-表示 （3）练习下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由

11、。-64 ，0 ， ， 0.4 ， ， 5 ， 4、平方根与算术平方根的联系与区别平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。4、拓展提升（1）填空= ，= ，= 。归纳：对于正数a，= 。（2）试求出下列各式中的未知数x的值。 =9 三、总结： 1、什么叫做一个数的平方根？2、一个数的平方根有什么特征？3、怎样求出一个非负数的平方根？非负数a的平方根怎样表示？四、巩固练习1、课本P75 练习1、2、3 2、 P75习题13.1第2、4、题3、备选题(一)

12、双基练习1、判断下列说法是否正确5是25的算术平方根 （ ）是的一个平方根 （ ）的平方根是4 （ ） 0的平方根与算术平方根都是0 （ ）2、 的值为多少?16的平方根为多少? 的平方根呢?3、如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少?4、有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m2,求长和宽.5、若，则，的平方根是6、的平方根是（ ） A. B. C. D. 7、给出下列各数： ，其中有平方根的数共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个8、若一个数的平方根等于它本身，数的算术平方根也等于它本身，试求的平方根。9、求下列各数中的值 10、如果一个正数的两个平方根

13、为和，请你求出这个正数若，则，的平方根是11、若一个数的平方根等于它本身，数的算术平方根也等于它本身，试求的平方根。(三)探究拓展 若的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值.<< 5<<6 的整数部分为5,小数部分为-5,即a=5,b=-5课题： 平方根课型：复习课教学过程一、重难点突破知识点一 算术平方根1、具有双重非负性：（1）被开方数非负；算数平方根本身是非负数。2、在求一个非负数的平方根时，如果被开方数不能开尽，则用的形式表示。知识点二 平方根1、正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。2、平方根与算术平方根的联系与区别。联系：具有

14、包含关系：平方根包含算术平方根存在的条件相同：都是只有非负数才有0的平方根，算术平方根都是0.区别：定义不同：个数不同：表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为。二、典型例题分析题型1 求字母的取值范围例1 （1）若有意义，求x的取值范围。（2）若没有意义，求x的取值范围。例2 已知+=0，求2x+7y的值。题型2 求一个数的平方根例3 求下列各数的平方根（1）324 （2） （3） （4）题型3 化简求值例4 求下列各式的值（1） （2） （3）± （4）例5 已知有意义，化简x-1-3-x题型4 利用开平方法解方程例6 解方程（1）=36 （2）-

15、=013.2 立方根教学过程一、 情境导入：1、复习1-10的立方2、问题：要制作一种容积为27 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？设这种包装箱的边长为x m,则=27这就是求一个数，使它的立方等于27. 因为=27， 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m二、新知探究1、揭示概念如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。即如果，那么叫做的立方根，记作x=。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，.求一个数的立方根的运算叫开立方，开立方与立方互为逆运算。2、探究1：（1） 根据

16、立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为，所以8的立方根是（ 2 ） 因为，所以0.125的立方根是（ ）因为，所以0的立方根是（ 0 ）因为，所以-8的立方根是（ ）因为，所以的立方根是（ ）一个正数有一个正的立方根0有一个立方根，是它本身一个负数有一个负的立方根任何数都有唯一的立方根 （2）小结 （3）应用例1 求下列各数的立方根 27 -27 - 0 由本题可发现互为相反数的数的立方根也互为相反数。（4）讨论：你能归纳出平方根和立方根的异同点吗?被开方数平方根立方根正数有两个,互为相反数有一个,是正数负数无平方根有一个,是负数零零零3、探究2：与的关系(1)填空：

17、因为所以 因为，所以 (2)小结：利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。4、新知应用 例2 求下列各式的值： +5、拓展延伸（1）一个数的平方等于64，那么这个数的立方根是 。（2）若0，则m的取值为 。（3）要使=3-k,那么k的取值为 。（4）解下列方程 三、小结：1.立方根和开立方的定义2.正数、0、负数的立方根的特征3.立方根与平方根的异同四、巩固练习：1、课本P79练习1、2、3 2、 P80习题13.2第1、2、3题3、备选题（1）当  0 时，有意义；

18、当 为一切实数 时，有意义（2）的立方根是 2 ，的平方根是 ±2 ，的立方根是 2 （3）8的立方根与的一个平方根的和等于 1或5 （4）一个自然数的算术平方根是，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ，立方根是 （5）解方程 （6）已知，且，求的值课题 用计算器求立方根课型 新授课2、利用计算器来求一个数的立方根：（1）操作 用计算器求数的立方根的步骤及方法：用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同。步骤：输入 被开方数 = 根据显示写出立方根.（2）例：求5的立方根（保留三个有效数字） 被开方数 = 1.709975947所以 （3）练习用计算器求下列各式的

19、值 3、利用计算器计算探究被开方数与立方根小数点的移动规律（1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？你能说说其中的道理吗？规律：被开方数的小数点向左（向右）移动三位立方根的小数点相应的向左（向右）移动一位。（2）用计算器计算（结果保留四个有效数字）。并利用你发现的规律说出，的近似值。（3）练习根据你发现的规律填空已知=1.442，则= ，= 。已知=0.07696，则= 。若=1.52，且=0.152，则a= x课题 立方根课型 复习课一、重难点突破知识点一 立方根1、每一个数a都只有一个立方根，记为，这里的根指数“3”不能省略。注意立方根的性质是正数的立方根是正数，负数的立

20、方根是负数，0的立方根是0，即任意数都有立方根。知识点二 开立方开立方运算与立方运算互为逆运算，利用立方与立方根互逆的关系可求一个数是什么数的立方根的运算，如果求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再求它的相反数。知识点三 立方根的性质1、正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0.2、=知识点四 求立方根的值的变化规律被开方数扩大1000倍，其立方根扩大10倍；被开方数缩小1000倍，其立方根缩小10倍。二、典型例题分析题型1 求一个数的立方根例1 求下列各数的立方根（1）-27 （2）0.216 （3）3题型2 化简求值例2 求下列各式的值（1） （2

21、）- 题型3 利用计算器计算一个长方体容器长20厘米，宽15厘米，在这个容器内放一立方体铁块，盛满水取出铁块后，水面下降了5厘米，求这个立方体铁块的棱长。（精确到0.01厘米）三、复习检测（一）填空题：1、a 的立方根是 ，-a 的立方根是 ；若x3=a , 则x= = ；= ；（）= ；= 2、每一个数a 都只有 个立方根；即正数只有1个_的立方根；负数只有 个_的立方根；零只有 个立方根，就是 。3、2的立方等于 ，8的立方根是 ；（-3）3= ，-27的立方根是 .。 4、0.064的立方根是 ； 的立方根是-4； 的立方根是。5、计算：= ；= ； = ；= = ；-= ；-= ；=

22、= ；= ；-= ；= （二）判断下列说法是否正确：1、5是125的立方根 。 （ ）2、±4是64的立方根 。 （ ）3、-2.5是-15.625的立方根。 （ ）4、（-4）3 的立方根是-4。 （ ） （三）解答题1.求下列各数的立方根：(1) 27； (2)38； (3)1； (4) 0.2.求下列各式的值：(1) (2)；(3) ；(4) ；13.3 实数教学过程一、 创设情景，导入新课2、你能说出圆周率的多少位 小数。3、是个什么样的数呢？二、合作交流，解读探究1、实数的概念使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， ， ， ， ，我们发现，上面的

23、有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 ， ， ， ， ， 归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，=3.1415926也是无理数结论 有理数和无理数统称为实数2、实数的分类试一试 把实数分类 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，是正无理数，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类： 2、探究1 用数轴上的点表示无理数我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数

24、轴上的点来表示呢？（1）在数轴上表示圆周率如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O，点O的坐标是多少？从图中可以看出OO的长时这个圆的周长_，点O的坐标是_这样，无理数可以用数轴上的点表示出来（2）在数轴上表示、3、总结 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大三、巩固练习

25、例1 把下列各数分别填入相应的集合里： 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 四、总结反思什么叫做无理数？无理数的特征:圆周率及一些含有的数 开不尽方的数有一定的规律，但不循环的无限小数注意:带根号的数不一定是无理数2、有理数和数轴上的点一一对应吗？无理数和数轴上的点一一对应吗？实数和数轴上的点一一对应吗？五、课堂跟踪反馈1、下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 2、已知四个命题，正确的有（ ）有理数与无理数之和是无理数 有理数与无理数之积是无理数无理数与无理数之积是无理数 无理数与无理数之积是无理数A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个3、若实数满足，则（ ）A. B

26、. C. D. 课题 实数的运算教学过程一、创设情景，导入新课1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律 2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律 3、有理数的混合运算顺序二、合作交流，解读探究1、探究 实数关于相反数和绝对值的意义 讨论：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？试填空。总结 数的相反数是，这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0例1 （教材84页例1）例2 求下列各式的绝对值2、实数的运算当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。例3 计算下列各式的值（1）（+）- （2）+（3）（-3） （4）（-）总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的三、应用迁移，巩固提高例4 为何值时，下列各式有意义？ 例5 计算求5的算术平方根与它的立方根之和（保留3个有效数字） （）O例6 已知实数在数轴上的位置如下，化简四、总结反思1、实数的相反数和绝对值的意义2、实数的运算法则及运算律。 五、巩固练习1、教材P86练习第4题2、备选题（1）是实数，下列命题正确的是（ ）A.