参数问题的思维策略

1、参数问题的思维策略参数问题在历届的高考数学试题中常有出现,学生对此类问题常有畏惧心理,造成高考 得分偏低.因此,有关参数问题的解法是高中数学教与学和难点之一.由参数引起的讨论, 一般说来无非两种情形：要么给定命题结论,由此去探求参数的取值范围；要么由参数的取 值范围去探求命题在参数的制约下可能出现的各种结果,从而归纳出原命题的正确结论.但 不管是哪种类型,有关参数问题的题目很难一次性处理,分类讨论是其常规解法.但假设在解 题前注意一下解题的方法,适当作一些“技术处理,那么可防止或简化分类讨论,收到事半功 倍的效果.下面,就介绍解决参数问题的一些常用的思维策略.1定义法数学概念是以定义的方式表述

2、的巧妙的解法常来源于对定义的使用,在参数问题中,同样要重视定义解题.由最值的定义可知：f (X)max二M二f(X)二M有实根且f(X)乞M恒成立；f(x)minf(x)=m有实根且f(x)m恒成立；据此可使一类有关二次函数的逆向最值问题得到转化和简解.例1函数y二aQ的最大值为4,最小值为-1,试求a,b的值.简解：ymax=4二方程a；+b=4,即4xax+4_b = 0有实根且不等式兰4,即X +1x +14x? -ax 4 -b - 0恒成立,于是有匚0且厶_ 0,从而厶=0,即a? -16(4-b) = 0 ;同样由 2ymin - -1= a -4(b 1)-0.最后解得a = 4

3、,b = 3.注解：与二次函数有关的逆向最值问题利用最值定义都可归为其判别式“也=0 ,由此可使问题获解.2. 别离参数法有些参数问题,假设能将式中的未知数和参数别离开来,就可把求参数范围的问题转 化为求函数的值域或最值问题,从而快速求解.例 2 设函数 f (x) = l g121( a R,n N 且 n_2 ), 假设 f (x)在nx,(-二,1上有意义,求a的取值范围.简解：f (x)在 x (-：,1上有意义,那么 1 2(n -1)x nxa - 0在 n 2,(-：,1时恒成立,即a 计(丄广(心门能恒成立,于是只需求n nng(x -(1)x C2)()X在n-2,(-：,1

4、时的最大值,由g(x)是增函数可知：n nn1i _ n当 x = 1 时 g( X) max = £ (1 - n ),2.注解：关于x的方程F(x,k) =0在区间A上恒有解求参数k的取值范围一类问题,常用“分 离参数法求解较易,其一般步骤是：把方程F(x,k) =0别离为f (k)二g(x)；求出g(x)的 值域或最值,得到f(k)的范围(用含k的表达式)：解关于k的不等式求出k的范围.3. 数形结合法数形结合是一种常用的数学思想方法,用的是通过“数与“形之间的对应与转化来 解决数学问题的思想.在某些参数问题中,只要善于把问题的数量特征结合图形进行分析, 往往能借助图像性质而有

5、利于解决问题.例3方程|x-2n|=k.x(nN)在区间(2n -1,2n 1上有两个不相等的实根,求k的 取值范围.简解：由题意可知：k . 0.两边平方得：(x 2n)2=k2x,原命题可转化为抛物线 y=(x-2n)2与直线y二k2x在区间(2n -1,2n 1 (nN)上有两个不同的交点.结合图形分析 得到：当 x = 2n -1 时,有(x - 2n)2 k2x,从而有 k2 ：;当 x = 2n T 时,有(x - 2n)2 亠 k2x,2n -112n + 1从而有k2,故有k (0(n N).2n 十12n+1注解：此题的常规解法是运用一元二次方程有关实根的分布来求解,过程较为

6、复杂.运 用这一数形结合的解法,转化为抛物线与直线的交点个数的讨论.4. 变量代换法一些参数问题的题目隐晦生疏似难入手,假设把某些字母或代数式实施变量代换,往往可 化难为易,化繁为简.2例4 设对所有的实数x,不等式x2 log 2 4(a 1)2xlog2二丄Tog2也 4 0恒成立, aa+14a2求a的取值范围.简解：设log2 a 1 ",所给不等式大于 0恒成立=(3 t)x2 -2xt 2t 0恒成立,即2aa +1a + 13x2 (x2 -2x 2)t 0恒成立二t 0恒成立,即log 20,那么有1恒成立,故有2a2aa (0,1).注解：此题的常规解法要用ax2

7、bx c 0恒成立的条件进行分类讨论,十分繁琐.这里先对原式作变量代换进行转化,得到精巧别致的解法5. 正难那么反法有些参数问题从正面不易入手或不能解决,而它的反面情况那么较为简单,这时根据“正 难那么反的原那么,应用补集的思想逆向思维,从反面寻求解决,那么往往容易凑效.例 5 假设关于 x 的方程 x2 4ax -4a 3=0, X (a_1)x,a2 = 0, x2 2ax - 2a = 0 至少有一个方程有实数根,求实数a的取值范围.简解：当三个方程均无实数根有：< 216a 4(4a+3)c03 (a1)24a2c0 ,解之得：3 c a c 1,224a +8a c 0视R为全集,用“补集法易得a3 -1,二)时至少有一个方程有实数根.2注解：此题假设从正面入手,讨论较为繁琐,那么从反面思考、解决.正是“山重水复疑无 路,柳暗花明又