利用复数妙解三角几何等问题

1、v1.0可编辑可修改利用复数妙解三角几何等问题摘要复数在高中涉及的知识点较少,在高考中占据的分数也不多,但却是很有特 色的内容.由于复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式 与三角、几何、代数等学科有着密切的联系.本文罗列了复数的代数形式、几何 形式、向量形式、三角形式以及指数形式,从解三角函数、几何、不等式、方程 等几个问题论述复数在解决非复数数学问题的具体应用,充分熟悉、深刻理解、 熟悉掌握和灵活运用复数的几个表示形式去解答,对学生的创新性思维素质和能 力的培养具有重要意义.关键字：复数；形式；解题；妙解复数是咼三最后一章的内容,短短几页,只有三节,但在咼考中却占着一定 的

2、分值.高考中复数主要是以选择题与填空题的形式出现, 只要掌握了复数的概 念以及运算规律,就很容易得出答案.因此,教材的编排只简单介绍了复数的概 念,复数的运算以及数系的扩充,没有作过多的介绍,其三角形式和指数形式只 是在背景材料中提到过,并没有作详细的介绍.但在实际应用中,很多的数学问 题,比方：三角问题、几何问题等我们也可以用复数的知识去解答.在高中数学 中,复数把三角、平面几何、解析几何、代数在一定的程度上相互链接起来了, 那我们应该如何巧妙地利用复数的不同表示形式去解答这类问题呢下面分别对 这几方面进行探究.1复数的不同表示形式简介复数的代数形式复数的代数形式表示为z x yi 其中x、

3、y为实数,其中“ i 叫做虚数单位,i21 , X和y分别叫做复数的实部和虚部复数的几何形式在复平面上,每一个复数z x yi都能够由复平面上坐标为x,y 的点来表示,复数集C和复平面上的点所称的集合之间建立了一个对应的关系：“任何一个复数z x yi都可以由复平面的唯一的一个点x, y 来表示,反之,复平面内的任何一个点x, y 都可以表示唯一的复数z x yi. 复数z x yi一一对应复平面内的点x, y,这就是复数的几何表示形式复数的向量形式我们知道,任何一个复数都与平面直角坐标系中的点构成一一对应的关系, 即：复数z x yi 一一对应 复平面内的点M x,y ,而点M x,y 一一

4、对应 平面向量.所以,复数z x yi 一一对应 平面向量OM,也就是说复数z x yi 也可以用起点为原点,点M x,y 为终点的向量OM表示,OM这个向量即 是复数的向量表示形式.复数的三角形式设复数z a ib对应于对应于向量 OP ,其中p的坐标为(a,b),如图,其中 a r cos , b rsin ,所以 z a ib r cos ir sin r(cos i sin ).我们 把z r(cos i sin )叫做复数z a ib的三角形式.1复数的指数形式由我们熟知的欧拉公式e'cos i sin 以及复数的三角形式z r(cos i sin )有z rei,我们把这个

5、表达式叫做指数形式.也就是说,任 一非零复数z总可以表成z zeiarg.并且容易得到ei 1ei 2ei 1 2,ei 12利用复数妙解三角几何等问题复数是中学数学数系中的最后扩充,包含的知识面较多,应用也比拟灵活.复数在高中数学中也是相对独立的,它的三角形式、几何形式、向量形式、代数 形式、指数形式把几何、三角等学科紧紧的联系在一起,构建了一座优美的“桥 梁因此,复数为高中数学解题提供了一种新的解题途径.下面对如何利用恰 当复数形式妙解三角几何等问题做一些探讨.解三角函数问题复数的三角形式为z r cos i sin ,而sin与cos是三角函数中的正弦 与余弦,这说明复数的三角形式与三角

6、函数有着密切的联系,这个纽带为我们利 用复数的运算与性质来解决三角函数的某些相关的问题创造了一条新的路径.1利用三角形式计算三角函数值针对在计算三角函数值时如果我们遇到的角度不是比方0o,30o,60o,90o等等这些特殊的角度,并且题目中的各角度之间又存在着倍数关系时,用三角函数的和差角公式的方法计算那么比拟复杂,那么我们就可以考虑是否能用复数的表 现形式去解决.三角函数很多时候与 sin ,cos有关,而三角函数与复数的三 角形式的共同点是含有sin、cos ,所以我们一般选择复数的三角形式去计算.设 z cos i sin ,那么z cosi sin ,那么两式相减得z z 2isin

7、,从而5sinz z Z212i 2iz(2-1)同理cosz2 12z(2-2)tansincosz212 z(2-3)由棣莫弗公式有 zcosni sin ncosni sin n ,那么sin nz2n 12(2-4)cos nz2n 12zn(2-5)tan nz2n 1iz2n 1(2-6)cos i sin .10 10s咗的值.【例1】计算sin 10分析：由于是一的倍数,所以可以构造复数10 10v1.0可编辑可修改17解：构造复数z % i%,那么z101 , z5 i,由公式3-1 与3-4,得.3sin -10sin sin 3 10 10sin -10z612iz32i

8、2iz34 z z2 1z21z41 z212iz32iz31021 z21zz2iz5z212i i z212【例2】假设、 为锐角,且tanZ41 Z41 z812iz3 z21 2iz3 z21丄,sin,求 2 的值7. 10解：.sin1.10且为锐角cossin 2、10310sin 22 sincoscos 2cos2sin21、10 tan 2sin 2cos2tan为锐角,且tan-,sin1.10 Ov v ,Ov < 6 6证法一：0<2 < -2 tan 2tan tan 21 tan tan 2证法二:v1.0可编辑可修改复数 7 i 4 3i 25

9、1 i的一个辐角,即1112 2k - k42是复数7 i 4 3i的辐角主值,故说明：这道题目我们采用的是复数的方法去解答,24也可以采用正切的和角公式去计算,两者都同样简便.用正切的和角公式这种方法是顺理成章的,由于我们学习三角函数时经常用的方法,但我们也不妨体验下其他的方法比方复数方法,活泼我们的思维方式,增强我们的创新水平.在学习的过程中我们也提倡题多解,以此来开拓解题的思路,培养逻辑推理水平以及想象力,进一步提升数学的解题水平.2利用二角形式证实二角等式例 3】4 为锐角,且 3si n22sin21,3sin 2 2si n2 0,求证： 2分析：这道题目和例-1987年高测试题2

10、2有点类似,只不过例2是求值,在这里是证实,但最终的结果都是求出2的值.所以在这里我们也可以采用三角函数的一般解法,即根据三角恒等变换2的正弦值或余弦值,再根据的取值范围来推导出 2的取值范围,从而得出结论.但如果能联想到复数的三角形式以及 复数辐角的性质,利用复数的方法去证实,那么又可得到另一番匠心独运的复数 证法.证实：设 z1 cos i sin ,z2 cos i sin ,、为锐角,即、0,二 20,2 23sin 22si n202si n23 2sincos即 sin 23sin cos3sin22si n213sin21 2s in2cos2即 cos23sin2根据棣莫弗公式

11、,有 z C0S2isin2根据辐角的性质有：arg 3sin cosi sincos 2is" 22argz12argz22arg z1 z2arg cosi sin cos 2i sin 2arg cosi sin3 sin23i sin cosarg 3s incosisi nsinicosarg 3sincos cos 一sin sinisi n cos i cos sin2222arg 3sincosi sin22arg 3sincos i sinarg 3i sin即2-2 222故结论得证.(3)利用指数形式证实三角等式1【例 4】求证 cos5 cos5 5cos3

12、10 cos16分析：此题如果我们用一般的方法一一和差角公式去证实的话是不容易入手的,由于等式左边是一倍角度,而等式右边是五倍 角度,无论从左边证实右边还是从右边证实左边都是难上加难,因此我们可以考虑用复数的方法. 但此题如果仍用例3的方法去证实是很难行得通的,这时我们可以考虑运用复数的其它 表达形式.通过观察,在这里如构造复数的指数形式去证实较为简便.证实：设 eicos i sin ,ecosi sin,贝U cos5ii/左边 cos5e e1 i i 5e e232v1.0可编辑可修改12i2i3i亠i亠 i3iee2 e3e3ee3215i e5e3i10ei10e i3i5i5ee

13、325i5i3i3ii1ee厂eee e5-10162221cos 55cos310 cos =:右边16故结论得证 总结：由以上几个例子我们可以看出, 对于一些三角函数的数学问题, 适当地构 造复数来解答,不仅能够提升学生灵活应用知识解题的技巧, 而且有利于培养学 生解决数学问题的水平,开拓思维.解几何问题复数z x yi 对应 复平面内的点x,y ,这是复数的几何表示形式 由此可知,复数与几何具有直观的联系,复数的问题可以转化为几何问题来解答, 同样,几何的问题我们也可以转化为复数的问题的来解答.【例5】5如图,OABC是正方形,D是CB的中点,E是DB的中点,D E证实：AOE 2 CO

14、D证实：证法一：取 AB的中点F,连结OF、EF ,如图,那么 FOA COD设正方形 OABC 的边长为 1, 那么 AF -212v1.0可编辑可修改20OF , OA2 AF 2121 2<52 2 D是CB的中点,E是DB的中点 BE1BD , CD2BC2二 EF.BE2 BF2CBBE EF2OF.52 OFE BE-BC41421、544/235 OE一 oc2CE312V4425 EF2OF2OE216形OF2-cosEOF5OE22cos FOAOFcosEOFcos FOAEOFFOAEOF FOACODAOEEOF FOA 2CODAOE 2COD故结论得证法二:以

15、OA的延长线为实轴,OC的延长线为虚轴,建立复平面,取AB的中点F ,连结OF,如上图,那么设向量OF、OE对应的复数为Z1、Z2 OFOAAF ,OE OCCE OC-召Z2-CB421 .3.ii2 42二 ZiZ2又FOA是复数zi的辐角,EOA是复数Z2的辐角根据复数的乘方运算性质有2 FOA AOEAOE 2 COD点评：证法一是利用平面几何的方法,证法二是利用复数辐角的方法,显而 易知,证法二比证法一更简洁明了.如果平面上的几何图形之间的关系可以用复 数来表示,那么这些几何的问题我们就可以通过复数的运算来解决, 巧妙地算出 我们想要的结果,从而使一些比拟复杂的几何问题得到更简洁的证

16、法.【例6】3证实余弦定理证实：证法图画出三角形ABC经过A点作BC的高为AC,如上图设AB的长为c,AC的长为b,BC的长为a,那么BD ABcosB ccosB,AD ABsinB csin B, CD BC BD a ccosB根据勾股定理,有AC2 CD2 AD2 即 b2 a ccosB 2 csin B 2平方整理后,得b2 a2 c2 2ac cos B同理：a2 b2 c2 2bccosA, c2 a2 b2 2abcosC证法二：以B为原点,BA为x轴建立复平面,在复平面内作三角形 ABC,如图,那么A、B、C这三点分别对应的复数为 a,0,ccosB csinBi图 CA

17、BA BC CA对应的复数为a ccosB csin B ia ccosB csinB iCAccosB 22csin B . a ccosB 2 csin B 2 b两边平方,移项,整理,得b222a c 2accosB同理可证 a2 b2 c2 2bccosA,c2a2 b2 2ab cosC点评：对于平面几何的证实,如果我们采用平面几何的证法,不仅需要技巧, 而且遇到图形复杂的问题时,要找出适当的辅助线是很困难的,甚至有时还不知 道该如何下手.但是,如果我们采用复数的方法去解决,只要建立一个复平面, 很多复杂的问题就迎刃而解了.解不等式问题我们都知道,实数是可以比拟大小的,不等式是在实数

18、的根底上建立的, 虽 然复数之间是无大小可言的,但是,这并不是表示说复数和不等式毫无关系. 因 为复数的实部和虚部是由实数构成的,而复数与不等式之间的关系那么可以反映在复数的实部、虚部和模之间式的问题,我们也可以用复【例7】 0 c 1,求证：的关系上.所以,关于不等 数的知识来解决.厂110 b 1 且 c -,b -2 2I21 c| 2.1 cb2b22/2图证实：证法一：设 AE c AG b,那么 EB 1-c GD 1-b在 AOC 和 BOD 中有 OA OC AC OB OD BD OAOB OC OD AC BDOA.c2 b2, OB1-c2 b2 OC ；' 1-

19、c21 b2OD1 b 2,AC2,BD 2b2.1 c2 b2c21 b2. 1 c21 b 2证法二：设Z1bi , z21 cbi,Z3c (1 b)i,乙(1c)(1 b)i a,b RZ1Z3Z1Z2Z3Z4c bi (1 c) bi c (1 b)i (1 c) (1 b)iv1.0可编辑可修改2 2i22、c2b2.1c2 b2. c21 b2.1c21 b 22 2证法一通过单位正方形的结合,可以得出结论.但是,证法一这种方法存在 着很强的技巧性,有时候我们是难以想到的.这时我们就应该考虑其他的方法.这个不等式证实题含有四个无理式, 并且这四个无理式都有一个共同的特征： 两进而

20、联想到复数的模就z2 与b 0)个数的平方和再开方.由此我们很容易联想到距离公式, 顺理成章了.例 8】假设实数x,y,z满足等式x y z b,x22.22求证：0 x -b,0 y -b, 0 z - b333分析：在这里我们可以用三角代换,不等式的根本性质等多种方法来求 证,但如果我们采取复数法,证实也很简洁明了.证实：证法一:(3-7)2b2(3-8)2y2(3-9)把3-7和3-8 代入3-9式,去括号,移项,合并同类项,整理得:3z22bz232222b,同理可证0 x -b,33证法二复数法：v1.0可编辑可修改令z1 x yi , z2 y xi,贝U由 z z2 乙 z2,得

21、：v'2|x y 2jx2 y23-10_i把3-7和3-8代入3-10得：2 b z 2. ?b2 z2两边平方,得：2 b2 2bz z2 4 1 b2 z22化简,得：0 z 2b3同理可证：0 x 2b, 0 y 2b33证法一是利用了不等式的根本性质解答,证法二那么利用了模的性质,两种方法表达了两种不同的数学思维.证法一是最常用的方法,但当我们想不到证法一 时,不妨试试其它途径,比方证法二,或许它会给我们一种意想不到的结果,让 我们体验“山重水复疑无路,柳暗花明又一村的惊喜.在我们平时的练习中, 如果有意识地“一题多解,这样不仅可以开拓我们的智力,亦能发散我们的思 维.解方程

22、问题【例9】2解方程2 x2 1x2 2x 2x2 2x 10解：证法原方程两边平方,有:2 x2122x 222x 10去括号：4x2 4 x2 2x 2 4 x2 1、x2 2x 2 x2 2x 10移项,合并同类项,整理得,x2 1 x2 2x 2 x2 x 122两边平方,得x 1 x 2x 2x x 1移项,合并同类项,整理得4x24x 1 0 即: 2x 1 2011故x - 即这个方程的根为x -.22分析：证法一是解无理方程的一般解法,即通过平方去根号把它转化成有理 方程再求解.但平方后未知数x的次数增高,项数也增多,甚至有时也会产生增 根,对求解更加困难.但观察这个方程,发现根号里面可以配方,类比复数的模, 故可以归结为复数的问题来解决,即证法二.证法二：原方程化为：、.(2x)2 22 _(x 1)2 12 . (x 1)2 322x 2i 1 x i x 1 3i 设 Z1 2x 2i, Z2 (1 x) i,那么 Z1 z (x 1) 3i等价于：z2 z, z2显然当且仅当0Z|, oz2共线并且同向时才成立辅角主值相等,故主值的正切值相等.2 1 . 1 x 2x 1 x2这个方程的根为x丄.2点评：只要根号里面的式子可以转化为两个实数的平方和,那么这个根式我们就可以看做是某个复