分式方程的应用教师版

1、逼;卓越万蝶教育中小学课外辅导领军品牌第4页共13页分式方程及应用第十三讲主要知识点回忆列方程解应用题的一般步骤: 1审题：就是弄清题意,弄明白哪些量是的,哪些量是未知的,要求的量是什么.2、设未知数：在题目中一般设欲求的量为 x,这种设法叫直接设未知数；有时为了列方程简便, 也常常设其他的量为x,这种设法叫间接设未知数法.3、列方程：根据题目的实际意义找出等量关系,并把这个等量关系用数与未知数表示出来, 这就是列方程.4、解方程并求出未知数的值,分式方程一定验根.5、检验：这里的检验有两重含义,一是检验解方程是否正确,二是检验所解出的根是否符合题1：行程问题】根本量及关系：路程二速度x时间速

2、度路程时间时间=路程速度【典型问题】相遇问题中的相等关系：一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离追及问题中的相等关系：追及者的行程-被追者的行程=相距的路程 例1:甲、乙两地相距828km 列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍直达快车比普通快车晚出发 2h,比普通快车早4h到达乙 地,求两车的平均速度.分析：这是一道实际生活中的行程应用题,根本量是路程、速度和时间,根本关系是路程=速度X时间,应根据题意,找出追击问题总的等量关系,即普通快车走完路程所用的时间与直达快车 由甲地到乙地所用时间相等.解：设普通快车车的平均速度为xkm/h,那么直

3、达快车的平均速度为1.5 x km/h,依题意,得828 6x-828,解得 x 46,x1.5x经检验,x 46是方程的根,且符合题意.二 x 46, 1.5x 69,即普通快车车的平均速度为46km/ h,直达快车的平均速度为69km/ h.【变式练习】1： 一队学生去校外参观.他们出发 30分钟时,学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名 学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍.假设骑车的速度是队伍行进速度的2倍,这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米,问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解： 设步行速度为x千米/时,骑车速度为2x千米/时,依题意,得：方程两边都乘以2x,去分母,

4、得30-15 = x,所以,x = 15.检验：当x= 15时,2x= 2X 15工0,所以x = 15是原分式方程的根,并且符合题意.,骑车追上队伍所用的时间为 30分钟.2:农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机,一局部人骑自行车先走,40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,汽车的速度是自行车的3倍,求两车的速度.解：设自行车的速度为x千米/小时,那么汽车的速度为3x千米/小时,依题意,得：1515 40- 解得 x= 15.3 工 r t>U经检验x = 15是这个方程的解.当 x= 15 时,3x=45.即自行车的速度是15千米/小时,汽车的速度为45千米/小时.2

5、:【工程问题】根本量及关系：工作总量二工作效率X工作时间例2:某工程需在规定日期内完成,假设由甲队去做,恰好如期完成；假设由乙队去做,要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天,剩下的工程由乙独做,恰好在规定日期完成,问规定 日期是多少天？中小学课外辅导领军品牌解： 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数,设为 x天,工程所需的天数就是X + 3天.作效率是设工程总量为1,甲的工作效率就是,乙的工,依题意,得,解得第6页共13页逼;卓越万蝶教育中小学课外辅导领军品牌第8页共13页即规定日期是6 天.【变式练习】1:甲乙两人做某种机器零件.甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙做60

6、个分析：甲每小时做x个零件,做90个零件所用的时间是90宁x小时,还可用式子聖所用的时间相等.求甲、乙每小时各做多少个?小时x来表示.乙每小时做x-6个零件,做60个零件所用的时间是60 -x-6 小时,还可用式子 小时来表示.x 6等量关系：甲所用时间=乙所用时间90二-6解得：x=18 答：甲每小时做18个,乙每小时做12个x x 62:今年某大学在招生录取时,为了预防数据输入出错,2640名学生的成绩数据分别由两位教师向 计算机输入一遍,然后让计算机比拟两人的输入是否一致教师甲的输入速度是教师乙的 2倍,结果甲比乙少用2小时输完问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设教师乙每分

7、钟能输入x名学生的成绩,那么教师甲每分钟能输入 2x名学生的成绩,依题意,得：,解得x = 11经检验,x = 11是原方程的解,且当x= 11时,2x= 22,符合题意.即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩,教师乙每分钟能输入 11名学生的成绩.3:【打折销售的有关概念及公式】(1) 打m折的含义打m折就是按标价的10m%销售.例如：某件服装标价100元.为了扩大销售量,打九折销 售,即按标价100元的%,即元销售.(2) 利润、售价、进价的关系商品利润=-例如：某商品的进价是1500元,售价是1680元,那么利润为售价=本钱价+= 本钱价 (_+)(3) 利润率的求法商品利润率商品利润10

8、0%商品进价例3:某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后,其平均价比原甲种原料每千克少3元,比乙种原料每千克多1元,问混合后的单价每千克是多少元？解：设混合后的单价为每千克x元,那么甲种原料的单价为每千克(x 3)元,混合后的总价值为(2000 + 4800)元,混合后的重量为2000 4800斤,甲种原料的重量为x2000,乙种原料的重量为x 34800x 1,依题意,得:逼;卓越万蝶教育中小学课外辅导领军品牌【变式练习】某文化用品商店用2000元购进一批学生书包,面市后发现供不应求,商店又购进第 二批同样的书包,所购数量是第一批购进数量的3倍,但单价贵

9、了 4元,结果第二批用了 6300丿元.1 求第一批购进书包的单价是多少元？2假设商店销售这两批书包时,每个售价都是120元,全部售出后,商店共盈利多少元？解：1设第一批购进书包的单价是x元2000 WOO贝U:X3=丄(2)2000X(120 - 80 )6300+ .；理 I X(120 - 84 ) =3700(元)解得：x=80经检验：x=80是原方程的根答：第一批购进书包的单价是80元.第12页共13页答：商店共盈利3700元.4：轮船顺逆水应用问题 例4:轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等,水流速度为2千米/时,求船在静水中的速度.30千米=20千米

10、顺水航行速度逆水航行速度分析：此题的等量关系很明显：顺水航行 30千米的时间=逆水中航行20千米的时间,即【变式练习】轮船顺水航行80千米所需的时间和逆水航行 60千米所需的时间相同,船在静水 中的速度是21千米/小时,求水流的速度？解：设水流的速度为x千米/小时,根据题意得：80 6021 x 21 x解得：x=3答：水流速度是3千米/小时 5:【其他应用性问题】例5:要在15%勺盐水40千克中参加多少盐才能使盐水的浓度变为 20%溶质溶液=浓度.溶液溶质浓度加盐前4040 X 15%15%加盐后40 + x40X 15% x20%分析：设参加盐x千克浓度问题的根本关系是:解：设应参加盐x千

11、克,依题意,得 営%x= 20100100(40 X 15% x) = 20(40 + x),解得 x 2.5 .经检验,x 2.5是所列方程的根,即参加盐2.5千克.【变式练习】某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比1： 8,今年夏天由于家电购置量明显增多,家电部经理从销售人员中抽调了 22人去送货,结果送货人员与销售人员人数之比位 2： 5.求这个商场家电部原来各有多少名送货和销售人员？解：设这个商场家电部原有x名送货人员,那么销售人员有8x名, 根据题意得1 :甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲队单独工作2天完成总量的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了 1天,总

12、量全部完成.那么乙队单独完成总量需要(D )A. 6天B. 4天C. 3天D. 2天2:炎炎夏日,甲安装队为 A小区安装66台空调, 开工且恰好同时完工,甲队比乙队每天多安装 所列方程中正确的选项是D乙安装队为B小区安装60台空调,两队同时2台.设乙队每天安装x台,根据题意,下面60xA6660b6660.6660x x 2x 2 xx x 23:有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜 900kg和1500kg,第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设一块试验田每亩收获蔬菜xkg,根据题意,可得方程(A 9001500A .x 300 xc 90015

13、00C .x x 300C )o 9001500B .x x 300D 9001500x 300 x4:温州-福州铁路全长298千米.将于2021年6月通车,通车后,预计从福州直达温州 的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时.福州至温州的高速公路长331千米,火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的 直达温州所用的时间结果精确到 0.01小时.解：设通车后火车从福州直达温州所用的时间为 x小时.2倍.求通车后火车从福州依题意,得298x331x 2解这个方程,得x空.91经检验x空是原方程的解.91148911.64 .5:某商店在 端午节到来之际,以2400元购进一批盒装

14、粽子,节日期间每盒按进价增加20%作为 售价,售出了 50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价,售完余下的粽子,整个买卖过程 共盈利350元,求每盒粽子的进价.解：设每盒粽子的进价为x元,由题意得240020%xX50 50 >5 350x化简得 x2 10x 1200 0解方程得X1 40,X230 不合题意舍去经检验,X1 40,X230都是原方程的解,但x230不合题意,舍去.答：每盒粽子的进价为40元.中小学课外辅导领军品牌題卓越万蟆教育6:张明与李强共同清点一批图书,张明清点完 200本图书所用的时间与李强清点完 300本图 书所用的时间相同,且李强平均每分钟比张明多清点 1

15、0本,求张明平均每分钟清点图书的数量.解：设张明平均每分钟清点图书x本,那么李强平均每分钟清点x 10本,200300依题意,得3分x x 10解得x 20 经检验x 20是原方程的解.答：张明平均每分钟清点图书20本.5分注：此题将方程列为300x 200x 200 10或其变式,同样得分我们加固600米后,米用新的加固模 式,这样每天加固长度是原来的 2倍.7:进入防汛期后,某地对河堤进行了加固.该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务.这是 记者与驻军工程指挥官的一段对话''你们是用9 天完成4800米I长的大坝加固任务的？通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数

16、.解：设原来每天加固x米,根据题意,得6004800 600 n9 .x2x去分母,得 1200+4200=1 & 或 18x=5400解得x 300.检验：当x 300时,2x 0 或分母不等于0 x 300是原方程的解.答：该地驻军原来每天加固300米.第14页共13页1:甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程,乙队先单独做2天后,再由两队合作10天就能完成全部工程.乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天4数的4求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？5解：设甲施工队单独完成此项工程需 x天,4那么乙施工队单独完成此项工程需4x天,根据题意,得乎+乎

17、=15x解这个方程,得x = 25经检验,x= 25是所列方程的根卓越万蝶教育中小学课外辅导领军品牌2:南水北调东线工程已经开工,某施工单位准备对运河一段长2240m的河堤进行加固,由于采用新的加固模式,现在方案每天加固的长度比原方案增加了 20m,因而完成河堤加固工程所 需天数将比原方案缩短2天,假设设现在方案每天加固河堤xm,那么得方程为空40 2 x 20 x3:某超级市场销售一种计算器,每个售价 48元后来,计算器的进价降低了 4%,但售价未变, 从而使超市销售这种计算器的利润提升了 5% .这种计算器原来每个进价是多少元？利润 利润售价进价,利润率-润100% 进价解：设这种计算器原

18、来每个的进价为 x元,1分根据题意,得 丝上100% 5% 48 1 4%*x 100%. 5分x1 4%x解这个方程,得x 40 .8分经检验,x 40是原方程的根.9分答：这种计算器原来每个的进价是 40元.10分4:今年4月18日,我国铁路实现了第六次大提速,这给旅客的出行带来了更大的方便.例如, 京沪线全长约1500公里,第六次提速后,特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用18 小时.第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里,求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？解：设第五次提速后的平均速度是 x公里/时, 那么第六次提速后的平均速度是x+40公里/时.根据题意,

19、得：15001500 _15xx 40 8 5去分母,整理得：x2+40x- 32000=0, 解之,得：X1=160, X2=-200, 经检验,x1=160, x2=-200都是原方程的解, 但X2二-200V 0,不合题意,舍去.二x=160, x+40=200.答：第五次提速后的平均时速为160公里/时, 第六次提速后的平均时速为200公里/时.第15页共13页出售,很快售完由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提升了20%,他用1500元所购该书数量比第一次多10本当按定价售出200本时,出现滞销,便以定价 的4折售完剩余的书试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱

20、了不考虑其它因素？假设赔钱,赔多少？假设赚钱,赚多少?解：设第一次购书的进价为x元,那么第二次购书的进价为x 1元根据题意得：1200 10x15001.2x解得：x 5经检验x 5是原方程的解1200 240 本.51077所以第一次购书为第二次购书为第一次赚钱为第二次赚钱为所以两次共赚钱480 40 520 元答：该老板两次售书总体上是赚钱了,共赚了 520元.6:甲、乙两火车站相距1280千米,采用 和谐号动车组提速后,列车行驶速度是原来速度的 倍,从甲站到乙站的时间缩短了 11小时,求列车提速后的速度.解法一：设列车提速前的速度为x千米/时,那么提速后的速度为3.2x千米/时,根据题意

21、,得 1280 1280 11 .x 3.2x解这个方程,得x 80 . 经检验,x 80是所列方程的根.80 3.2 256 千米 /时. 所以,列车提速后的速度为256千米/时.7分解法二：设列车提速后从甲站到乙站所需时间为 x小时,那么提速前列车从甲站到乙站所需时间为x 11小时,根据题意,得240240200250 本5480 元5 1.2 50 7 0.4 5 1.240 元3.2迪3.2型x 11x那么列车提速后的速度为1 1= 256 千米 /时答：列车提速后的速度为256千米/时.第16页共13页贰在甲、乙两个工程队有水平承句这个工程公胡调学课外辅导乙队品牌单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1