2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷数学理科一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1【2021年湖北，理1，5分】为虚数单位，那么 A B C D【答案】A【解析】因为，应选A【点评】此题考查复数的运算，容易题2【2021年湖北，理2，5分】假设二项式的展开式中的系数是84，那么实数 A2 B C1 D【答案】D【解析】因为，令，得，解得，应选D【点评】此题考查二项式定理的通项公式，容易题3【2021年湖北，理3，5分】设为全集，是集合，那么“存在集合使得，是“的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不

2、必要条件【答案】A【解析】依题意，假设，那么，可得；假设，不能推出，应选A【点评】此题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题4【2021年湖北，理4，5分】根据如下样本数据3456784.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为，那么 A， B， C， D，【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以，应选B【点评】此题考查根据样本数判断线性回归方程中的与的符号，容易题5【2021年湖北，理5，5分】在如下图的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，给出编号、的四个图，那么该四面体的正视图和俯视图分别为 A和B和C和D和【答案】D【解析】在坐标系

3、中标出的四个点，根据三视图的画图规那么判断三棱锥的正视图为与俯 视图为，应选D【点评】此题考查空间由条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图， 容易题6【2021年湖北，理6，5分】假设函数，满足，那么称，为区间 上的一组正交函数，给出三组函数：，；，；,，其中为区间的正交函数的组数是 A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】对，那么，为区间上的正交函数； 对，那么，不为区间上的正交函数； 对，那么，为区间上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，应选C【点评】新定义题型，此题考查微积分根本定理的运用，容易题7【2021年湖北，理7，5分】由不等式确定的平面区域记为，不等式，确

4、定的平面区域记为，在中随机取一点，那么该点恰好在内的概率为 A B C D【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在内的概率为： ，应选D【点评】此题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题8【2021年湖北，理8，5分】?算数书?竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖的术：置如其周，令相承也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为 A B C D【答案】B【解析

5、】设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，所以，即的近似值为，应选B【点评】此题考查?算数书?中的近似计算，容易题9【2021年湖北，理9，5分】是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 A B C3 D2【答案】B 【解析】设椭圆的短半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，所以，因为，由余弦定理得：，所以，即，利用根本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，应选B【点评】此题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用根本不等式求最值，难度中等10【2021年湖北，理10，5分】函数是定义在上的奇函数，当时， ，假设

6、，那么实数的取值范围为 A B C D【答案】B【解析】依题意，当时，作图可知，的最小值为，因为函数为奇函数，所以当时，的最大值为，因为对任意实数都有，所以，解得，故实数的取值范围是，应选B【点评】此题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分一必考题11-14题11【2021年湖北，理11，5分】设向量，假设，那么实数 【答案】【解析】因为，因为，所以，解得【点评】此题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题12【2021年湖北，理12，5分】直线和将单位

7、圆分成长度相等的四段弧，那么 【答案】2【解析】依题意，圆心到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即，所以，故【点评】此题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题13【2021年湖北，理13，5分】设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为例如，那么，阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果 【答案】495【解析】当，那么，当，那么；当，那么，终止循环，故输出【点评】新定义题型，此题考查程序框图，当型循环结构，容易题14【2021年湖北，理14，5分】设是定义在上的函数，且，对任意,，

8、假设经过点,的直线与轴的交点为，那么称为,关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数1当=_时，为的几何平均数；2当=_时，为的调和平均数；以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可【答案】12或填12，其中为正常数均可【解析】设，那么经过点，的直线方程为，令，所以，所以当，为的调和平均数【点评】此题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等一选考题请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，那么按第15题作答结果计分15【2021年湖北，理15，5分】选修4-1：几何证明选讲如图，为的两条切线，切点分别为，过

9、的中点作割线交于两点，假设，那么_【答案】【解析】由切割线定理得，所以，【点评】此题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题16【2021年湖北，理16，5分】选修4-4：坐标系与参数方程曲线的参数方程是为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，那么与交点的直角坐标为【答案】【解析】由，消去得，由得，解方程组，得与的交点坐标为【点评】此题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题 三、解答题：共6题，共75分解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程17【2021年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度单位：随时间单位：h的变化近似满足函

10、数关系；1求实验室这一天的最大温差；2假设要求实验室温度不高于，那么在哪段时间实验室需要降温？解：1因为，又，所以，当时，；当时，于是在上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12，最低温度为8，最大温差为4 2依题意，当时实验室需要降温，由1得，故有，即，又，因此，即，在10时至18时实验室需要降温 18【2021年湖北，理18，12分】等差数列满足：，且成等比数列1求数列的通项公式；2记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得?假设存在，求n的最小值；假设不存在，说明理由解：1设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有，化简得，解得或，当时，；当时，从而得数列的通项公式为或2

11、当时，显然，此时不存在正整数，使得成立，当时，令，即，解得或舍去，此时存在正整数，使得成立，的最小值为41综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为4119【2021年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱，上移动，且1当时，证明：直线平面；2是否存在，使平面与面所成的二面角？假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由解：解法一：1如图1，连接，由是正方体，知，当时，是的中点，又是 的中点，所以，所以，而平面，且平面，故直线平面 2如图2，连接，因为，分别是，的中点， 所以，且，又，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且，在和中，因为，

12、于是，所以四边形是等腰梯形同理可证四边形是等腰梯形分别取的中点为，连接，那么，而，故是面与面所成的二面角的平面角假设存在，使面与面所成的二面角为直二面角，那么，连接，那么由，且，知四边形是平行四边形，连接，因为，是，的中点，所以，在中，由，得，解得，故存在，使面与面所成的二面角为直二面角 解法二：以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系，由得，1当时，因为，所以，即，而平面，且平面，故直线平面 2设平面的一个法向量为，那么由，可得，于是可取，同理可得平面的一个法向量为，假设存在，使面与面所成的二面角为直二面角，那么，即，解得故存在，使面与面所成的二面角为直二面角 20【20

13、21年湖北，理20，12分】方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米都在40以上其中，缺乏80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立1求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；2水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；假设某台发电机运行，那么该台年利润为5000万元；假设某台发电机未运行，那么该台年亏损800万元，欲使水电站年总利

14、润的均值到达最大，应安装发电机多少台？年入流量X40<X<8040X80X>120发电机最多可运行台数123解：1依题意，由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为2记水电站年总利润为单位：万元1安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润2安装2台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以，3安装3台发电机的情形：当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；当时，三台发电机运行，因此，

15、由此得的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以，综上，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机2台21【2021年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为1求轨迹为的方程；2设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围解：1设点，依题意得，即，化简整理得，故点的轨迹的方程为2在点的轨迹中，记，依题意，可设直线的方程为，由方程组，可得 1当时，此时，把代入轨迹的方程，得，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点2当时，方程的判别式为 设直线与轴的交点为，那么由，令，得 假设由解得，或，即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点假设或，由解得，或，即当时，直线与 只有一个公共点，与有一个公共点，当时，直线与有两个公共点，与没有公共点，故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点假设由解得，或，即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点综合12可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点22【2021年湖北，理22，14分】为圆周率，e =2.71828为自然对数的底数1求函数的单调区间；2求这6个数中的最大数与最小数；3将这6个数按从