第二章一元二次方程学案

1、青铜峡市四中“314”模式学案 使用人 ： 执笔人：张兴平 审核人：周果梅§2.1.1认识一元二次方程(一)一、学习目标：1一元二次方程的概念及它的一般形式 2经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型二、自学导航：1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）3x2=5x-1 （2）(x+2)(x-1)=6 （3）4-7x2=02,一元二次方程的概念：强调三个特征：它是_方程；它只含_未知数；方程中未知数的最高次数是_.一元二次方程的一般形式：_，在任何一个一元二次方程中，_是必不可少的项

2、3.几种不同的表示形式：ax2+bx+c=0 (a0,b0,c0) _ (a0,b0,c=0)_ (a0,b=0,c0)_ (a0,b=0,c=0)4：判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。（1）x2-y=1 (2) 1/x2-3=2 (3)2x+x2=3 (4)3x-1=0 (5) (5x+2)(3x-7)=15x2 （k为常数） (6)ax2+bx+c=0 (7)三、练习检测1. 下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（ ）， ， ， ， A6个 B 5个 C4个 D3个2.化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（ ）.（A）2，-5，-3 （B）2，-3，-5 （

3、C）2，5，-3 （D）2，-5，33、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为_m，宽为_m，根据题意，可得方程_。化成一般形式得_。4、求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 列出方程并化简。8m5、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。 §2.1.1认识一元二次方程(二) 一、学习目标：1探索一元二次方程的解或近似解2培养学生的

4、估算意识和能力3. 经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力二、自学导航：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式： 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）2x2x10 (2)x210 (3)x2x0(4)x20 (5）（8-2x）(5-2x)=183、P31页地毯问题中方程的一般形式：_你能求出x吗？（1）x可能小于0吗？说说你的理由；_（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？_（3）完成下表x00.511.522.52x213x11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。三、练习检测1、P34页随堂练

5、习2：用平方根的意义求一元二次方程的准确解（1） （2） （3）（4） （5）§2.2配方法（1）一、学习目标：1、会用开平方法解形如(xm)2n (n0)的方程；2、理解一元二次方程的解法配方法3、把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式，体会转化的数学思想。二、自学导航：1、用直接开平方法解下列方程：（1）x29 （2）(x2)216 (3) (x+1)2144=0 (4) (2x+1)2=3 2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x212x_(x6)2（2）x24x_(x_)2（3）x28x_(x_)2从上可知：常数项配上_.3、x28x90分析：先把它

6、变成_的形式再用_法求解。解：移项，得：_配方，得：_（两边同时加上_）即：_开平方，得：_即：_所以：_注意：用配方法解一元二次方程的基本思路：将方程转化为_ 的形式，它的一边是一个_，另一边是一个常数。当_时，两边_便可求出它的根；当_时，原方程无解.三、练习检测1、（1）x22x_(x_)2 （2）x2x_(x_)2(3) x2x_(x_)2 (4) x2x_(x_)22、一元二次方程x22xm=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）A.(x1)2=m2+1 B.(x1)2=m1 C.(x1)2=1m D.(x1)2=m+13、用配方法解下列方程：(1) x一l0x十257； (2)

7、 （3） （4）§2.2配方法（2）一、学习目标：1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。2、进一步理解配方法的解题思路。二、自学导航：1、把下列各式配成完全平方式（1） （2）（3） （4）2、用配方法解下列方程：（1）x24x30（2）x2-4x+12=0 （3） （4）例1、.用配方法解方程2x24x1=0方程两边同时除以2得_移项得_配方得_即:_方程两边开方得_即：_x1=_,x2=_例2：解方程：3x28x30解：两边都除以_，得：移项，得： 配方，得：（方程两边都加上_的平方）开平方，得： 所以: 三、练习检测1、用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）A，化为 B

8、，化为C，化为 D，化为2、用配方法解下列方程：（1） (2) （3）一、学习目标： §2.3公式法 1一元二次方程的求根公式的推导；2会用求根公式解一元二次方程。3.求根公式的条件：b24ac0。1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0 二、自学导航：1、用配方法解方程：ax2bxc0(a0)2、总结（1）、一般地，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时，它的根是x注意：当b24ac<0时，一元二次方程无实数根。（2）、公式法：上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次

9、方程的方法叫做公式法。解方程： （1）2x27x4 （2）x2-x+2=0 (3) 2x2-5x+4=0讨论归纳：用公式法解一元二次方程的步骤：1） 化成一般形式；2） 确定a,b,c的数值；3） 求出b24ac的数值，并判别其是否是非负数；4） 若b24ac0，用求根公式求出方程的根，若b24ac<0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。三、练习检测1、不解方程判断下列方程是否有解：(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18 （3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0 总结：根的判别式：_1）当b24ac_0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；2）当b24ac_0

10、时，一元二次方程有两个相等的实数根；3）当b24ac_0时，一元二次方程无实数根。2、下列一元二次方程中，有实根的方程是（ ） （1）x2-x+1=0 （2）x2-2x+3=0 （3）x2+x-1=0 （4）x2+4=03、用公式法解方程： 一、学习目标： §2.4分解因式法1能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程二、自学导航：1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为_的形式。 2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为_，再用求根公式_求解, 根的判别式：_。1）当b24

11、ac_0时，一元二次方程有两个实数根；2）当b24ac_0时，一元二次方程无实数根。3、选择合适的方法解下列方程：x2-6x=7 10(x1)225(x1)1004、分解因式：（1）5 x24x （2）x2x(2x) (3) (x+1)225 (4) 4x212xy+9y25、用分解因式法解下列方程：1）3x(x1)=0; 2) (2x1)(x+1)=0 1、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。2、因式分解法的理论根据是：如果ab=0,则a=0或b=0。例1：解下列方程：1）5x24x 2）x2x(x2) 3）(x1)2250。 4）4(2x-1)29(x+4)2； 三

12、、练习检测1、方程的根为（ ）A B C D2、解下列方程（1）4x(2x+1)=3(2x+1) （2）（3） （4）§2.5一元二次方程的根与系数的关系一、学习目标：1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。二、自学导航： 计算填表方程 x1 x2x1+x2 x1x2  x2+3x+4=0    6x2+

13、x-2=0     2x2-3x +1=0    请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：_。根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x-1=0     x1+x2= _    x1x2= _          &#

14、160; （2）3x2+5x=0       x1+x2= _ x1x2 _  （3）x2+7x=-6     x1+x2= _ x1x2= _  （4）5x2+kx-6=0    x1+x2= _    x1x2= _例、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的（1）平方和 （2）倒数和 （3）差三、练习检测1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k

15、的值。2.已知方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的一个根为2，求另一个根及k的值。 3、已知三角形的两边长是方程x2-12x+k=0 的两个根，三角形的第三条边长为4,求这个三角形的周长。4、 已知三角形的两边长是方程x2-12x+k=0 的两个根，三角形的第三条边能等于15吗？5、利用根与系数的关系，求作一个一元二 次方程，使它的两根为2和3.§2.6一元二次方程的应用（1）一、学习目标：1、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。2、通过列方程解应用题，进一步提高学生的分析问题、解决问题的意识和能

16、力。二、自学导航：1、一个两位数，十位数字是a，个位数字是b,则这个两位数是_;2、一个三位数，十位数字是a，个位数字是b,百位数字是c，则这个三位数是_;3、某工厂2006年总产值是a万元，2007比2006年增长了10%，则2007年的总产值为_万元，2008比2007年增长了10%，则2008年的总产值为_万元；若两年的增长率均为x,则2008年的总产值为_万元。4、平均增长（或降低）率问题：一商店1月份的利润是2000元，3月份的利润达到2420元，若这两个月的利润的增长率相同，则增长率是多少？5、变式训练：制造一种产品，原来每件的成本价是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8

17、1元，求平均每次降低成本的百分率。6、小结：平均变化率问题的公式为A=a（1+x）n 其中a为变化前的基数，x为变化率（增长时x>0，减小时x<0），n为变化次数，A为变化后的量。三、练习检测 1、有一个两位数，两个数字的和为9，数字的积等于这个两位数的，求这个两位数。2、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为_3、若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程：（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增

18、长的百分数4、某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x，则列方程为_§2.6一元二次方程的应用（2） 一、学习目标：分析几何问题中的数量关系，列出一元二次方程解决问题。二、自学导航： 列方程解应用题：1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800 cm2。求原正方形钢板的面积。2、如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求小路的宽度.三、练习检测1、已知甲乙二

19、人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲乙各走多远？2、一个直角三家形的斜边长7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm.求两条直角边的长度。§2.6一元二次方程的应用（3）一、学习目标：1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。二、自学导航：1、 有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？2、苹果园有100棵桃树，一

20、棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量。实验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个。若要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 3、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40-60元范围内，这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？例1、利润问题 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润

21、平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？三、练习检测1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？2、某服装商场将进货价为30元的内衣以50元售出，平均每月能售出300件。经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销售量就将减少10件。为了实现每月8700元的销售利润，并减少库存，尽快回笼资金，这种内衣的售价应定为多少元？这是应进内衣多少件？一元二次方程复习 （1） 1、 一元二次方程的概念

22、： 练习：（1）已知关于的方程，1）ax2+bx+c=0；2）x2-4x=8+x2；3）1+(x-1)(x+1)=0；4）（k2+1）x2 + kx + 1= 0中，是一元二次方程的是_.（只填序号）（2）把方程 3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式_，二次项是_,一次项系数是_,常数项是_.（3）(m216)x2+(m+4)x+2m+3=0是关于x的一元一次方程，则m为 。(m3)xx=5是关于x的一元二次方程，则m=_；2、一元二次方程的解法：（1）直接开方法：方程可化为：_的形式时可用直接开方法。练习：（2）配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤：1）把方程化为_；2）把_系数化

23、为1；3）移项：把_项移到方程的另一边；4）配方：方程两边都加上_；原方程变为_的形式；5）开平方：如果右边为_，就可以用直接开平方法求出方程的解练习：（3）公式法当b24ac_时，它的根是x_当b24ac_0时，一元二次方程无实数根。练习： 1）3x2+5(2x+1)=0 2）y2+2+3=0 （4）因式分解法：当方程右边是_,而左边是_时，我们就用分解因式法解一元二次方程。分解因式法的理论依据是_.练习：3、归纳总结：（1）直接开方法：缺一次项或形如a x2 =c、（x+b）2=c(c为非负数)（2）配方法：二次项系数为1且一次项系数为偶数的（3）公式法：适用于所有的一元二次方程，（号称一

24、元二次方程解法的“万能钥匙”）（4）因式分解法：方程右边是0，而左边可以分解因式公式法和因式分解法是解一元二次方程最常用的两种方法，要熟练掌握。4、当堂检测（1）、一元二次方程3x22310x的二次项系数为： ，一次项系数为： _ ，常数项为： _。（2）、已知m是方程的一个根，则代数式的值等于 .（3）、一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（ ）A、有一个实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、没有实数根（4）、 （配方法） （5）、3x2+5(2x+1)=0 （公式法） （6）、x22x99=0 （因式分解法） （7）、（因式分解法）例1：晓鹏准备在一张长20c

25、m、宽16cm的风景片的四周（外侧）镶上一条同样宽的金色纸边。若要使金边的面积是图片面积的19/80。金边的宽应该是多少？例2、如图，东西方向上有A、C两地相距10公里，甲以16公里/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12公里/时的速度从C地出发向正南方向前进，问最快经过多少小时后，甲乙两人相距6公里？例3、某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求每次降价百分之几？ 例4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出50kg;销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。针对这种水产品的销售情况，请解

26、答以下问题：当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？【巩固练习】1、将方程3x2+8x =3转化为 (n为常数）的形式为 _。2、若一元二次方程x2+2x+k+2=0没有实数根，则k的取值范围是_。3、一元二次方程(m-1)x2+3m2x+(m2+3m-4)=0有一根为0，求m的值及另一根。4、三个连续整数刚好是一个直角三角形的三边边长，则这三个连续整数分别为 ， ， 。三个连续偶数刚好是一个直角三角形的三边边长，则这三个连续偶数分别为 ， ， 。等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+

27、8=0的两根，则这个三角形的周长是 5、如图在一个长为35米，宽为26米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直道路，其它部分种花草，要使花草为850，问道路应为多宽？设道路宽为x，得方程如下：1）（35x）（26x）850； 2）85035×2635x26xx 2；3）35xx(26x) 35×26-850； 4）35x26 x35×26-850.你认为符合题意的方程有( )6、有一块矩形铁皮，长1m，宽0.5m，在它四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为0.24m，那么铁皮各角应切去多大的正方形？7、一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的，求这个两位数。8、在ABC中，B=90°，AB=6cm,BC=12cm点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后PBQ的面积等于8平方厘米？一元二次方程测试题填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和 。2、当 时，方程