高一下学期平面向量综合复习(共5页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上高一下学期平面向量综合复习结论 在中（加）或（减）称为向量三角形；推广可有，称为封闭折线如：在平行四边形ABCD中,已知,试用表示 .如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为2. 向量共线的条件：结论2 （平行向量基本定理）向量与平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数使特别地，三点共线3. 轴上向量的坐标及其运算：已知轴，取单位向量，对于轴上任意向量总是存在唯一实数x使得，我们称x为向量在轴上的坐标（或数量）。设是轴的一个基向量，向量的坐标为AB，则；若轴为x轴，可设点A、B的坐标分别为x1，x2，则向量的坐标AB=。4. 向量的分解：

2、结论3（平面向量基本定理） 设是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量，存在唯一实数使这里 称为向量关于基底 的分解式。特别地若，则有称为定比分点向量式，也称为直线AB的向量参数方程式；称为中点向量式（为中点）上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成的两条线段。求证三条高相交于一点5.平面向量的坐标运算：对于结论3，若是一组单位正交基底，则称是向量在基底下的坐标，记作。（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设，则有： ； ； ； ；6.向量的数量积：结论4 两个向量的数量积为，其中为两个向量的夹角，其范围为 数量

3、积有如下性质： ；是点到直线（甚至到平面）距离公式推导的根据； 夹角公式 ；（坐标形式） 即 （用于求模）； ；（坐标形式） （某些不等式放缩证明的根据）数量积的运算律：（1）交换律： ；（2）数乘律： ；（3）分配律： 。（请给出证明）注意：不满足消去律：推不出结论，举例： 。如：已知平面上直线l的方向向量=(-)，点O(0,0)和点A(1, -2)在l上的射影分别为和，且，其中=（ ）A B- C 2 D-2模公式的应用举例：（1）求证: ，其几何意义是 。（2）若,则 （3）已知,则与的夹角为 （4）已知中每两个向量夹角都为且,求值.7. 直线的方向向量 ，法向量 ，若再已知定点，而且点

4、，是单位法向量，则点P到直线的距离公式为： 。（向量形式）8. 结论： ，称为向量三角形不等式（三）三角形的“四心”与向量1. 关于重心G，有重心公式：坐标，并有性质；2. 关于垂心H，有性质；3. 关于外心O，有性质；结论：O、H、G三点共线且；此线称为欧拉（）线。（如何证明？）4. 关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如。 如： 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心在四边形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是 设斜的外接圆圆心为，两条边上的高的交点为，则实数

5、= 。 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心（四）向量与解析几何在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：（1）A、B、C三点共线等价于存在实数，使得（）；（2）的重心G的坐标公式为（3）直线的方向向量是什么？ 给定两点：，那么，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：，也就是说：直线的方向向量是，直线的法向量是例如：已知为坐标原点，点的坐标分别为,点运动时，满足，（1）求动点的轨迹的方程 （2）设、是轨迹上的两点，若，求直线的方程一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数

6、量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向

7、量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表

8、示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。如（1）若，则_（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（4）已知中，点在边上，且，则的值是_四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0。五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量

9、，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）ABC中，则_（2）已知，与的夹角为，则等于_（3）已知，则等于_（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_3在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，且，则向量在向量上的投影为_4的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要

10、非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。如（1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_（3）已知与之间有关系式，用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：_；_；_（2）若正方形的边长为1，则_（3

11、）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为_（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为_（5）若点是的外心，且，则的内角为_2坐标运算：设，则：向量的加减法运算：，。如（1）已知点，若，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上（2）已知，则 （3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 实数与向量的积：。若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设，且，则C、D的坐标分别是_平面向量数量积：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夹角；（2）若x，函数的最大值为，求的值向量的模：。如已

12、知均为单位向量，它们的夹角为，那么_两点间的距离：若，则。如如图，在平面斜坐标系中，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，2），求P到O的距离PO；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，。如下列命题中： ； ； ； 若，则或；若则；。其中正确的是_提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？八向量平行(共线)的充要条件：0。如(1)若向量，当_时与共线且方向相同（2）已知，且，则x_（3）设，则k_时，A,B,C共线九向量垂直的充要条件： .特别地。如(1)已知，若，则 （2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ （3）已知向量，且，则的坐标是_ （1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_（2）已知，直线与线段交于，且，则等于_12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特