烟台芝罘区数学高三专题复习-向量专题三角形四心与向量关系(附向量知识点)

1、学习必备欢迎下载烟台芝罘区数学2015 年高三专题复习 - 向量专题（ 1）三角形四心与向量关系- 内心、外心、重心、垂心（附向量知识点）烟台乐博士教育特供明老师整理一、三角形四心知识点（ 1 ）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2 ：1 ；（ 2 ）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（ 3 ）内心角平分线的交点 （内切圆的圆心） ：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（ 4 ）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、向量知识点零向量：长度为0 的向量，记为 0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行单位向量：模为 1 个单位长度的向量向量 a0 为单位向量 a0

2、 1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量向量加法 ABBC= AC 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：AB BC CDP Q Q R ，A但这时必须“首尾相连”实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度与方向规定如下：（）aa ；（）当0 时，a的方向与 a 的方向相同；当0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a共线有且只有一个实数，使得 b = a学习必备欢迎下载 平面向量的基本定理：如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的

3、任一向量a ，有且只有一对实数1 , 2 使： a1e12 e2 ，其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平面向量的坐标运算：(1)若 ax1 , y1,bx2 , y2，则 abx1x2 , y1y2， a b x1 x2 y1 y2(2)若 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，则 ABx2x1 , y2y1(3)若 a =(x,y) ，则a =(x, y)(4)若 ax1 , y1,bx2 , y2，则 a / bx1 y2x2 y10(5)若 ax1 , y1,bx2 , y2，则 ab ， x1x2 y1y20向量的运算向量的加减法，数与向量的

4、乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与 b ，它们的夹角为，则a · b= a ·b cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积）规定 0 a0向量的投影： b cos= a b R，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影| a |数量积的几何意义：a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积向量的模与平方的关系： aa22a| a |乘法公式成立： ab aba2b 222；ab222a ba22a b b 22a b ba向量的夹角：已知两个非零向量a 与 b ，作 OA =

5、 a , OB = b , 则 AOB=（ 001800 ）学习必备欢迎下载叫做向量 a 与 b 的夹角cos =cosa bab=x1 x2y1 y2,ab2222x1y1x2y2当且仅当两个非零向量a 与 b 同方向时，=0 0，当且仅当 a 与 b 反方向时=180 0，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点设 P1 x1 ， y1 ， P2 x 2 ，y 2 ，分点 P x， y ，设 P1 、P2 是直线 l 上两点， P点在l 上且不同于 P1、 P2 ，若存在一实数，使 P1PPP2，则叫做 P分有向线段P1 P2 所成的比（0， P在线段 P1 P

6、2 内，0， P在 P1 P2 外），且x 1x 2xx1x 2x21， P为 P1P2 中点时，y 1y1y 2y 2yy21如： ABC， A x1 ， y1， B x 2 ，y 2， C x 3，y 3则 ABC 重心 G的坐标是x1 x 2x 3 ， y 1y 2y 333三、三角形四心与向量关系典型例题：例1：O是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OPOA( ABAC) ，0,，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的（）A外心B 内心C重心D 垂心分析：如图所示ABC ， D 、 E 分别为边 BC、AC 的中点 .ABAC2ADOPOA2ADOPOAAP

7、AP2ADAP/AD点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心，即选 C .学习必备欢迎下载例2：O是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OPOA( ABAC ) ，0,，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的（B）ABACA外心B 内心C重心D 垂心分析：AB 、AC 分别为 AB、AC 方向上的单位向量，ABACABAC 平分BAC ,ABAC点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心，即选 B .例 3：O是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA(ABAC0,，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的（）) ，AB c o sBAC c o

8、sCA外心B 内心C重心D 垂心分析：如图所示 AD 垂直 BC ，BE 垂直 AC ， D 、E 是垂足 .AABAC)BC(EAB cosBAC cosC= ABBCAC BCAB cos BAC cosCBDCAB BC cos BAC BC cosCBC+BC=0=AB cos BAC cosC点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心，即选 D .三、四心与向量的结合（1）OAOBOC0O是ABC的重心.证法 1：设 O ( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 )AOEBDC学习必备欢迎下载x1x2x3( x1x) ( x2x) (

9、x3x) 0x3O是 ABCOAOBOC0y) ( y2y) ( y3y) 0y1y2( y1y3y3的重心 .证法 2 ：如图OAOBOCOA2OD0AO2ODA、O、D 三点共线，且 O 分 AD 为 2：1O 是ABC 的重心（2） OA OBOB OCOCOAO 为ABC 的垂心 .证明：如图所示O 是三角形 ABC 的垂心， BE 垂直 AC ， ADOA OBOB OCOB(OAOC)OB CA0OBAC同理 OABC ， OCABO 为ABC的垂心（ 3 ）设 a , b , c 是三角形的三条边长， O 是ABC 的内心aOA bOB cOC 0O为 ABC的内心.证明：AB 、AC 分别为 AB、AC 方向上的单位向量，cbABAC