2020年山东省济南市历下区初三二轮复习学案13：动点问题

1、动点型问题一、中考专题诠释所谓 动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题 .动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括 空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是 动中求静” .从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和 合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形

2、在不同位置的情况，做好计 算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2020?胡北黄冈，第8题3分）已知：在 4ABC中，BC=10, BC边上的高h=5,点E在边AB上，过点E作EF/BC,交AC边于点F.点D为BC上一点，连接 DE、DF

3、.设点E到BC的距离为x,则4DEF的面积S关于x的函数图象大致为（）例2 （2020湖南邵阳第9题3分）如图，在等腰 BBC中，直线l垂直底边BC,现将直线l 沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与四BC的边相交于E、F两点.设线段EF的长 度为y,平移时间为t,则下图中能较好反映 y与t的函数关系的图象是（）11对应训练1. （2020年湖北黄石）（2020?湖北黄石，第10题3分）如图，AB是半圆O的直径，点P从点A出发，沿半圆弧 AB顺时针方向匀速移动至点B,运动时间为t, AABP的面积为S,则卜列图象能大致刻画S与t之间的关系的是（）2. （2020湖北荆州第9题3分）如图，正方

4、形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s 的速度沿着边 BC-CD-DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s 的速度沿着边 BA向A点运动，到达A点停止运动.设 P点运动时间为x （s）,4BPQ的面积 为y （cm2）,则y关于x的函数图象是（）3. （2020也肃武威，第10题3分）如图，矩形 ABCD中，AB=3, BC=5,点P是BC边上的一 个动点（点P与点B、C都不重合），现将 PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作/BPF的角平分线交 AB于点E.设BP=x, BE=y,则下列图象中，能表示 y与x的函数关系的图象大致是（）4.

5、（2020?四川资阳，第8题3分）如图4, AD、BC是。的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿。一C-D一。的路线匀速运动，设 /APB=y （单位：度），那么y与点P运动的时间x （单位：秒）的关系图是考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力动态几何特点-问题背景是特殊图形， 考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的

6、性质、图形的特殊位 置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。（一）点动问题.例 2（2020?可北）如图，梯形 ABCD 中，AB/DC, DEXAB , CF ± AB ,且 AE=EF=FB=5 ,DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点 B停止.设 运动时间为t秒，y=S4EPF,则y与t的函数图象大致是（）A.B.C.D.1. （2020?四川省内江市，第11题，3分）如图，正方形 ABCD的面积为12, AABE是等边三角形

7、，点E在正方形ABCD内，在对角线 AC上有一点P,使PD+PE最小，则这个最小值/C. 2/D.后（二）线动问题例3（2020?门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD , AD/BC,若动直线l垂直于BC ,且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S, BP为x,则S关于x的函数图象大致是（）对应训练1 （2020麻州）如图所示，在矩形 ABCD中，垂直于对角线 BD的直线1,从点B开始沿着线 段BD匀速平移到D.设直线1被矩形所截线段 EF的长度为V,运动时间为t,则y关于t的 函数的大致图象是（）2. （2020?山东威海，第 11题3分）如图，已知 4ABC为等边三角形，AB=2,点D为边A

8、B上一点，过点D作DE / AC,交BC于E点；过E点作EF，DE,交AB的延长线于F点.设D.（三）面动问题例4（2020批丹江）如图所示：边长分别为 1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t,大正方形内去掉小正方形后的面积为 s,那么s与t的大致图象应为（）2. （2020深圳，第1 f对应训练考点三：双动点问题动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能 力要求更高高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题

9、，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.例5 (2020型枝花)如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD是梯形，AB / CD ,点B(10, 0) , C (7, 4).直线l经过A, D两点，且sin /DAB= g .动点P在线段 AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点 B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度 沿B-8D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线 A-DfC 相交于点M, 当P, Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设点 P, Q运动的时间为t秒(t >0), AMPQ的面积为

10、S.(1 )点A的坐标为 ,直线l的解析式为 ;(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；(3)试求(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出 S的最大值；(4)随着P, Q两点的运动，当点 M在线段DC上运动时，设 PM的延长线与直线l相交于 点N,试探究：当t为何值时， QMN为等腰三角形？请直接写出 t的值.考点四：几何动点问题PD若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为1. (2020河南，第17题9分)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点 A、B重合的一个动点，延长 BP到点C,使PC=PB, D是AC的中点，连接PD, PO.(1)求证：CDPs

11、pob；(2)填空:连接OD,当ZPBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形AOB第17题2. (2020山东省德州市，11, 3分)如图，AD是4ABC的角平分线，DE , DF分另是 ABD和4ACD的高，得到下面四个结论：OA=OD;AD，EF;当/A=90。时，四边形AEDF是正方形；A. B.C.D.AE2+DF2=AF2+DE2 其中正确的是()3. (2020怙岛，第24题12分)已知：如图，菱形 ABCD中，对角线 AC, BD相交于点 O, 且AC=12cm , BD=16cm .点P从点B出发，沿 BA方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，直 线EF从点D出发，沿DB方向匀

12、速运动，速度为 1cm/s, EFBD ,且与AD , BD , CD分别 交于点E, Q, F;当直线EF停止运动时，点P也停止运动.连接 PF,设运动时间为t (s) (0 vt<8).解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形 APFD是平行四边形？(2)设四边形 APFE的面积为y (cm2),求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t,使S四边形apfe： S菱形abcd=17： 40?若存在，求出t的值，并求出 此时P, E两点间的距离；若不存在，请说明理由.考点五：函数动点问题1. (2020?四川甘孜、阿坝，第 28题12分)如图，已知抛物线 y=ax25ax+2

13、(awQ与y轴 交于点C,与x轴交于点A (1, 0)和点B .(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)若点N是抛物线上的动点，过点 N作NHx轴，垂足为H,以B, N, H为顶点的三角 形是否能够与OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点 N的坐标；若不能，请说明理由.2. (2020?山东威海，第25题12分)已知：抛物线li： y= - x2+bx+3交x轴于点A, B,(点A 在点B的左侧)，交y轴于点C,其对称轴为x=1 ,抛物线12经过点A,与x轴的另一个交点 为 E (5, 0),交 y 轴于点 D (0,-=).(1)求抛物线12的函数表达式；(2) P为直线x

14、=1上一动点，连接 PA, PC,当PA=PC时，求点P的坐标；(3) M为抛物线12上一动点，过点 M作直线MN /y轴，交抛物线11于点N,求点M自点A 运动至点E的过程中，线段 MN长度的最大值.图13. (2020?山东日照，第22题14分)如图，抛物线 y=x2+mx+n与直线y=-,x+3交于A, B两点，交x轴与D, C两点，连接AC, BC,已知A (0, 3), C (3, 0).(I )求抛物线的解析式和 tan / BAC的值;(n )在(I )条件下:(1) P为y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA,过点P作PQLPA交y轴于点Q,问：是否存在点P使得以A, P, Q为顶

15、点的三角形与 4ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2)设E为线段AC上一点(不含端点)，连接DE, 一动点M从点D出发，沿线段 DE以每秒一个单位速度运动到 E点，再沿线段 EA以每秒 a个单位的速度运动到 A后停止，当点E的坐标是多少时，点 M在整个运动中用时最少?4. (2020?山东聊城，第25题12分)如图，在直角坐标系中，RtOAB的直角顶点A在x轴上， OA=4, AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿 AO向终点O移动；同 时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿 OB向终点B移动.当两个动点运动 了 x秒(

16、0VXV4)时，解答下列问题：(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示)；(2)设4OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式；当 x为何值时，S有最大值？最大 值是多少？(3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使 4OMN是直角三角形？若存在，求出 x的值；若不存在，请说明理由.5. (2020?莱芜，第24题12分)如图，过A (1, 0)、B (3, 0)彳x轴的垂线，分别交直线 y=4 - x于C、D两点.抛物线 y=ax2+bx+c经过0、C、D三点.(1)求抛物线的表达式；(2)点M为直线0D上的一个动点，过 M作x轴的垂线交抛物线于点 N,问是否存在这样 的点M,使得以A、C

17、、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；(3)若4AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上，且不与点D重合)，在平移的过程中4AOC 与OBD重叠部分的面积记为 S,试求S的最大值.四、中考真题演练1. （2020 南疆）如图，Rt ABC 中，/ACB=90° , / ABC=60° , BC=2cm , D 为 BC 的中点， 若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着 ZB-A的方向运动，设 E点的运动时间为t 秒（0WK6）,连接DE,当 BDE是直角三角形时，t的值为（）A. 2B. 2.5 或 3.5C. 3.5 或

18、4.5D. 2 或 3.5 或 4.52. （2020汝徽）图1所示矩形ABCD中，BC=x , CD=y , y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形 AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A.当 x=3 时，ECvEMB.当 y=9 时，EOEMC.当x增大时，EC?CF的值增大D .当y增大时，BE?DF的值不变143. （2020碗锦）如图，将边长为 4的正方形 ABCD的一边BC与直角边分别是 2和4的Rt GEF的一边GF重合.正方形 ABCD以每秒1个单位长度的速度沿 GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与RtGEF重叠部分面积为s,则s关于t的函数图象为（）0 12 3 45 6?B. oTTTTsfi? C . 0125456? D. 0 1 2 3 4 5 S?4. （2020洸岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A （0, 2）,