第2章单相交流电路

1、第第2章章 正弦交流电路正弦交流电路2.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法2.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念2.3 单一参数的正弦交流电路单一参数的正弦交流电路2.7 习题习题2.6 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率2.4 串联正弦交流电路串联正弦交流电路2.5 并联正弦交流电路并联正弦交流电路第第2章章 正弦交流电路正弦交流电路正弦交流电量正弦交流电量:随时间按正弦规律变化的电流、电压和电随时间按正弦规律变化的电流、电压和电动势等物理量。简称为正弦量。动势等物理量。简称为正弦量。 正弦交流电路正弦交流电路:指含有正弦电源指含有正弦电源(激励激励)且电路各部分所产且电路

2、各部分所产生的电压和电流生的电压和电流(响应响应)均按正弦规律变化的电路。均按正弦规律变化的电路。2.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念正弦电流、电压和电动势的瞬时值可用正弦电流、电压和电动势的瞬时值可用三角函数式三角函数式(或或称瞬时值表达式称瞬时值表达式)表示表示,如正弦电流如正弦电流i的三角函数式为的三角函数式为 sin()miIt0I, Ut0i, ut+_ Im2.1.1 正弦量的参考方向：正半周的实际方向。正弦量的参考方向：正半周的实际方向。iuR正半周正半周 -+uiR负半周负半周+ -2.1.2 正弦量的三要素正弦量的三要素 tIi sinmIm 2 Tit 01fT

3、1. 频率与周期频率与周期1).周期周期(T):正弦量变化一次所需的时间。单位正弦量变化一次所需的时间。单位“秒秒s”。2).频率频率(f ):每秒钟内变化的次数。单位每秒钟内变化的次数。单位“赫兹赫兹Hz”。3).正弦量变化的快慢正弦量变化的快慢, 还用角频率还用角频率 来描述。来描述。22fT 称为工频。称为工频。3).有效值有效值:由热电效应定义的。在同一周期时间内由热电效应定义的。在同一周期时间内,正弦正弦交流电流交流电流i和直流电流和直流电流I 对同一电阻产生的热量相等对同一电阻产生的热量相等(或或称热效应相等称热效应相等),就用就用I 表示表示i的有效值。的有效值。2. 幅值与有效

4、值幅值与有效值1).瞬时值瞬时值:正弦量在任一瞬间的值正弦量在任一瞬间的值,用小写字母表示用小写字母表示,如如 e、i、u。2).幅值或最大值幅值或最大值:瞬时值中最大的值瞬时值中最大的值,如如Em、Im、Um。正弦交流电流的表达式为：正弦交流电流的表达式为：i =Imsin t 说明或计量交流电时一般不用幅值或瞬时值说明或计量交流电时一般不用幅值或瞬时值,而有效值。而有效值。如民用电的如民用电的220V和工业用电的和工业用电的380V。因为热量相同因为热量相同,则：则：220Ti RdtI RT 将将i = Im sin t代入代入 上式，得：上式，得：2mII 2220022011sin1

5、cos 20222TTmTmmmIi dtItdtTTIIItTdtTT 则：则：（此公式只适用周期量）（此公式只适用周期量）同理得：同理得：2mEE 2mUU iRu+-IRU+- 用有效值反映正弦量的大小。用有效值反映正弦量的大小。3. 相位及初相位相位及初相位msin()iIt 0it+_正弦电流的一般表达式为：正弦电流的一般表达式为：其中其中( t+ )为正弦电流的相位为正弦电流的相位, t =0时相位称为初相位时相位称为初相位,即即 。相位差相位差:两个同频率正弦量的相位角之差或初相位角之两个同频率正弦量的相位角之差或初相位角之差。用差。用 表示。表示。 则：则： =( t+ 1)(

6、 t+ 2) = 1 2m1sin()uUt 对于对于m2sin()iIt 2.1.3 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差0t定义定义 =( 1 2)为相位差为相位差, -180 0 时时,称称 u 比比 i 越前越前 角；角；当当 =( 1 2) XC时时, 0, u超前超前 i-呈呈感性感性XLXC时时, 0, u滞后滞后 i-呈呈容性容性XL=XC时时, = 0, u.i同相同相-呈呈纯阻性纯阻性与电路性质的关系：与电路性质的关系：2.4.1串联交流电路的复阻抗串联交流电路的复阻抗ZLCLCR-arctanarctanUUXXUR 2.4串联正弦交流电路串联正弦交流电路(3) 幅值

7、式幅值式()uuiiUUUZZIII 则则：22()LCUZRXXI 1.瞬时值式瞬时值式:1RLCdiuuuuiRLidtdtC22+()LCUZRX - XI-LCUZRj XXI2.幅值式：幅值式：3.相量式：相量式：LC-jarctan22LCLC= +j- eXXRZ RXXRXXj= Z e jXL-jXCR+-UI总结总结UIZ-+ooo220304 4A5020=10UI.Z o200 ooo220304.4A5020=10UIZ电压超前电流电压超前电流20o,故为感性电路。故为感性电路。解：解： , Io=20V,-30UoZ=5020o=20V,30UoZ=5020例例1:

8、1:R.L和和C串联的电路中串联的电路中,已知已知。试求电路中的电流。试求电路中的电流并说明电路的性质。并说明电路的性质。电压滞后电流电压滞后电流20o,故为容性电路。故为容性电路。o200 例例2: 在在R.L.C串联电路中串联电路中,已知已知I=10A,UR=80V,UL=120V,UC=60 V。设电源频率。设电源频率f=50Hz求求:(1)总电压总电压U;(2)电路参电路参数数R.L.C;(3)总电压与电流的相位差。总电压与电流的相位差。解解:(1) 总电压总电压U为为22(-)100VRLCUUUU 8RURI 12LLUXI 382LLXXLmHf 6CCUXI F1531CCX

9、-12-6arctanarctan378LCXXR (2) 电路参数电路参数(3) 总电压与电流的相位差为总电压与电流的相位差为2.4.2 复复阻抗的阻抗的串联串联1112ZUUZZ 121212()UUUIZIZI ZZIZ 12ZZZ UIZ1Z21U2U+-UIZ-+则：则：12ZZZ 分压公式：分压公式：2212ZUUZZ 而：而：通式通式: kkkXRZZj 下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？两个阻抗串联时两个阻抗串联时,在什么情况下在什么情况下:21ZZZ成立。成立。7Z U=14V ? 14ZU=70V ?(a)3 4 V1V2 6V8

10、V+_U6 8 30V40V(b)V1V2+_U思考思考谐振谐振:具有具有L.C的电路中的电路中,如调节电源如调节电源f或电路参数使电路的或电路参数使电路的总总u与总与总i同相同相,整个电路呈现纯阻性整个电路呈现纯阻性,这种现象称为谐振。这种现象称为谐振。u和和i的相位差的相位差:arctanLCXXR 1.谐振条件谐振条件012ffLC ff0为感性为感性RLCui-+发生串联谐振时发生串联谐振时,电源的频率电源的频率f与电路的固有频率与电路的固有频率f0相同。相同。当当 XL=XC时时, 即即 =0 ,u与与i同相同相,这时电路发生串联谐振。这时电路发生串联谐振。 谐振条件谐振条件:2.4

11、.3 串联交流电路的谐振串联交流电路的谐振L与与C串联时串联时, u、i同相同相L与与C并联时并联时, u、i同相同相(1) 电路的阻抗为最小电路的阻抗为最小,电流为最大电流为最大220()LCZRXXR 且电路电流为最大。且电路电流为最大。00UUIZR LRfC 1Zff0f0I0IIRUU LUCU2.串联谐振特征串联谐振特征(2) 电路呈电阻性电路呈电阻性( =0)。(3) 电感电感(电容电容)电压是电源电压的电压是电源电压的Q倍。倍。因因XL=XC,LCUURLCRU UUUULLLUUI XXRCCCUUI XXR及及当当LCXXR时时,UL和和UC 都高于都高于U。此时此时C易击

12、穿易击穿,需考虑其安全性。需考虑其安全性。又称为电压谐振。又称为电压谐振。品质因数品质因数:串联谐振时串联谐振时,电容或电感端电压与电源电压的电容或电感端电压与电源电压的比值比值,用用Q表示。即表示。即001CLLULUIXQUUIRCRR UC=UL=QU(4) 串联谐振电路的选择性及其应用串联谐振电路的选择性及其应用 通频带宽度通频带宽度 0.707I0I0f1 f0 f2 fI0 Q与谐振曲线的关系与谐振曲线的关系 I0 f0 fQ大大Q小小Q愈大愈大,通频带愈窄通频带愈窄,选择性愈好。选择性愈好。Q值愈大值愈大,谐振曲线愈尖锐谐振曲线愈尖锐,选择性就愈好。选择性就愈好。 通频带宽度通频

13、带宽度:I值等于最大值值等于最大值I0的的70.7%处频率的上下限处频率的上下限之间宽度。之间宽度。f =f2-f1(4).串联谐振电路的选择性及其应用串联谐振电路的选择性及其应用 收音机的调谐接收电路收音机的调谐接收电路L2L1C等效电路等效电路Q值愈高值愈高,收音机获得的信号就愈强收音机获得的信号就愈强,选择性也就愈好。选择性也就愈好。谐振选频的说明谐振选频的说明:无线电信号经天线接受无线电信号经天线接受,由由L2耦合到耦合到L1上。上。LC经谐振选择经谐振选择,使某个电波信号与谐振频率使某个电波信号与谐振频率f0相同相同进行选择。进行选择。L1Cene1e2fnf1f2i1111678k

14、Hz2fLC 211530kHz2fLC 2=102.8ooLf LQRR 例例3:某线圈某线圈(R=16.L=0.3mH)与一个双联可变电容器与一个双联可变电容器C=(30300)pF串联。试问这一串联回路的谐振频率范围串联。试问这一串联回路的谐振频率范围是多少？当谐振频率是是多少？当谐振频率是873kHz时时,回路的回路的Q值是多少？值是多少？ 解解:由谐振频率的公式有由谐振频率的公式有谐振频率范围是谐振频率范围是(5301678)kHz。2.5.1 复阻抗的并联复阻抗的并联 分流公式：分流公式：121212/ /Z ZZZZZZ2112ZI =IZ + ZZ1Z2+-UI1I2IZ+-I

15、U12121211UUIIIZZUUZZZ 则：则：12111ZZZ12111ZZZ1212ZIIZZ 2.5 并联正弦交流电路并联正弦交流电路( () ) ( () )( () ) ( () )12ab3128j6 3j4Z ZZZ5j10(9j12)Z +Z8j63j4 - -+ += =+ += =+ + += =+ +- -+ + + Z2=R2+j XL2=(3+j4) Z3=R3+j XL3=(5+j10)解解:Z1=R1-j XC=(8-j6)例例1:电路如图所示。已知电路如图所示。已知R1=8,XC=6,R2=3,XL2=4, R3=5, XL3=10。试求电路的输入阻抗。试求

16、电路的输入阻抗Zab。120 0 VU11120 0A12 012AZ10 UI22120 0A1590j15AZj8 UI33120 0A8 90j8 AZj15 UI12312j15+j812j713.930.2 AIIII 112 2sin314 Ait 215 2sin(31490 )Ait 38 2sin(31490 )Ait o13.9 2sin(31430.2 )Ait - 123.及及 ；IIII例例2:在图所示的并联电路中在图所示的并联电路中,Z1=10, Z2=j8, Z3=-j15,U= 120V,f=50Hz。试求。试求:(1) (2) i1、i2、i3及及i。解解:(

17、1)设电压为参考相量设电压为参考相量(2) f=50Hz,=2f=314rad/s,2.5.2 并联交流电路谐振并联交流电路谐振1.谐振条件谐振条件ff0为为容容性性CiCuiRLi1+-1CIII222222()URLj CUUjCRj LRLRL 002220LCRL UI当电路发生谐振时当电路发生谐振时,与与 同相同相,上式中的虚部为零上式中的虚部为零,即即2011CRLLC 20112CRfLLC 0LR 01LC 012fLC 通常线圈的电阻通常线圈的电阻R很小很小,即即谐振谐振条件条件2222221()ZRLjCRLRL 2.并联谐振的特征并联谐振的特征由阻抗公式由阻抗公式2222

18、221()ZRLjCRLRL ,谐振电流最小谐振电流最小0RCIUL (2).电路的总电压与电流相位相同电路的总电压与电流相位相同( = 0),呈现电阻性。呈现电阻性。又因又因 (1).阻抗模最大阻抗模最大谐振时谐振时,0LZRC 达到最大值。达到最大值。22200RLZR 0LR 01LC 2222001() LLLLCZRRRC 00URCIIUZL 2.并联谐振的特征并联谐振的特征(3).分电流是总电流的分电流是总电流的Q倍倍 12200()UUILRL 01/CUIC C010001ILIQIIRCR 分电流与总电流之比称为并联谐振电路的品质因数分电流与总电流之比称为并联谐振电路的品质

19、因数(Q) 。则则10CIII 并联谐振也称并联谐振也称电流谐振电流谐振。因因0LR (4).品质因数与选择性品质因数与选择性并联谐振时并联谐振时,Q值愈高值愈高, 阻抗模阻抗模|Z0|愈大愈大,阻抗谐振曲线愈尖阻抗谐振曲线愈尖,选择性也就愈好。选择性也就愈好。不同不同Q值的阻抗模谐振曲线值的阻抗模谐振曲线 |Z|0 f0 fQ大大Q小小UICI1ICiCuiRLi1+-1212220 0= = =11 0 A20=I IIURR 30I 2L2=j=j20110 =j220VLUXI 22= j= j20 11 0 = j220VCCUX I L2220 2+90Vusin(t ）C2220

20、 290Vusin(t ）例例3:已知电路如图已知电路如图,已知已知R1=R2=R3=10,XL1=XC1=30,XL2=XC2=XC3=20,外加电压外加电压 。u=2202 sint V ，试求电路中的电流试求电路中的电流 和和 以及电压以及电压uL2和和uC2。123III、 、I解解:XL1=XC1,A,B间并联谐振间并联谐振,等效为等效为R1;B,C间的间的LC支路支路XL2=XC2,发生串联谐振发生串联谐振,故等效为一根导线。故等效为一根导线。B,C间间R3XC支支路被短路。则电路可等效为路被短路。则电路可等效为R1与与R2的串联。的串联。一般正弦交流电路的解题步骤一般正弦交流电路

21、的解题步骤1、根据原电路图画出相量模型图、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变电路结构不变)Ee 、Ii 、UuX C 、XL 、 RRCLjj2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图、根据相量模型列出相量方程式或画相量图3、用相量式或相量图求解、用相量式或相量图求解4、将结果变换成要求的形式、将结果变换成要求的形式例例1:已知已知1212(2) I I ,Ii ,i 12(1) , Z ZZIi ，分析题目分析题目:用相量式计算用相量式计算220 2sinVu t 。150 ,100,200 ,400 ,LCRRXX 求求: i, i1, i2+U-1R-jCXLXjRI1I2IZ1解解

22、:设设220 0 VU (11j100j200)LZRX2jj400CZX312ZZZ /Z(370j240)440 33 0.533 AUIZ 21120.89-59.6 AZIIZZ Z23Z50R 0.5 2 sin(33 )Ait 10.89 2sin(59.6 )Ait 20.5 2sin (93.8 )Ait 12120.5 93.8 AZIIZZ 例例2:电路中已知电路中已知:I1=10A,UAB=100V,求：求：A、V 的读数。的读数。AB C1V51I2Ij10Aj5I解法解法1: 用相量式计算用相量式计算AB100 0 VU 设：设：210 245 A5j5ABUI 11

23、090 Aj10 AI 1210 0 AIII AB100j100V100 245 VLUUU +- U LL(j10)j100VUI 解法解法2:用相量图求解用相量图求解画相量图如下：画相量图如下：ABU设设 为参考相量为参考相量, ,由相量图可求得：由相量图可求得： I =10 AABU例例2:已知已知:I1=10A,UAB=100V,求求:A.V的读数。的读数。10A1I超前超前1I90ABU A,21055100222I45AB2UI滞滞后后101II452102IAB C1V51I2Ij10Aj5IUL= IXL=100VV =141V由相量图可求得：由相量图可求得：90IUL超超前

24、前100LU45U+- U L2.6 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率1.瞬时功率瞬时功率2sin()2sincoscos(2)puiUtItUIUIt 2.平均功率平均功率(有功功率有功功率)TT0011coscos(2)pdtUIUItPdtTT 22RRcosUIUIIRUR msin()uUt其中其中cos 为功率因数。为功率因数。2.6.1 功率功率UL+UCUURjXL-jXCR+-UIsinmiIt 设设UIZ-+LCjj()ZZRXRXX 1niiPP 2.6 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率P.Q及及S的数值关系为：的数值关系为：3.无功功率无功功率Q=ULIUCI=

25、I(ULUC)=IUsin 4.视在功率视在功率S :电压有效值与电流有效值的乘积。电压有效值与电流有效值的乘积。S=UI=I2|Z|单位单位:伏安伏安(VA)LC11nniiiiQQQ 5.功率三角形功率三角形22SPQ P.Q.S构成直角三角形构成直角三角形功率三角形。功率三角形。PQSUL+UCUUR | Z |XLXCR注注:SS1+S2+SnLCLCR-arctanarctanarctanUUXXQURP 11L12Z =ZR +jX =100+j100100 2 45= 3CZjXj10010090 232323Z ZZ100 245100j100ZZ 123Z=ZZ =200 0

26、 解解:(1)即纯电阻。即纯电阻。XCR2XL2+-u1XL1R1u2+-i2i1i3u(2)120045145 A200UIZ 111100 2 45145100 2 90VUZ I 21-200 45100 2 90UU U 100 2 0 V o222145 AUIZ 2332 90 AUIZ oU 200 45V 123I I I 、12U U、例例1:电路如图电路如图,已知已知R1=R2=XL1=XL2=XC=100,试求试求:(1)电路的电路的Z;(2)及电压及电压(4)画出电压和电流的相量图。画出电压和电流的相量图。; (3) P、Q及及S;o20045 VU11coscos02

27、00WPUIUI 1sin0VarQUI 1200VASUI (3)11 45 AI 1100 2 90VU 2100 2 0 VU o2145 AI 1U2UU3I32 90 AI 2I1I2.6.2 功率因数的提高功率因数的提高在直流电路中在直流电路中,功率：功率：cos 是电路的功率因数是电路的功率因数,其大小由电路其大小由电路(负载负载)的参数决定。的参数决定。1.提高功率因数的意义提高功率因数的意义在交流电路中在交流电路中,功率：功率：P=UIP=UIcos 1).提高发电设备的利用率提高发电设备的利用率P=UNINcos 2). 降低输电线路和发电机绕组的功率损耗降低输电线路和发电机绕组的功率损耗(P)22221cosPPI rrU cosPIU r-供电线路和发电机绕阻的总等效电阻。供电线路和发电机绕阻的总等效电阻。 2.功率因数提高的方法功率因数提高的方法2)