概率论与数理统计课件04F 重要分布

1、1第四章第四章 重要分布重要分布1. 1. 正态分布的实际背景和数学模型正态分布的实际背景和数学模型2. 2. 正态分布的数字特征正态分布的数字特征3. 3. 标准正态分布与正态分布的关系标准正态分布与正态分布的关系4. 4. 正态分布与正态分布与-分布的关系。分布的关系。2引理：引理：普阿松积分公式 |00220022222222,sin,cos,:,rrryxtedrerdrdeIrdrdryrxdydxeIdteI则积分元为令作极坐标变换证3定义定义 如果连续型随机变量x的概率密度为222)(21)(xex其中其中 , 为常数为常数, 并且并且 0, 则称则称x x服从正态分布服从正态分

2、布, 简记作简记作x xN( , 2).利用引理可以验证利用引理可以验证Ex x= , Dx x= 24特别地特别地, 当当 =0, =1时时, 称称x x服从服从标准正态标准正态分布分布, 记为记为x xN(0,1).其概率密度记为其概率密度记为 0(x), 且且20221)(xex5验证Ex=xxduedueuEdudxuxxudxexEuux222)(222221)(21,2则令6验证Dx=22222222222)(2222222|222,2)(xxdueueudedueuDdudxuxxudxexDuuuux则令70(x)的图形20221)(xexx0(x)01180(x)除一般概率密

3、度的性质外, 还有下列性质(1) 0(x)有各阶导数(2) 0(x)=0(x), 偶函数(3) 在(,0)内严格上升,在(0,)严格下降.在x=0 处达到最大值:3989. 021)0(0(4) 在x=1处有两个拐点;(5) x轴是0(x)的水平渐近线0)(lim0 xx9可用书后附表二查出0(x)的各个值例1 xN(0,1), 求0(1.81), 0(1), 0(0.57), 0(6.4), 0(0).解 查书后附表二可得0(1.81)=0.077540(1)=0(1)=0.24200(0.57)=0.33910(6.4)=00(0)=0.398910一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态

4、分布与标准正态分布的关系1. 如果xN(,2), hN(0,1), 其概率密度分布记为(x)和0(x), 分布函数分别记为F(x)及F0(x), 则FFxxxx00)()2(1)() 1 (11证FFFxdyyxtydtxdttxxeexxxxxx0000212)()()(,1)()()2(121121)() 1 (222令122. 如果如果x xN( , 2), 而而h h=(x x )/ , 则则h hN(0,1)证证: 为证明为证明h hN(0,1), 只要证明只要证明h h的概率密度为的概率密度为 0 0(x)或分布函数为或分布函数为F F0 0(x)即可即可.Fh h(x)=P(h

5、h x)=P(x x )/ x)=P(x x x+ )=F F( x+ )=F F0(x)可以证明可以证明, 服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量x x, 它的线它的线性函数性函数kx x+b(k 0)仍服从正态分布仍服从正态分布.13标准正态分布函数表如果xN(0,1), 则对于大于零的实数x, F0(x)的值可以由附表三直接查到. 而对于小于零的x则可通过对称性来求得.0(x)0uF0(x)x14例例2 x xN(0,1), 求求P(x x 1.96), P(x x 1.96), P(|x x| 1.96), P( 1x x 2), P(x x 5.9).15概括起来, 如果xN(

6、0,1), 则0)(,5, 0)(,5)()()()0(1)(2)|(|0)(105 . 00)()(0000000 xxxxabbaPxxxPxxxxxxPFFFFxFxFFx时而当时当时当16例例3 x xN(8,0.52), 求求P(|x x 8|1)及及P(x x 10)17例例4 x xN( , 2), P(x x 5)=0.045, P(x x 3)=0.618, 求求 及及 4, 8 . 118正态分布与正态分布与G G-分布的关系分布的关系3. 如如x xN(0,1), 则则x x2 2(1)21212221212)()()(0; 0)(,0)(,21)(),1 , 0(2xx

7、xekxexxxxxxxxxexNxhxxxhhhx时当时则当其概率密度为令证 19推论：如果推论：如果x x1,x x2,.,x xn相互独立相互独立, 且且x xiN(0，1), (i=1,2,.,n),则则 x x1+x x2+.+x xn 2 2(n）推论推论(需要记住需要记住)：如果：如果x x1,x x2,.,x xm相互独立相互独立, 且且x xi 2 2(ni), (i=1,2,.,m),则则 x x1+x x2+.+x xm 2 2(n1+n2+.+nm)20F分布的定义分布的定义: 若连续型随机变量x的概率密度(x)为).,(,0001)(212122112211nnFFn

8、nxxxnnkxxnnn简记为分布的个自由度为第二为服从具有第一个自由度称x211994年经济类研究生试题_2,210102)(YPXXYxxxfX则出现的次数事件的三次独立重复观察中表示以其它的概率密度为设随机变量1x222解64924121YPXP231995年经济类研究生试题_0101011)(,DXxxxxxfX则方差其它其概率密度为是一个随机变量设x11124解61122)4131(2)4131(2)(2)1 (2)(2,)(0,)(|1043103210202222xxdxxxdxxxdxxfxDXxdxxfxEXDXEXxf因此也是偶函数则为偶函数由图可知251997年经济类研究

9、生试题27192781321011,31,321 ,94)1 (0_1,951), 3(), 2(32YPYPpppXPYPXPpBYpBX解则若设随机变量261999年经济类研究生试题设随机变量X服从参数为l的泊松分布, 且已知E(X1)(X2)=1, 则l=_提示: EX=DX=l, 且 EX2=(EX)2+DX=l2+l,l=1271999年经济类研究生试题设随机变量Xij(i,j=1,2,.,n;n2)独立同分布, EXij=2, 则行列式_212222111211EYXXXXXXXXXYnnnnnn的数学期望280EY292000年经济类研究生考研题设随机变量X在区间1,2上服从均匀

10、分布; 随机变量_0, 10, 00, 1DYXXXY则方差12x30解98311)(131) 1(3213131) 1(321311, 00,321222222EYEYDYEYEYYPYPYP则如图不难算出311998年经济类研究生试题 设一次试验成功的概率为设一次试验成功的概率为p, 进行进行100次独立次独立重复试验重复试验, 当当p=_时时, 成功次数的标准差成功次数的标准差的值最大的值最大, 其最大值为其最大值为_解 设成功次数为X, 则XB(100,p), DX=100p(1p)=100p100p2, 对p求导并令其为0, 得100200p=0, 得p=0.5时成功的标准差的值最大

11、, 其最大值为55 . 05 . 0100npq3229. xiN(0,1)(i=1,2,3), 并且x1,x2,x3相互独立,3231321)2()(313131)(),cov()31, 0(,3131, 0).,cov(,),cov(,)(,331222211311131131232131xxxxxxxxxxxxxxxxxhxhxxxxhxxxxxiiiiiiiiiiiEEEEENDDEE则解求33因此0),cov(,)(,)(, 03131)()(),cov(),32, 0(, 2323)(31222312hxxxxhxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxh因此独立必互不相关而相互也相互独立与则独立也相互与则相互独立与因此而它们都是正态分布互不相关与即而因iiiiiiiiiiiEEENEE3430. (x,h)有联合概率密度.21,00021)(),2(),1 (),1 (,),1 , 0(),1 , 0(,.,21),(21222222222)(2122的指数分布服从参数为即的概率密度为则则因此相互独立与由联合概率密度看出解