线性代数复件1-习题课

1、上一页上一页下一页下一页返返 回回1第一章第一章 行列式行列式习题课习题课上一页上一页下一页下一页返返 回回2排排 列列行行 列列 式式全排列及全排列及其逆序数其逆序数对对 换换展展 开开定定 义义性性 质质克莱姆法则克莱姆法则上一页上一页下一页下一页返返 回回3一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式三、克莱姆法则三、克莱姆法则典型例题典型例题上一页上一页下一页下一页返返 回回4分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数和，即算出排列中每个元素的逆序数 ., 1323222121

2、2 并讨论奇偶性并讨论奇偶性的逆序数的逆序数求排列求排列kkkkkk 解解例例一、计算排列的逆序数; 0,2故故逆逆序序数数为为排排在在首首位位k; 1),2(11故故逆逆序序数数为为大大的的数数有有一一个个的的前前面面比比k; 1),2()12()12( 逆序数为逆序数为故故大的数有一个大的数有一个的前面比的前面比kkk 上一页上一页下一页下一页返返 回回5; 2),12 ,2(22 数数为为故故逆逆序序大大的的数数有有两两个个的的前前面面比比 kk; 2),12 ,2(2222 故逆序数为故逆序数为大的数有两个大的数有两个的前面比的前面比 kkkk ; 1),2, 12 ,2(111 kk

3、kkkkk故故逆逆序序数数为为个个大大的的数数有有的的前前面面比比; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故故逆逆序序数数为为个个大大的的数数有有的的前前面面比比;),1, 12 ,2( kkkkkkk故故逆逆序序数数为为个个大大的的数数有有的的前前面面比比 上一页上一页下一页下一页返返 回回6 kkk 1122110 kkk 211122k 当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，k当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列k于是排列的逆序数为于是排列的逆序数为上一页上一页下一页下一页返返 回回7用定义计算（证明）用定义计算（证明）例例用行列式定义计算用行列式

4、定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式上一页上一页下一页下一页返返 回回8的的非非零零元元素素分分别别得得到到行行可可能能中中第第那那么么，由由行行的的元元素素分分别别为为中中第第设设5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,55432

5、1 Dppppp故故元元排排列列也也不不能能组组成成，一一个个在在上上述述可可能能取取的的代代码码中中因因为为上一页上一页下一页下一页返返 回回9注注1:用定义计算行列式的一般方法用定义计算行列式的一般方法:从一般项从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号有可能取到的值，并注意每一项的符号上一页上一页下一页下一页返返 回回10利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例3计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将

6、所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.333222111222nnnDnnnn 上一页上一页下一页下一页返返 回回11，于是得到，于是得到增至增至幂次数便从幂次数便从则方则方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，递升至递升至而是由而是由变到变到序排列，但不是从序排列，但不是从次数自左至右按递升次次数自左至右按递升次方幂方幂数的不同方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个中各行元素分别是一个10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上一页上一页下一页下一页返返 回回12上面等式右端行列

7、式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( ! )1()2()24)(23( )1()13)(12( ! )(!1 nnnnnnnnnDjinjinxx上一页上一页下一页下一页返返 回回13注注: 由于由于所给行列式各行（列）都是某元素所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，蒙行列式不完全相同，因此因此需要利用行列式需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行

8、列式次序等）将此行列式化成范德蒙行列式上一页上一页下一页下一页返返 回回14用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例4计算计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 上一页上一页下一页下一页返返 回回15解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得将第将第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 上一页上一页下一页下一页返返 回回16提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加

9、到到最最列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(11aaan 上一页上一页下一页下一页返返 回回17. )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(上一页上一页下一页下一页返返 回回18注：注：利用行列式的性质，逐步将所给行列式化为利用行列式的性质，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用

10、行列式性质将某适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为行（列）中的某数化为1 1；若所给行列式中元素；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的上一页上一页下一页下一页返返 回回19，得得提提取取公公因因子子行行中中行行，并并从从第第行行都都加加到到第第、的的第第将将dcbaD 114324用按行（列）展开计算用按行（列）展开计算（降阶法）（降阶法）例例5计算计算.4abcdbadccdabdcbaD 解解上一页上一页下一页下一页返返

11、 回回20,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列，得列，得列都减去第列都减去第、再将第再将第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 上一页上一页下一页下一页返返 回回21行展开，得行展开，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再从从第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 上一页上一页下一页下一页返返 回回22列列，得得列列减减去去第第再再将将第第12行行展展开开，得得按按第第1 )(

12、)( )(22cbdadcbadcba )( )(dcbadcbadcbadcba ,001 )(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(上一页上一页下一页下一页返返 回回235用递推法计算用递推法计算例例6计算计算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆拆成成两两个个行行列列式式之之和和列列把把依依第第Dnn上一页上一页下一页下一页返返 回回24aaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann 上一页上一页下一页下一页返返 回回25.1121DxaxxxDnnnn 从从而而得得列展开列展开

13、第第右端的第二个行列式按右端的第二个行列式按列列加到第加到第倍分别倍分别列的列的将第将第右端的第一个行列式右端的第一个行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 上一页上一页下一页下一页返返 回回26由此递推，得由此递推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于于是是如此继续下去，可得如此继续下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 上一页上一页下一页下一页返返 回回27)(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxx

14、xaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 时，还可改写成时，还可改写成当当021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 上一页上一页下一页下一页返返 回回28当线性方程组方程个数与未知数个数相等、当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解的线性方程组后再求解三、克莱姆法则三、克

15、莱姆法则 ( ), (1) 0, (2) 3, ( 3) 28.f xfff 求 一 个 二 次 多 项 式使例例 7 7上一页上一页下一页下一页返返 回回29解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为,)(2cbxxaxf 由题意得由题意得,2839)3(, 324)2(, 0)1( cbafcbafcbaf., 的线性方程组的线性方程组数数这是一个关于三个未知这是一个关于三个未知cba上一页上一页下一页下一页返返 回回30.20,60,40, 020321 DDDD由克莱姆法则，得由克莱姆法则，得. 1, 3, 2321 DDcDDbDDa于是，所求的多项式为于是，所求的多项式为. 132)(2 xxxf上一页上一页下一页下一页返返 回回31例例8有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，钾克，钾2克；乙种化肥每千克含克；乙种化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，钾克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮克；丙种化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，钾克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要克若把此三种化肥混合，要求总重量求总重量23千克且含磷千克且含磷149克，钾克，钾30克，问三种化克，问三种化肥各需多少千克？肥