线性代数知识点

1、线性代数知识点第1章 行列式定义：1. 逆序和逆序数：对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同个的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。(p5)2. n阶行列式：设有个数，排成n行n列的数表，作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号（），得到形如 （1）的项，其中为自然数1，2，.，n的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（1）式的项共有n！项

2、。所有这n！项的代数和称为n阶行列式，记作D=，简记作det（），其中为行列式D的（i,j）元。(p6)3. 余子式：在n阶行列式中，把（i，j）元所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元的余子式，记作。（p16）4. 代数余子式：记=，叫做（i，j）元的代数余子式。（p16）定理：1. 一个排列中个任意两个元素对换，排列改变奇偶性。（p8）推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。2. n阶行列式也可定义为其中t为行标排列的逆序数。（p9）3. 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 （p17）推论 行

3、列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 （p19）4. 如果线性方程组（1-1）的系数行列式,则（1-1）一定有解，且解是惟一的。4.如果线性方程组（1-1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。（1-1）（1-2）5. 如果齐次线性方程组（1-2）的系数行列式，则齐次线性方程组（1-2）没有非零解。5.如果齐次线性方程组（1-2）有非零解，则它的系数行列式必为零。性质：1. 行列式与它的转置行列式相等，即=。（p9）2. 互换行列式的两行（列），行列式变号。（p10）腾讯体育推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。（p10）3.

4、行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。（p10）推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。（p10）4. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。（p10）5. 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和。（p10）6. 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。（p11）7. 代数余子式： 或 其中 （p20）引理：1. 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素出（i,j）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即 （p16）克拉默法

5、则：（1-1）如果线性方程组（1-1）的系数行列式不等于零，即，那么，方程组（1-1）有唯一解其中是系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式。 第2章 矩阵及其运算定义：1. 矩阵：由个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作,这个数称为矩阵A的元素，简称为元，数位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i，j）元，以数为（i,j）元的矩阵可简记作（）或。矩阵A也记作。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于n 的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶矩阵A也记作。只

6、有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果A与B是通行矩阵，并且它们对应的元素相等，那么就称矩阵A与矩阵B相等。元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。（p29）2. 系数矩阵：n个变量与m个变量之间的关系式（2-1）表示一个从变量到变量的线性变换，其中为常数，线性变换的系数构成矩阵A=。系数所构成的矩阵称为系数矩阵。（p31）3. 单位矩阵：线性变换叫做恒等变换，它对应一个n阶方阵叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（主对角线）上的元素都是1，其

7、他元素都是0。即单位阵E的（i，j）元为。（p31）4. 对角矩阵：线性变换对应n阶方阵这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是0。这种方阵称为对角矩阵。简称对角阵。对角阵也记作。5. 矩阵的加法：设有两个矩阵和，那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B，规定为应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能才能进行加法运算。加法满足运算规律： （p33）6. 数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作或，规定为=数乘矩阵满足运算规律：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。（p33）7. 矩阵与矩阵相乘：设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中并把此乘积记作按此定义

8、，一个行矩阵与一个列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数，由此表明矩阵的（i，j）元就是A的第i行与B的第j列的乘积。必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。矩阵相乘满足的运算规律：注意：乘法不满足交换律。对于单位矩阵E，容易验证：或者简写成.可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1.8. 零矩阵：每个元素均为零的矩阵，记为O。9. 纯量阵（数量阵）：数k和单位阵的乘积为数量阵。10. 对角阵：非主对角元素均为零的矩阵称为对角阵。11. 上(下)三角阵:当i>(<)j时，=0的矩阵称为上（下）三角阵。12. 对称阵：满足条件

9、的矩阵A称为对称阵，。对称阵的性质：(i)若A为正交阵，则也是正交阵，且或（）；(ii)若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵。13. 反对称阵：满足条件的矩阵A称为反对称阵，14. 正交矩阵：满足或的矩阵称为正交矩阵。15. 转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作。转置矩阵的运算规律： . 16. 方阵的行列式：由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或detA.方阵行列式满足的运算规律：17. 伴随阵：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵，称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵。对任意n阶方阵A，都有伴随矩阵，且

10、有公式： 当时，有18. 共轭矩阵：当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为A的共轭矩阵。共轭矩阵满足的运算规律：19. 逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。，记作。 如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是惟一的。 若AB=E，则必有BA=E，且B惟一。A可逆的充要条件是。当时，A可逆，且. 若，则。 若A，B是同阶可逆矩阵，则20. 分块矩阵：对于行数和列数较高的矩阵A，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩

11、阵。分块矩阵满足的运算法则: 定理：1. 若矩阵A可逆，则。2. 若，则矩阵A可逆，且，其中为矩阵A的伴随阵。当，A称为奇异矩阵，否则成为非奇异矩阵。由上面两定理可知：A是可逆矩阵的充要条件是，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。推论：若或（），则第3章 矩阵的初等变换与线性方程组定义：1.矩阵的行初等变换：把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）。矩阵的初等行变换与与初等列变换，统称初等变换。2. 矩阵的等价：如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；如果矩阵A经

12、有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作。矩阵之间等价的性质：3. 行阶梯形矩阵：其特点是，可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。4. 行最简形矩阵：其特点是，非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。对于任何矩阵，总可经过有限次初等行变换把它变换为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。5. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变成一种形状更简单的矩阵，称为标准型。其特点是，标准型的左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0.6. 初等矩阵：由

13、单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质：（1） 初等矩阵的转置仍是初等矩阵；（2） 因，故初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是初等矩阵；（3） 若A是可逆矩阵，则A可以表示成一系列初等矩阵的乘积，即，其中是初等矩阵；（4） 对n阶矩阵A进行初行等变换，相当于将矩阵A左乘相应的初等矩阵，同样，对A进行初等列变换，相当于将居住呢A右乘相应的初等矩阵。7. k阶子式：在矩阵A中，任取k行与k列（），位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。矩阵A的k阶子式共有个。8. 矩阵的秩：设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且

14、所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A），并规定零矩阵的秩等于0.由于R（A）是A的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则；若A中所有t阶子式全为0，则。可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。矩阵的秩的性质：(1);(2);(3)若，则;(4)若P，Q可逆，则；(5),特别地，当为非零向量时，有。(6) ;(7) ;(8) 若，则。(9) 。(10)矩阵的秩常见结论：(1)设A为n阶矩阵，则.(2)k为实数，.(3)设n元齐次线性方程组与同解，.(4)与同解，。(5)伴随矩阵的秩：定理

15、：1. 设A与B为矩阵，那么： 推论：方阵A可逆的充分必要条件是。2. 若，则。推论：若可逆矩阵P，Q使PAQ=B，则。3. n元线性方程组(i)无解的充要条件；(ii)有惟一解的充要条件是；(iii)有无限多解的充要条件是，可以写出含n-r个参数的通解。4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是。5. 线性方程组有解的充要条件是。6. 矩阵方程有解的充要条件是。7. 设，则。第4章 向量组的线性相关性定义：1. 向量：n个有次序的数所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数称为第i个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向量。2. 线性组合：给定向

16、量组A：，对于任何一组实数，表达式称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。 给定向量组A:和向量b，如果存在一组数，使则向量b是向量A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。 向量b能由向量组A线性表示，也就是方程组有解。3. 向量组等价：设有两个向量组及，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。4. 线性相关：给定向量组，如果存在不全为零的数，使则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。5. 向量组的秩：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量，满足(i)向量组：线性无关；(ii)

17、向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，那么称向量组是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作。 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。6. 解向量：设有齐次线性方程组 （4-1）记 则（4-1）可以写成向量方程若为（4-1）的解，则称为方程组（4-1）的解向量，它也就是向量方程的解。解向量的性质：(1) 若为向量方程的解，则也是方程的解。(2) 若为方程的解，k为实数，则也是方程的解。(3) 设都是的解，则为对应的齐次线性方程组的解。(4) 设是方程的解，是方程的解，则仍是方程的解。6. 向量空

18、间：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。 所谓封闭，是指在集合V中可以进行向量的加法及乘数两种运算，具体地说，就是：7. 基：设V为向量空间，如果r个向量，且满足(i)线性无关；(ii)V中任一向量都可由线性表示，那么，向量组就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。如果向量空间V没有基，那么V的维数为0。0维向量空间只含一个零向量0。若把向量空间V看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，V的基就是向量组的最大无关组，V的维数就是向量组的秩。8. 坐标、自然基：如果在向量空间V中取定一个基，那

19、么V中任一向量x可惟一地表示为，数组称为向量在基中的坐标。 特别地，在n维向量空间中取单位坐标向量组为基，则以为分量的向量x，可表示为可见向量在基中的坐标就是该向量的分量，因此叫做中的自然基。定理：1. 向量b能由向量组A：线性表示的充要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。2. 向量组能由向量组线性表示的充要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，即。推论：向量组与向量组等价的充要条件是其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。2 向量组能由向量组线性表示的充要条件是3. 设向量组能由向量组线性表示，则。3 若向量组B能由向量组A线性表示，则。4. 向量组线性相关的充要条件是它条件所构成的矩阵的秩小于向量个数m;向量

20、组线性无关的充要条件是。5. (1)若向量组线性相关，则向量组也线性相关。反言之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关。 (2)m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。特别地，n+1个n维向量一定线性相关。 (3)设向量组线性相关，而向量组线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示是惟一的。6. 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。推论（最大无关组的等价定义）：设向量组是向量组A的一个部分组，且满足(i)向量组线性无关；(ii)向量组A的任一向量都能由向量组线性表示，那么向量组便是向量组A的一个最大无关向量组。7. 设矩阵A的秩，则n元齐次线

21、性方程组解集S的秩。第5章 相似矩阵及二次型定义：1. 内积：设有n维向量令 称为向量x与y的内积。内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当x与y都是列向量时，有。内积的性质(其中x,y,z为n维向量，为实数)：施瓦茨不等式.2. 长度：令称为n维向量x的长度（或范数）。当时，称x为单位向量。向量的长度的性质：(i)非负性 当时，；当时，；(ii)齐次性 ；(iii)三角不等式 。3. 规范正交基：设n维向量是向量空间V（）的一个基，如果两两相交，且都是单位向量，则称是V的一个规范正交基。4. 正交化：设是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基。这也就是要找一组两

22、两正交的单位向量，使与等价。这样一个问题，称为把这个基规范正交化。5. 施密特正交化：把正交化，取然后把它们单位化，即取：就是V的一个规范正交基。6. 正交变换：若P为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。设为正交变换，则有即经正交变换线段长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这是正交变换的优良性。7. 特征值、特征向量：设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量x是关系式成立，那么，这样的数称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量。上式也可写成，这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式即 上式是以为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征方程。其

23、左端|A-E|是的n次多项式，记作f()，称为矩阵A的特征多项式。显然，A的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范伟内横有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶矩阵A在复数范围内有n个特征值。8. 相似矩阵：设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。9. 对角化：对n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P，使为对角阵，这就称为把矩阵A对角化10. 二次型：含有n个变量的二次齐次函数称为二次型取，则，于是（5）式可写成 任给一个二次型，就惟一地确定一个对称阵；反之，任给一个对称阵，也可惟一地确定一个二次型。这样，二次型与对称阵之间存在一一对应关系。因此，我们把对称阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称阵A的二次型。对称阵A的秩就叫做二次型f的秩。11.标准型：对于二次型，寻求可逆的线性变换使二次型只含平方项，也就是能使这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）。如果标准型的系数只在1，-1，0三个数中取值，也就是能使则称上式为二次型的规范形。12. 合同：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使，则