立体几何垂直证明

1、类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：掌握几种模型等腰（等边）三角形中的中线菱形（正方形）的对角线互相垂直勾股定理中的三角形直角梯形利用相似或全等证明直角。例：在正方体 ABCD A1B1clD1中,E为CCi中点,求证： AO OE（2） AO 平面 BDEO为底面ABCD的中心,（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明）例1 在正四面体ABCDK求证：AC BD变式1如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是矩形,已知 AB 3, AD 2,PA 2, PD 2&, PAB 60 .证明：AD PB ;/PAC=/PBC=90。证明：ABXPC类型二：直线与平

2、面垂直证明变式2如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中 点，点F是BC的中点，将AAED, ADCF分另U沿DE ,DF折起,使A,C两点重合于A .，、一 , '求证：AD EF ;变式3如图，在三B P ABC中，/PAB是等边三角形,方法0利用线面垂直的判断定理例：在正方体ABCD AB1c1D1中，求证：AC 平面BDC1变式 1:如图：直三棱柱 ABCAiBiCi 中， AC=BC=AAi=2, /ACB=90 .E 为 BBi的中点，D点在AB上且DE=V3 .冬£求证：CD,平面 AiABBi;变式2:如图，在四面体 ABCD中，O、E分别是BD、B

3、C的中点，CA CB CD BD 2 , AB AD ,2.求证：AO 平面BCD ;变式3如图，在底面为直角梯形的四棱锥 AD II BC, ABC 90° , PA 平面 ABCD .PA 3, AD 2 , AB 2>/3, BC 61求证：BD 平面PAC2）利用面面垂直的性质定理例3:在三棱锥 P-ABC中，PA 底面ABC,面PAC 面PBC ,求证：BC 面PAC。变式1,在四棱锥P ABCD ,底面ABC此正方形，侧面PAB是等腰三角形，且面PAB 底面ABCD ,求证：BC 面PAB类型3:面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)例:如图，已知AB平面ACD

4、,DE 平面ACD, 4ACD为等边三角形，AD DE 2AB, F为CD的中点.P(1)求证：AF 平面BCE ; (2)求证：平面BCE 平面CDE ;AB AD, AC CD,ABC 60°, PA AB BCADB例2 如图，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD,E是PC的中点.(1)证明CD AE； 证明PD平面ABE；类型三：平面与平面垂直证明1 . AB是圆。的直径，PA垂直于圆O所在的平面,M是圆周上任意一点，AN PM,点N为垂足,求证：平面PAM 平面PBM2 .如图，在空间四边形 ABCD中，AB=BC , CD=DA ,E, F, G分别为CD, DA和对角线AC的中点。求证：平面BEF 平面BGD3 .在直平行六面体AC中，四边形ABCO菱形,Z DAB 60° , ACH BA O, A氏AA.(1)求证：CO/平面ABD；Afi(2)求证：平面 ABD，平面ACCA.4 .如下图，正方形ADEFf梯形ABC厮在的平面 互相