北京版高考数学分项汇编专题03导数含解析理

1、【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编 专题03导数(含解析)理1.【2021高考北京理第7题】直线l过抛物线C: x2=4y的核心且与y轴垂直，那么l与C所围成的图形的面积等于().A. 4 B , 2 C3【解析】试题分析:由题意可知，的方程为kL 如图，E点坐标为1),考点：定积分2.12005高考北京理第12题】过原点作曲线y ex的切线，那么切点的坐标为 ，切线的斜率 .【答案】(1,e) et解析】试题分析:役切点为i%," I，因为由导数的几何意义可知再强1%.一)处的切线的斜率为一，尹而-0所以靖=的=1,所以切点为11。J斜率为近一。x考点：导数的几何意义。3.

2、12020高考北京理第12题】如图，函数 f(x)的图象是折线段ABC ,其中A, B, C的坐标别离为(0,4), (2 0) (6 4),那么f(f(0)lim f(1一x) f(1).(用，数字作答，)x 0x【答案】2 -2【解析】试题分析由导教的几何意义知I】皿/U士乜9 g口Az考点：函数的图像，导数的几何意义。4.12020高考r北京理第13题】已知函数f (x) x2 cosx,关于 二上的任意X1, x2,有如下条件:2 2 x1x2 ； x2x2；xi刈其中能使f(xi) f(x2)恒成立的条件序号是【答案】K解析】试题分析；函数C8天显族是偶函数，其导数 y*=2xsin

3、s 在 O<x< 四时，显蝮也大于口,是增 函数，想象其图像，不难发现，X的取值离对称轴越远I函赧值就越大，满足这一点.当*=2/产 三时，均不成立.1 2 32考点：导数，函数的图像，奇偶性。5.12020高考北京理第11题】设f(x)是偶函数.，假设曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线的斜率为1,那么该曲线在(1,f( 1)处的切线的斜率为 【答案】1【解析】试题分析：取小了 = Y ,如图6.12005高考北京理第15题】（本小题共13分）已知函数 f（x）x3 3x2 9x a.（i）求f（x）的单调减区间；（n）假设f （x）在区间2, 2.上的最大值为20,求它

4、在该区间上的最小值【答案】解； （靠）=-3/ + 6芋+3.令丁亡。：解得工父- 1或尤33,所以函数/（工）的单调1递减区旬为一皿D,十8）.CII）因为丁（一2）= 8+12-1旧+口=2 ar了（2）=*+12+孺十&=22十以所以了"臼因为在（-L3上。） 0.所以0）在-L2单调谓噌:又由于/住）在-2,-1 上单调屋减因此/和-1）分别是丁在区间-Z 2上的最大值和最小值，于是有22十口 二 20,解得a - -2.故(乃二一/十+9工2因此1) = 1+3-9-2 = -7即函数在区间-Z 2上的最小值为7.12006高考北京理第16题】(本小题共13分)已知

5、函数f(x) ax3 bx2 cx在点x0处取得极大值5,其导函数y f'(x)的图象通过点(1,0), (2,0),如下图.求：(I) x0的值；(n) a,b,c 的值.【答案】解：(1)由导函被尸二尸(工)的图象可知，当宜三(一小1)时，y=/'W>0-当,w(i, 2)时，y =当 *三(5, 4工)时，1y = /以)>。，/以当其=1时，函数,0) =。/取得极大值.艮|1鼻口1 h二F(k) = 37+典十3依题I意有* /(l) = r(2) = 0. /(1)=5即甯Sad-2b c=0 . 12a+4b+c=5 a+b+c=5 解得 a=2，b=

6、9n c=128.12007高考北京理第19题】(本小题共13分)如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r ,短半轴 长为r ,打算将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底 CD的端点在椭圆上，记CD 2x,梯形面积为S.(I)求面积s以x为自变量的函数式，并写出其概念域；/22"yA1(II )求面积S的最大值.D 2r2r工高考考点】描画方程、函1数的解析式、导数的应用.K试贼解析】(I)依题意，以HB的中点。为原点建立直角坐标系。-飞(如图)，则点c的横坐标为，.点r的纵坐标1 1,I商足方程十上 -1。> 0),解得I=W】；-f<0 <

7、;.r <r) r* 3S =4 %)二1 = 乂"尸尸-储,其定义域为；*O < y< r：.(II)记,0) =4(支_尸)：y/).()< 工< 产，则,'(0 =g(x+打，_ 2工).今/'0二。| 得 x二因为当。< 工 <£ 时，f'(x) > 0 1 当 fcxE 产时，/x) < 0 ,'1%=B & E1-BI所以/ 士是丁氏)的最大值.因此，当工二±1时，S也取得最大值，最大值为I ;：”¥产.即梯形面积5的最大值为 坐产.工易错提醒】混淆

8、焦点在x轴和焦点在丫轴上的臃扇标淮方程，对/(XI -武“/)匕、/)求导计算错误.【备考提示】在知识的交汇点处命题，是近年高考试题的一大特点，本题涉及解析几何、函数、导致知识的综合应用，充分体现了这一特点. 一 2x b , 一一一 .9.12020高考北京理第18题】(本小题共13分)已知函数f(x) b ,求导函数f(x),并确信f(x)(x 1)2的单调区间.【答案】解；/（力二至二更%?处二9 （X-1/2x+2& - 2,二陵一。_江一叨（A-1）3'令/<工）=0,得了=8-1.当8-14 现力2时，_/"）的变化情况如下表！x （-cd,击- 1

9、） h -1 gTJ） （1,+co）/fW -0+-当b-1>1,即b>2时,尸的变牝情况如下表*天（一8，1） Q* 占-1）匕-1 0-1+oa）1（工）-4二；一所以，当be2时，函数在（叫3 1）上里调递遍，在31J）上里调递噜，在& + B）上单调递遍.当启:2时,函数/（力在（-00,1）上单调递潴，在0, b-调递增，在（6 1,十co）上单骑递减.2当a-1 = 1,即g=2时，/W = , 触函数f（X）在（b,1）上单调展减，在。，十8）上单调避激. x-110.12020高考北京理第18题】（本小题共13分）设函数 f（x） xekx（k 0）（i）

10、求曲线y f（x）在点（0, f（o）处的切线方程；（n）求函数f（x）的单调区间;(m)假设函数 f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围梏宓(1/ =i.l+乩/ J 0 i = l JQ = 0曲线尸=/(彳)在点(0 J (0)处的切法方程为y=K(II)由|工，三口4桁1小=0.得丈之一二|七mOl一k若比01则当工已一g,时, /1 xi <0 ,函数/1型单调弱减.当!，虫科)时，/r-0,函数/，口单调递增，( n . 一 .若也<。9则当KE -8,-时，/ i Jl i > 0 J函效，耳I单调图部I当kE -；,+ra)时，小kY0,函抽，hi

11、单凋递高(I1D由UI)知，若归>0,则当且仅当工三L k目时,跋/r-Th内单洞遂验若止<0,则当且仅当4之1, k即无之1时，函数 XI -LL内单调递增，.综上可知m函数_/51 内单调段增时. 4的取值范围是卜1,00,1.11. .【2020高考北京理第 18题】(13分)已知函数f(x)=ln(1 +x)-x+-x2( k:> 0). 2(1)当k=2时，求曲线y = f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间.【答案】解：当 片2时，“rXmd+jri-Hr , f W= -1+2JT. 1 + x3由于到D = hiZ, F (1)

12、 = -»2所以曲线尸“r)在点ftL)处的切线方程为l42=3 (lL，2艮 F1 3l2# 21112 2=6，-x(o + -1)=，/ (JT)= JrE ( 1, 十划一1 + r当 QO 时，F (jf) '= - -.1中工所以，在区ra(-LO)上，< M>O?在区间9，+8)上，F W<o.故FB)的单调潴增区间是(一，0)，单调递减区间是9, +8).当。4日1 时，由于° =0 得.*=01+ Xk-2r1-3-所以，在区同1(一 1,。)和(+)±- f (v)>0；在区闾 9，)±I(r) <

13、;0.tk故式6的单调建增区间是(一，。)和(匕上，+-L单调建撼区间是位， 就h当片1时，f (3二.1+x故式r)的单调递噌1区间是(-1, +8).当此>1 时，由 r1 (*)='(就 十 一1=(h 得用=- c(1, )» jt；=o. 1一万t1-?_ "一比所以,在区间(一L )和(0，+°°上，f (jt) >0j 在区间f，。)上，F (jt) <0»丈此故公瓶单调迷噌区间是:一1, +吟，单调避源区间是:匕上，gkJcx12.12020高考北京理第18题】已知函数f(x) (x k)2e'

14、.(1)求f(x)的单调区间；(2)假设x (0,、 一、1.),都有f (x)-,求k的取值范围。e【解析工(I)/令块，当年时，/.，的情况如E k小R(一叫一比)一七女伏收)尸+00+/W0所以，/Q)的单调曲增区间是(-8=附和体,+00)；单调谣遍区间是(一包上)，当上V。时，0)与尸5)的情况如下、x(,k)kf (x)0f(x)0(k, k)k(k,)+0-1 214k e1+1所以，f(x)的单调递减区间是(-00,)和(-总-K0)：单调用温区间是优心.11(II)当Q>0时t因为，(左+1)二中后 一,所以不会有Vxe (0,+o工丁(元)0当归 <。时，由(】

15、)知 甲c4p1付 1/W在(0.+8)上的最大值是/(德="所以优(0,十8)J6) < 上等价于，(防三 二工 解得M营营1一，.1 ,1 k 0.故当 x (0,), f(x)时，k的取值范围是,0。2e213.12021高考北京理第18题】(本小题共13分)已知函数 f(x) ax2 1 a 0 , g(x) x3 bx.(1)假设曲线y f(x)与曲线y g(x)在它们的交点1,c处具有公共切线，求 a, b的值;(2)当a2 4b时，求函数f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间，1上的最大值.【答案】解 1)由(1, C)为公共切点可得2以»=依

16、9;*3>9仅W) = 1k及=2妹烈工>=/+改，则汽工尸得+力,itj -3+hi.2a=3+b 又他=口”虱1)=】7，十1=1十八即“、代Q式可得；P'3.t = 3(2) Q 值'=4占，二设/工)=/MJ+g。：)=£； + 以：f ；4：£+1 则或工=3工:+MeJ令我1(»="解得；& 一，/一京二原函数在jg, -9单调递蝎 在JA -f|单调递减 在，3十口】上单调递憎、2 JL 2 fij 6)F若一 1W-,即。近2时，最大值/砥)=口一十？若一心3 即2。"陆 最大值为"

17、-q=1 20I. 2)若_良"时，即*6时，最大值为“-Q| = 1.综上所诙2当事总Un 2时n最大值为=/彳当q出1 2 , +00 1时，最大值为力,?) = 1.In x14.12021局考北东理第18题】(本小题共13分)设L为曲线C： y 在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C在直线L的,下方.【答案】解设力不二比二则=上也二AX所以F il)=L所以£的方程为尸l：1.（0令爪=L1 一门g，则除切点之.，曲缕。在直线_£的下方等价于屋KAulVjrAO,的口R,f . X3 - 1+lfi X式外眄足

18、，1）=6 且/ （jt） = 1-< （j）=z.X当OVjfUl时，yKO, In jtCO,所UA£ 5）之0,故式上）单调海减士当心T时，y1>0* In r>0,所以/* Cr）>0，故单调递增.厮以，G）>r（i）=o（Vjt>o, Ui.月以除W点之外，曲线c在直魏上的下方.15.12021高考北京理第18题】（本小题满.分13分）已知函数 f（x） xcosx sinx,x 0,-. 2（1）求证：f （x） 0 ；sin x（2）假设a b对x （0,一）恒成立，求a的最大值与b的最小值. x22【答案】（1）详见解析；（3）R的

19、最大值为士，3的最小值为L【解析】.一.XT,r a复E、 d一试题分析：（1）求_/f6），由判断出了（箝）to,得出函数在（“/：）上单调星温，从而/W</co）= o;（2）由于xe（o,），“吧£>值”等偷于门疝1工-防>0 2 “竺金<办”等价于 2 xx“sinH 3x40匕 令鼠丁=加k一二,，则=二心£=一士，Rt±4eMCh e >1 ； 0亡亡寸论，用导效法判断函数敌方=而的单调性，从而确定当】（竺对六。叵成立时的最大值 K2与S的最小值.试题解析；C1）由 1y （r）=片win t 得了'（刘）=cos

20、 r-xsin 工一 gsx = -7占也 x .因为在区间上/"） = r而工<01所以卜/（工）在区间0,楙上单调迎流，从而，（外之（0） = 0.(2)当工>0时，“个 二鼻"等价于"sin彳口无>0", *吗上“"皿工一人。?令 g(R =sin二一白工,即 3(元)：二c0s1一匚，jr当白M0时，g W > 0对任意HE (0,2)恒成立，当4之1时，因为对任意KE (0,三)，gf(x) = COS Jl-C <0 5所以g(x)在区间0,F上单调述调，从而 22g(t)父鼠0) = 0对任意x G

21、(0,§恒成立.当0 «亡父1时,存在唯一的与 E (0,-)庾得且，(%) = “£ % - 1!? = 0,VT日(外)、父(兀)在区间(0.)上的情况如下表：MX9%)演(瓦与gfW十0*)T7F因为冢工)在区间区凡上是噌函数，所以虱/)> g(o。=o,进一步窃冢工)>0对任意了。5)恒成立”丸 丸r2，当且仅当g(一) = 1 。之Q,即Q<of .227T2ju综上所述，当且仅当白工上时，且一。对任意工£(口:>同成立.当且仅当已生1时，g)E0对任意X21csm 回所以，若日感吧三金对JCEQ马叵成立，则工的最大值为

22、三与力的最小值1.X271考点：导数法求函数的单调性，恒成立、分类讨论16.12021高考北京，理18】已知函数f x lnS1 x(i)求曲线 y f x在点0, f 0 处的切线方程;3X(n)求证：当 x 0,1 时，fx 2 x 一;3(m)设实数k使得f x3对x 0, 1恒成立，求k的最大值.【答案】（i） 2x y 0, （n）证明观点析，r （出）k的最大值为2.【解析】试题分析:利用导数的几何意义，求出函皴在，=。处的函鼓值开导皴值，再用直线方程的点 斜式写出直绕方程；第二步要证明不等式f在工事口，h成立，可用作差法构造的数I J- IPFG） = In 士12% 4二），利用导数研究的载FGc）在区间（