导数重点难点归纳

1、导数重点难点归纳1.导数(导函数的简称)的定律：设X0是函数y f(x)定律域的一点，如果自变量X在X0处有增量X，贝U函数值y也引起相应的增量 y f (X0 x) f(Xo);比值 丄Jf(xo_x) f(X0)称为函数y f(X)在点xo到Xo x之间的平均变化率；如果极XX限lim丄lim竺°X) f(Xo)存在，则称函数y f(x)在点xo处可导，并把这个x 0 x x 0x极限叫做y f(x)在Xo处的导数，记作f'(Xo)或y'，即、_” y. f(XoX)f(Xo)f (xo) = limlimx0 xx0x注：X是增量，我们也称为“改变量”，因为 X

2、可正，可负，但不为零 已知函数y f(x)定律域为A，y f'(x)的定律域为B，则A与B关系为A B.2.函数y f (x)在点xo处连续与点xo处可导的关系：函数y f (x)在点xo处连续是y f(x)在点xo处可导的必要不充分条件可以证明，如果y f(x)在点xo处可导，那么y f (x)点xo处连续.事实上，令x x0x，则x x0相当于x 0 .f (xoX) f(xo)xx f (xo)lim f(xox) f(xo) nmx oxx omof(xo)f (xo) o f(xo)f (Xo).于是 lim f (x) lim f (x0x x0x 0x) limf(x x

3、o) f(Xo)f(Xo)x 0如果y f(x)点xo处连续，那么y f(x)在点xo处可导，是不成立的例：f(x) |x|在点xo o处连续，但在点xo o处不可导，因为 Li1，当x >x xo时，卫1 ;当x V o时，丄 1，故lim卫不存在.xxx o x注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数3. 导数的几何意义：函数y f (x)在点xo处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(xo, f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(xo,f(x)处的切线的斜率是f'(xo)，切线方程为 y y°f (x)(x X

4、o).4、几种常见的函数导数：c' o ( C为常数)I(sin x) cosx(In x)'1xx 'x(e ) e5. 求导数的四则运算法则：III(u v) u v y f1(x) f2 (x)IIIII(uv) vu v u (cv) c v cvn 'n 1 z、(x ) nx ( n R)I(cosx) sin x1(log a x) -lOga ex(ax) ax In aIIIIfn (x) yf1 (x) f2(X) . fn(x)cv' ( c为常数)vuv20)注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若

5、两个函数均不可导，则它 们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设f(x) 2sinx ， g(x) cosx ，则f(x),g(x)在x 0处均不可导，但它们 XX和 f (x) g(x) sinx cosx在 x 0处均可导. 6. 复合函数的求导法则： f x'( (x) f ' (u) '(x) 或 y' x y'u u 'x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 .7. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f'(x) >0,则 y f (x)为增函数；如果f'(x) V0

6、,则y f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f'(x)=0,则y f(x)为常数.注：f(x) 0是f(X)递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(，)上 并不是都有f (x) 0 ,有一个点例外即x=0时f (x) = 0 ,同样f (x) 0是f (x) 递减的充分非必要条件 .一般地，如果f (x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)， 那么f (x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.8.极值的判别方法：(极值是在X0附近所有的点，都有f(x) V f(X0),则f(X0)是函数f (x)的极大值，极小值同理)当函数f

7、 (x)在点X0处连续时， 如果在X。附近的左侧f '(X) > 0,右侧f '(X) V 0,那么f(X。)是极大值； 如果在X0附近的左侧f '(X) V 0,右侧f'(X) > 0,那么f(X0)是极小值.也就是说X0是极值点的充分条件是X0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0.此 外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的， 即有可能极大值比极小值小 (函数在某一点附近的 点不同) .注：若点X0是可导函数f(x)的极值点，贝U f '(X) =0.但反过来不一定成立.对于可

8、导函数，其一点X0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y f (x) X3 , x 0使f'(x)=0,但x 0不是极值点.例如：函数y f(x) |x|，在点x 0处不可导，但点x 0是函数的极小值点.9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上 对函数值进行比较 .注：函数的极值点一定有意义 .导数练习一、选择对的一项1.设函数f(x)在R上可导,其导函数f (x),且函数f(x)在x2处取得极小值,3.4.2.x个不同的公共点A.xC.xX20, yix2 0,yif (x)的图象与y g(x)的图象有且仅有两A(%,yJB(

9、X2,y2),则下列判断正确的是y2y22 f(x)= 一+l nxxA. x=为f(x)的极大值点2C. x=2为f(x)的极大值点设a>0,b>0,e是自然对数的底数A.B.C.D.设函数若 ea+2a=e+3b,则 a>b 若 ea+2a=e+3b,则 a<b 若 ea-2a=eb-3b,则 a>b 若 ea-2a=eb-3b,则 a<bB.D.B.D.xiX20, yiy20x=丄为f(x)2x=2为f(x)的极小值点的极小值点6 .已知 f (x) x3 6x2 9x abc, a b c ,且 f (a)f(b)f(c) 0.现给出如下结论: f

10、(0)f(1) 0; f(0) f(1) 0; f(0) f(3)0; f (0) f (3) 0.5.函数y1 2 x2In x的单调递减区间为()A (1,1B . (0,1C . 1,+ %)D. (0,+ x)其中正确结论的序号是A.B.C( )D.7.已知函数f(x);则yln(x 1) xf (x)的图像大致为8 .设 a>0, b>0.A.若 2a 2a 2b 3b ,则 a>bB.若 2a 2a 2b 3b,则 a<bC.若 2a 2a 2b 3b,则 a>bD.若 2a 2a 2b9.设函数f (x)在R上可导，其导函数为f (x),且函数y 的

11、图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B. 函数f(x)有极大值f( 2)和极小值f(1)C. 函数f (x)有极大值f(2)和极小值f ( 2)D. 函数f (x)有极大值f( 2)和极小值f(2)10 .设函数f (x) xex,则A.x1为f (x)的极大值点B .x1为f (x)的极小值点C.x 1为f (x)的极大值点D .x 1为f (x)的极小值点11 .设a 0且a 1 ,则“函数f(x) ax在R上是减函数”，是“函数g(x) (2 a)x3在R上是增函数”的A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数y x33x c的图像与x轴恰有两个公共点，则cA.2 或 2B.9或 3C.1 或 1D.3或、填空习题13.曲线 y x(3ln1)在点(1,1)处的切线方程为14. 曲线y x3 x 3在点1,3处的切线方程为三、简答题15. 已知函数f (x) ax3 bx c在x 2处取得极值为c 16(1) 求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在3,3上的最大值.16 .已知 a R,函数 f (x) 4x3 2ax a(1) 求f(x)的单调区间(2) 证明：当 OW x< 1 时,f(x)+2 a >0.17