第三章中值定理与导数的应用PPT课件

1、1第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理微分中值定理3.2 洛必达法则洛必达法则3.3 泰勒公式泰勒公式3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性3.5 函数的极限与最大值最小值函数的极限与最大值最小值3.6 函数图形的描绘函数图形的描绘23.1 微分中值定理微分中值定理一一 罗尔罗尔(Rolle)定理定理 费马引理费马引理. 0)() )()( )()( )()()(0000000 xfxfxfxfxfxUxxxUxxf那那么么或或，有有处处可可导导，如如果果对对任任意意的的并并且且在在内内有有定定义义，的的某某邻邻域域在在点点设设函函数

2、数3罗尔罗尔(Rolle)定理定理设函数 (x) 满足下列条件: (1) 在闭区间 a , b上连续； (2) 在开区间 (a, b)内可导； (3) (a) = (b)；0)( ),( fba，使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在4几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC5因 f(x) 在闭区间 a,b上连续，由最大值与最小值定理知， f(x) 在 a,b上必有最大值 M和最小值 m.下面分两种情形讨论:(1) 若 M = m, 则 (x)在 a , b上恒为常数. 从而. 0

3、)( ),( xfbax，恒恒有有对对于于故在 (a , b)内的每一点都可取作 . 定理显然成立.0yxy=Mab证明：证明：6)()( )2(bfafmM ，而而若若.)( ),( )( MfbaafMmM 使使得得，内内至至少少存存在在一一点点，从从而而在在区区间间设设点点的的数数值值，不不妨妨中中至至少少有有一一个个不不等等于于端端与与则则数数. 0)( f下下面面证证明明，从从而而由由费费马马引引理理可可知知，因因为为)()(, fxfbax . 0)( f.定定理理证证毕毕7注注. . 罗尔定理研究的是导函数方程罗尔定理研究的是导函数方程 的根的根的存在性问题的存在性问题. . 罗

4、尔定理是定性的结果罗尔定理是定性的结果, , 它只肯定它只肯定了至少存在一个了至少存在一个 , , 而不能确定而不能确定 的个数的个数, , 也没有也没有指出实际计算指出实际计算 的值的方法的值的方法. . 但对某些简单情形但对某些简单情形, , 可从方程中解出可从方程中解出 . .0)( xf8例例1 1.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证：存存在在性性 )1(. 3)1(1)0(1 , 0)(15)(5 ffxfxxxf，且且上上连连续续，在在闭闭区区间间，则则设设. 0)()1 , 0(00 xfx，使使得得由由介介值值定定理理，.1的的正

5、正实实根根即即为为方方程程的的小小于于9)( )2(反反证证法法唯唯一一性性. 0)( )1 , 0(1011 xfxxx，使使，假假设设另另有有. 0)(),(0)()()1 , 0(),(1 , 0,)( 1010101010 fxxxfxfxxxxxfxx，使使得得一一点点存存在在，根根据据罗罗尔尔定定理理，至至少少内内可可导导，且且上上连连续续，在在开开区区间间在在闭闭区区间间，则则不不妨妨设设. . )1 , 0( 0)1(5)(04为为唯唯一一实实根根所所以以矛矛盾盾，但但xxxxf 10324320(01)axbxcxabc例2 求证在，内至少有一个根。cbacxbxaxxF 2

6、34)(23设设证证明明：xcbacxbxaxxF)()(234 , 0)1()0(10)(,1 , 0)( FFxFCxF）内可导，）内可导，在（在（, 0)(),10( FRolle使使，定理，定理，据据. 0234:23 cbacba即即11二二 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立

7、. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成12ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧分析分析:).()(bfaf 条条件件中中与与罗罗尔尔定定理理相相差差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦线减去弦线曲线曲线., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线在在ba13作辅助函数作辅助函数).()()()()(

8、)(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证证14,),()(内可导内可导在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成

9、.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的拉格朗日中值公式的有限增量公式有限增量公式形式：形式：15.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf推论推论证明：设证明：设x1,x2是是(a, b)内任意两点，由内任意两点，由拉格朗日中值拉格朗日中值定理定理0)()()(1212 xxfxfxf( 在在x1,x2之间之间) )()(12xfxf 由由x1, x2的任意性知的任意性知: f (x)=常数常数, x(a

10、, b) . (设区间设区间I为为: (a,b)几何意义：斜率处处为几何意义：斜率处处为 0 的曲线的曲线, , 一定是平行于一定是平行于 x 轴的直线轴的直线. .16例例3 3).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx17例例4 4.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(理的条件理的条件上满足拉格朗日中值定上满

11、足拉格朗日中值定在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即18值值定定理理证证明明的的关关键键是是：显显然然，利利用用拉拉格格朗朗日日中中.)()(0)( ).()1(00CxfxCxfxfxf算算出出由由，最最后后特特殊殊取取点点，再再证证先先证证的的函函数数根根据据等等式式特特点点选选取取适适当当 .)()( )()()( ,)()2(证证出出不不等等式式，放放大大或或缩缩小小导导数数再再根根据据，便便有有，使使其其满满足足定定理理的

12、的条条件件应应区区间间及及对对当当的的函函数数根根据据不不等等式式特特点点选选取取适适 fbabaabfafbfbaxf 19三三 柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少有一点有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .20几何解释几何解释:)(1 F)(2 FoY )

13、()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在baX21, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf特别特别22例例5 5).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 ,0( ,2)()0()1()0()1( fggff).0()1(2)(fff 即即23小结小结