概率论与数理统计课后习题答案

1、概率论，数理统计习题详解习题1.1解答1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B, C分别表示“第一次出现正面”，“两次A(正，正)，(正，反)；B(正，正)，(反，反)C(正，正)，(正，反)，(反，正)2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A, B, C, D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB, A B, AC,BC , A B C D中的样本点。解：(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2),(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)

2、;A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2), (6,4),(6,6),(1,2),(2,1);AC ; BC(1,1),(2,2);A B C D(1,5), (2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)3. 以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事件:(6) ABC ;(7)ABC ABC ABC ABC或AB AC BC(8)ABC；(9)ABC4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2,A2A3,A1A2,A1A2,A1A2A3,A

3、1A2A2A3A1A3.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有 一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有 两人击中。5. 设事件A,B,C满足ABC,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：A B C, AB C , B AC.试写出样本空间及事件AB,C中的样本点。解:(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)(1)只订阅日报;(3)只订一种报;(2)只订日报和晚报;(4)正好订两种报；(5)至少订阅一种报；(7)至多订阅一种报；(9)三种报纸不全订阅(6)不订阅任何报；(8)三种报纸都订阅;解:(4)(1) ABC ;ABC

4、 ABC(2)ABC;(3) ABC(5) ABC;ABC ABC;2解：如图:ABCABC ABCABC ABCABC ABC ABC;AB CABC C;B ACABC ABCABCBA ABCBC ABC6.若事件A,B,C满足AC B C,试问A B是否成立？举例说明解：不-定成立。例如：A 3,4,5 , B3 , C 4,5 ,那么，A C B C，但A B。7.对于事件A,B,C， 试问A (B C) (A B) C是否成立？举例说明 解： 不一定成立。 例如：A 3,4,5 ,B 4,5,6 , C 6,7 ,那么A (B C) 3 ,但是(A B) C 3,6,7。8 .设P

5、(A)3，P(B)1专，试就以下三种情况分别求P( BA)(1)AB(2 )A B,(3 )P(AB) 8.解:(1) P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)1_ ；2(2)P(BA)P(BA)P(B)1P(A)天;6113(3)P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)- 2 8 839.已知P(A) P(B) P(C) 4, P(AC) P(BC)命，P(AB) 0求事件A, B,C全不发生的概率。解:P(ABC)P A B C 1P(A B C)1P(A) P(B)P(C) P(AB)P(AC) P( BC) P(ABC)111c 11 c31004 4 416 16810. 每个路口有

6、红、 绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车 经 过 三 个 路 口 ， 试 求 下 列 事 件 的 概 率 ：A“ 三 个 都 是 红 灯 ” = “ 全 红 ” ；B“全绿”；C“全黄”；D“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相 同”；G“ 颜 色全不相同”；H“颜色不全相同”。解:P(A)P(B) P(C)1 111P(D)P(E)22 283 33 27 33 327P(F)1127 2712719；P(G)R33!3329；P(H)1 P(F)11 89 9.11 .设一批产品共100件，其中 98件正品，2 件次品，从中任意抽取3 件(分三种情况：一次拿 3 件；每

7、次拿 1件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3 次)，试求：(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率；(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件:P斜：2.0588；(2) PC2C98C2C980.0594；Cwn100每次拿一件，取后放回，拿3次：=100(1) P9!- 3 0.0576；1003D d983(2) P 1310030.0588 ；每次拿一件，取后不放回，拿3次：2 98 97 (1)P2 98 973100 99 980.0588；98 97 96(2) P 1-0.0594100 99 9812.从0,1,2,9中任意选出 3 个不同的数

8、字，试求下列事件的概率:A三个数字中不含0与5 ,A2三个数字中不含0或5o4(1)6 人中至少有 1人生日在 10月份;(2)6 人中恰有 4 人生日在 10月份;15.从一副扑克牌(52 张)任取 3 张(不重复)，计算取出的 3 张牌中至少有 2张花色相同的概率。解：1 3 1 2 1一340.602或P 1C532解:P(A1)P(A2)箜勇2C3CO715；勺14或PW1乌.15Ci3o141513 .从0,1,2,9中任意选出 4个不同的数字，计算它们能组成一个4 位偶数的概率。解：P5P934P；41P109014.一个宿舍中住有6 位同学，计算下列事件的概率:(3)解：6 人中

9、恰有4人生日在同一月份;(1) P0.41；(3) P126CC；1120.0073(2) PC：1121260.00061 ;126-3-1114 13 13 130.602C525而由题设P(B| A) P(B| A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)习题1.2解答1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 是三等品，求取到的是一等品的概率。解：60% , 30%、10%,从中任取一件，结果不令A“取到的是i等品”，i 1,2,3时，系统 I 和 II有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I失灵的条件下，系统 II仍有效 的概率为 0.85,求(1)两种报警系统 I和 II都有效的

10、概率；(2)系统 II失灵而系统 I有效的概率；(3)在系统 II失灵的条件下，系统 I仍有效的概率。解：令A“系统(I )有效” ，B系统(n)有效” 则P(A) 0.92, P(B) 0.93, P(B | A) 0.85(1)P(AB)P(BAB)P(B)P(AB)P(B) P(A)P(B | A) 0.93 (1 0.92) 0.85 0.862(2)P(BA)P(AAB)P(A)P(AB)0.92 0.862 0.058(3)P(A|B)四 冬0.8286P(B) 1 0.934.设0 P(A)1 ,证明事件A与B独立的充要条件是P(B| A) P(B | A)证：:A 与B独立，A

11、与B也独立。P(B|A)P(B|A) 0P(A)P(B), P(B|A) P(B)P(B|A) _10 P(A) 1又P(B| A)P(AB)- P(AB),P(B| A) P(A)P(A)即1 P(A)P(AB) P(A)P(B) P(AB)P(AB) P(A)P(B)，故A与B独立。P(AiA3)P(A四P(A)p(A1)P(A3)0.6 209 32.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取2 件，已知所取 2 件产品中有 1 件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令A“两件中至少有一件不合格”，BC：2P(BC101 p(A) rc?1c2c10在矿内同时装有两种报警系统P(B

12、|A)冬P(A)3.为了防止意外“两件都不合格”15I和 II O 两种报警系统单独使用65. 设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是1，求P(A)和P(B).4 一一1.解：P(AB) P(AB),又A与B独立41P(AB) P(A)P(B) 1 P(A)P(B)-41P(AB) P(A)P(B) P(A)1 P(B)4P(A) P(B),P(A) P2(A)141即P(A) P(B) - o26. 证明若P(A)0,P(B)0,则有(1)当A与B独立时，A与B相容；(2)当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P(A) 0,P(B) 0(1)因为A与B独立，所以

13、P(AB) P(A)P(B) 0 ,A与B相容。(2)因为P(AB) 0，而P(A)P(B) 0 ,P(AB) P(A)P(B),A与B不独立。7. 已知事件A, B, C相互独立，求证A B与C也独立。证明：因为A、B、C相互独立，P( A B) C P(AC BC)P(AC) P(BC) P(ABC)P(A)P(C) P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)P(A) P(B) P(AB)P(C) P(A B)P(C)A B与C独立。8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为 0.7, 0.8和 0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。

14、解：令A,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么P(A1) 0.7,P(A2) 0.8,P(A3) 0.9令B表示最多有一台机床需要工人照顾，7那么P(B) P(A1A2A3瓦A2A3AA2A3A1A2A3)P(AAA3)P(AAA3)PSA2A3) PSA2A3)0.7 0.8 0.9 0.3 0.8 0.9 0.7 0.2 0.8 0.7 0.8 0.1 0.9029.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0 p 1),(称为元件的可 靠性)，假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。P(Ai) P,A1,A2, A2n相互独立。那么P(A) PS1

15、A2An) (An 1An 2A?n)(1f 2Cn)2nP(A)i 1n)2)(AnA2n)P(A)P(Ai)注：利用第 7题的方法可以证P)n明(AiAn i)与(AjAn j)i j时独立。10.10张奖券中含有 4 张中奖的奖券，每人购买1张，求(1)前三人中恰有一人中奖的概率；(2)第二人中奖的概率。解：令Ai“第i个人中奖”，i 1,2,3 P(A1A2A3A1A2A3AA2A3)系统 IP (A1A2An)Pn2nP(A) P(A)i 1i n12PnP2nPn(2 PP(B) P(A1An1)(A2An nP(A An i)i 1 nP(A) P(An i)i 1n2P P2

16、Pn(2i 1系统 II解：令A“系统(1)正常工作”B“系统(n)正常工作A“第i个元件正常工作”，i 1,2, ,2n8P(AA2A3) P(A2A3) P(A2A3)P(A)P(21 A)P(A3|AIA)P(瓦)P(A2|A)P(A3|AA2)P(A)P(A2|瓦)P(A3|瓦A2)46 565 464 51109 8109 8109 82或P12C4C61C3C102(2)P(A2)P(AI)P(A2I A1)P(AI)P(A2I角)436 42109 109511 .在肝癌诊断中,有种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将 10%的人误诊。根据以往的记录，每

17、 10 000人中有 4 人患有肝癌,试求:(1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；(2)已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。解：令B被检验者患有肝癌”，A“用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，P(A| B) 0.95,P(A|B) 0.10, P(B) 0.0004P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.00040.950.99960.10.10034P(B)P(A|B)-0.00380.0004 0.95 0.9996 0.112 . 一大批产品的优质品率为 30%，每次任取 1 件，连续抽取 5 次，计算下列事 件的概率：(1)取到的 5 件产

18、品中恰有 2 件是优质品;(2)在取到的 5 件产品中已发现有 1 件是优质品，这 5 件中恰有 2 件是优质品解：令Bi“5件中有i件优质品”，i 0,1,2,3,4,5(1) P(B2) C；(0.3)2(0.7)35_ P(B2I Bi)P(B2|BO)(2)P(B|A)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.0004 0.950.3087P(BP(BO)91i 10.3087-50.3711 (0.7)P(B2)1P(BO)1013 .每箱产品有 10件，其次品数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中任取件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，

19、1 件正品被误检是次品的概率是 2% ,1 件次品被误判是正品的概率是5% ,试计算：(1)抽取的 1 件产品为正品的概率；(2)该箱产品通过验收的概率。解：令A“抽取一件产品为正品”Ai“箱中有i件次品”，i 0,1,2B3号箱产品通过验收”2(1)P(A) P(A)P(A|A)110.9i 0i 03 _10(2)P(B) P(A)P(B| A) P(A)P(B | A)0.9 0.98 0.1 0.05 0.88714.假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n

20、(n 2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率;(2)其中恰有 2 件不能出厂的概率;(3)其中至少有 2 件不能出厂的概率。解：令A“仪器需进一步调试”A“仪器能直接出厂”显然B A AB,那么P(A) 0.3, P(B | A) 0.8P(AB) PA)P(B | A) 0.3所以P(B) P(A) P(AB) 0.7 0.24 0.94令Bi“ n件中恰有i件仪器能出厂”，i 0,1, n的概率:(1)直到第 r 次才成功；(2)第r次成功之前恰失败k次；(3)在n次中取得r(1 r n)次成功;B“仪器能出厂”；AB“仪器经调试后能出厂”0.8 0.24

21、(1)(2)(3)P(Bn) (0.94)nP(Bn2) C：2(0.94)n 2(0.06)2n2nP(Bk) 1 P(Bm) P(Bn)15 .进行一系咧独立试验，每次试验成功的概率均为Cn2(0.94)n 2(0.06)21_ n1 _ n1 Cn 0.06(0.94)(0.94)p,试求以下事件111(4)直到第n次才取得r(1 r n)次成功。解:(1)PP(1p)r1(2)PCr 1Cr k1Pr(1 p)k(3)P_ rCnPrn r(1 p)(4 )PC；rn rp (1 p)16 ,对飞机进行 3 次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为 0.5,第三次为 0.7.击中

22、飞机一次而飞机被击落的概率为0.2,击中飞机二次而飞机被击落的概率为 0.6,若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解：令Ai“恰有i次击中飞机”，i 0,1,2,3B“飞机被击落”显然：P(A0)(1 0.4)(1 0.5)(1 0.7) 0.09P(A) 0.4 (1 0.5) (1 0.7) (1 0.4) 0.5 (1 0.7) (1 0.4) (1 0.5) 0.7 0.36P(A2) 0.40.5(1 0.7) 0.4 (10.5) 0.7(1 0.4) 0.5 0.70.41PW 0.40.50.7 0.14而P(B | A0)0, P(B|AJ 0.2,P

23、(B|A2)0.6 , P(B| A3) 1所以P(Ai)P(B | Ai) 0.458; P(B) 1P(B)30P(B) 1 0.458 0.54212习题1.3解答1.设X为随机变量，且P(X k)JL(k 1,2,)，则(1)判断上面的式子是否为X的概率分布；P(X为偶数)和P(X 5).42k(2)若是，试求解：令P(Xk)显然pk11pkkk 1k 12所以P(Xk)(2) P(X为偶数Pk1,2,P(X 5)121142kp2kPk1,2,为一概率分布。22k125121414P(Xk)16 Ckk!e (k1,2,),且 求常数C.kk解:c e1 ,而e 1k 1k!k 0k

24、!0c 1 e.11,即c (1 e )0!2.设随机变量 X 的概率分布为设一次试验成功的概率为P(0 P1),不断进行重复试验，直到首次成功X的概率分布。3.为止。用随机变量 X 表示试验的次数，求解：P(X k) p(1 p)k1,k 1,2,4.设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1 ,当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求(1)X的概率分布；(2)P(X 5)解:(1)P(Xk) (1 p)kp (0.9)k0.1,k(2)P(X5)P(Xk)(0.9)kk 5O0,1,2,0.1 (0.9)55. 一张考卷上有 5 道选择题，每道题

25、列出 4 个可能答案，其中有 1 个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？1314的独立重复试验O查表得N 47.设随机变量X服从参数为的 Poisson(泊松)分布,9.在长度为的时间间隔内， 某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)，求解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为p入1所以这是一个n 5,p -4没有印刷错误的概率。12解：P(X 1)P(X2),即一e 1!2!P (X0)2e2、4P (e )8e8.本书上,设书籍上每页的印刷错误的个数X服从有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验3.05

26、15 _C5(4)(、)414P(X 4) C5( )/446.为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为 0.01 ,各台设备工作情况相互独立。(1)若由 1 人负责维修 20 台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；(2)设有设备 100台，1台发生故障由 1 人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01?解：(1)1 (0.99)20(2)n 100, np64P(X N 1)20 0.01 (0.99)190.0175(按Poisson(泊松)分布近似)100 0.01 1(按Poisson(泊松)

27、分布近似)100100kk100 kC100(0.01)(0.99)k N 1k 10.011k!解：P(X 0)P(X1) 1 P(X1 2(2)P(X0一e0!1)1ln 221).12P(X 0)1 (1 ln 2)2In 2P(X 1)Poisson(泊松)分布。经统计发现在某4 页，每页上都(1)15(1)某一天从中午 12时至下午 3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午 12时至下午 5时收到 1 次紧急呼救的概率；9.在长度为 t 的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X 服从参数为*的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计).求(1)某一天

28、从中午 12时至下午 3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午 12时至下午 5时收到 1 次紧急呼救的概率；16试求(1)a；(2) Y X21的概率分布。解：,八1(1)2a 3a a a 2a 1101 a o10(2)试求：(1) t 的值；(2) X的概率密度；(3)P( 2 X 2).解：11(1)一( t) 0.5 - 0.5 3 122t 1解:2p(x0)52p(x1)51 P(X 0) 1 e wX-2-10123p2a1103aaa2a的概率分布为:10.已知XY1038P_3-_3-10510511.设连续型随机变量X的概率密度曲线如图1.3.8 所示.f (x)

29、 A0.5图 1.3.8172311X -2211x -62x 1,0)x 0,3)其它解：令f(x)dx6).a即sin xdx 1013.乘以什么常数将使x变成概率密度函数？解:(3) P ( 2 X2)12.设连续型随机变量11(x )dx122X的概率密度为sinx, 0,f(x)其他9dx1112cosx1,即cos a0,a2sin xdxcosx |1 2*6、32解：令x2cexdx(x 2)21e4dx14.随机变量X N(,f(x)1e6试求2；若已知Cf (x)dxf (x)dx，求C.f(x)1-e6x24x 46(x 2)22( 3)223(2) f (x)试确定常数

30、a并求P(X18若f(x)dx f (x)dx ,由正态分布的对称性c可知c 2.15.设连续型随机变量X的概率密度为2x, 0 x 1 f (x) 0,其他16.设随机变量X服从1,5上的均匀分布，试求P(x1X x2).如果(1)XI1 x25 ;(2) 1XI5x2.解：X的概率密度为1f(x)4,1 x 50 ,其他x211(1)P(XIX x2)dx(x21)I44511(2)P(XIX x2)-dx -(5XI)/417.设顾客排队等待服务的时间X(以分计)服从1的指数分布。某顾客等5待服务,若超过 10分钟,他就离开。他一个月要去等待服务5 次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开

31、的次数，试求Y的概率分布和P(Y 1).解：1P(X 10) 1 P(X 10) 1 11102e5 eP(Y k)C；(e2)k(1 e2)5k,k0,1,2,3,4,52 5_-P(Y 1) 1 (1 e )0.5167以Y表示对X的三次独立重复试验中“X1 ,2出现的次数，试求概率P(Y 2). _1解：P(X -)P(Y 2)12xdx -o4C2(1)2(2)C3()449-O6419F(x)曲线：F(x)2.设连续型随机变量X的分布函数为0, X 1试求：(1)X的概率分布；(2)P(X 2| X 1).解：(1)X 113pT04 04_02(2) P(X 2|XP(X 1)2P

32、(X 1)3习题1.4解答1.P(X解:已知随机变量X3) 0.5 ,试求的概率分布为P(X 1)X的分布函数；P(0.50.2 , P(X 2) 0.3,X 2)；画出F(x)的曲线。F(x)0.20.5,1,2P(0.5X 2) 0.5F(x)0.4,0.8,1 X 1 1 x3 x 320X01232754368p1251251251255.设连续型随机变量X的分布函数为2xBe0,xx00F(x)A试求：(1) A, B的值；(2) P( 1X1)；(3)概率密度函数f (x)解:(1)F( ) limx(A Be2x)1A 1又lim (A Be2xx 0)F(0) 0BA10,x

33、027,0 x 1125、81(2) F(x),1x 2125117,2x 31251,x 34.试求习题 1.3中第11 题X的分布函数，并画出解：F (x)的曲线。0 x11 211xx 1x 0424121c xX0 x 312241x3F(x)214(1)4(2) P( 1 X 1)F(1) F( 1) 1 e(3)2xf(x) F(x)。6.0设X为连续型随机变量，其分布函数为a,F(x) bxln x cxd,1;e;e.试确定F (x)中的a, b,c,d的值。解：F( ) 0a 1又F( ) 1 d1又lim (bxln x cxx11) a 0c 1又lim (bxln x xx e1) d 1be e17.设随机变量X的概率密度函数为f(x)和P(X 1).解:a(1 x厂dx2)即arctanx |F(x)11+一arctanx, 21)11a(1试确定a的值并求F(x)?dt(1 t2)P(|X | 1)F(1) F(11 (_ arctan1)arctan(1)228.假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数