第1章 优化设计概述

1、第七章多目标优化方法第七章多目标优化方法第四章第四章 无约束优化方法无约束优化方法第一章第一章 优化设计概述优化设计概述 第二章第二章 优化设计基础优化设计基础第三章第三章 一维搜索方法一维搜索方法第五章第五章 线线 性性 规规 划划 第六章第六章 约束优化方法约束优化方法 第八章第八章 优化设计实例优化设计实例 第一章 绪 论 1.1 引 言 1.4 优化设计分类 1.2 优化设计数学模型 1.3 优化设计三大要素 1.5 优化设计迭代算法生产甲种产品每件需使用材料生产甲种产品每件需使用材料9kg9kg、3 3个工时、个工时、4kw4kw电，获利电，获利润润6060元。生产乙种产品每件需用材

2、料元。生产乙种产品每件需用材料4kg4kg、1010个工时、个工时、5kw5kw电，可获利电，可获利120120元。若每天能供应材料元。若每天能供应材料360kg360kg，有，有300300个工时，个工时，能供能供200kw200kw电。试确定两种产品每天的产量，使每天可能获电。试确定两种产品每天的产量，使每天可能获得的得的利润最大利润最大？ 1212( ,)60120f x xxx112()94360gXxx分析：分析：每天生产的每天生产的分别为分别为x1 1, , x2 2件件 1.1 1.1 引引 言言（工时约束）（工时约束）（电力约束）（电力约束）（材料约束）（材料约束）( (利润最

3、大利润最大) )212()310300gXxx312()45200gXxxmax 1.1 1.1 引引 言言一一. . 优化优化( (Optimum) )定义：定义：在规定的范围内（或在规定的范围内（或条件下），寻找给定函数取条件下），寻找给定函数取得的最大值（或最小值）的得的最大值（或最小值）的条件。条件。目的：目的：为了在完成某一任务为了在完成某一任务时所作的努力最少、付出最时所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果小，而使其收益最大、效果最好。最好。 X0X* f(X*)f(X) 传统设计：传统设计：可行解可行解 优化设计：优化设计：最优解最优解。 1.1 1.1 引引 言言 二二

4、. .传统设计与优化设计的区别传统设计与优化设计的区别方案设计方案设计详细设计详细设计制造样机制造样机测试评估，性能，质量测试评估，性能，质量可否通过？可否通过？传传 统统 设设 计计不通过不通过投投 产产通过通过方案设计方案设计建模评估建模评估详细设计详细设计实验验证实验验证优优 化化 设设 计计改进改进投产投产三三. . 优化设计的发展优化设计的发展经典优化设计经典优化设计: :2020世纪世纪4040年代起，数学规划论和计年代起，数学规划论和计算机技术的发展使最优化设计计算成为可能。算机技术的发展使最优化设计计算成为可能。 优化设计从无约束优化设计从无约束有约束优化问题；连续变有约束优化

5、问题；连续变量量离散变量；确定型离散变量；确定型随机型模型；单目标优化随机型模型；单目标优化多目标优化。多目标优化。古典优化思想古典优化思想: :1717世纪发明微积分中的极值问题。世纪发明微积分中的极值问题。现代优化设计：现代优化设计：模拟退火算法、遗传算法、人工神模拟退火算法、遗传算法、人工神经网络算法、蚁群优化算法等。经网络算法、蚁群优化算法等。 从狭义优化设计（零部件参数）转向广义优化设从狭义优化设计（零部件参数）转向广义优化设计（面向产品全系统、设计全过程、全寿命周期）。计（面向产品全系统、设计全过程、全寿命周期）。例如例如, ,针对涉及多领域复杂系统的多学科设计优化。针对涉及多领域

6、复杂系统的多学科设计优化。 1.1 1.1 引引 言言1.21.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型一一. . 优化设计方法解决实际问题的步骤优化设计方法解决实际问题的步骤 1. 1. 分析分析实际问题，实际问题，建立建立优化设计的数学模型；优化设计的数学模型； 分析：分析： 设计的要求（设计的要求（目标、准则目标、准则）；）； 设计的限制（设计的限制（约束约束）条件；）条件； 设计的参数，确定设计设计的参数，确定设计变量变量。 建立：优化设计方法相应的建立：优化设计方法相应的数学模型数学模型。 2. 2. 分析数学模型的类型，选择求解方法（分析数学模型的类型，选择求解方法（优化算法优化算

7、法）。）。 3. 3. 编程上机求数学模型的最优解，并对计算的结果编程上机求数学模型的最优解，并对计算的结果 进行评价分析进行评价分析, , 最终确定是否选用此次计算的解。最终确定是否选用此次计算的解。1.21.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型例：轴的一端作用载荷例：轴的一端作用载荷 F=10000N，扭矩，扭矩 T=100Nm；轴长；轴长不得小于不得小于8cm；材料的许用弯曲应力；材料的许用弯曲应力 w=120MPa，许，许用扭剪应力用扭剪应力 = 80MPa，许用挠度，许用挠度 f = 0.01cm；密度；密度 = 7.8t /m，弹性模量，弹性模量E=2105MPa。 分析：分析

8、：是轴的质量最轻是轴的质量最轻:Q min. 要求：要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量最轻。设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量最轻。 限制：限制：弯曲强度：弯曲强度：max w 扭转强度：扭转强度： 刚刚 度：度： f f 结构尺寸：结构尺寸： l 8 d 0lFdT1.21.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 目标函数目标函数 Q = (d2 l)/4 min. 约束函数约束函数 max = Fl / ( 0.1d3 )w = T / ( 0.2d3 ) f = 64 Fl3 / ( 3E d 4 ) f l 8 d 0整理得：整理得： X =x1,x2 T = d

9、,l T min. f(x)= 0. 785 x12x2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 012 ,TnXx xx12()( ,)nf Xf x xx()0 (1,2,)ugXum()0 (1,2,)vh Xpvn优化设计数学模型统一形式优化设计数学模型统一形式：1.21.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型一个完整的规格化的一个完整的规格化的包含有包含有设计变量设计变量 X；目标函数目标函数 ；约束条件约束条件 和和 。它

10、们又被称为：它们又被称为：。当涉及问题要当涉及问题要目标函数时，只要将式中目标函数时，只要将式中改写为改写为 f (X)即可。即可。同样，当同样，当不等式约束不等式约束为：为：“” 时，只要将不等式时，只要将不等式两端同乘以两端同乘以“1”，即可得到，即可得到 “” 的一般形式。的一般形式。 ( )f X()0 ugX ( )0 vh X 1.21.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型1.3 1.3 优化设计的三大要素优化设计的三大要素一一. .设计变量：设计变量： 设计变量设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的量。：在优化设计过程中是变化的，需要优选的量。 优化设计问题有优化设计

11、问题有 n 个设计变量，用个设计变量，用 xi表示表示 (i = 1, 2, , n) 。设计向量设计向量：用：用 X =x1, x2 , , xnT 表示，表示， 是定义在是定义在 n 维欧氏空间中的一个向量。维欧氏空间中的一个向量。设计参数设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。1.3 1.3 优化设计的三大要素优化设计的三大要素设计点设计点: X(k)（x1(k), x2 (k), , xn(k)）：）： 例：右图三维空间中例：右图三维空间中第第1设计点：设计点：X(1) = x1(1), x2(1), x3(1)T第第2设计点：设计点

12、：X(2) = x1(2), x2(2), x3(2)T 代表设计空间中的一个点，也代表第代表设计空间中的一个点，也代表第 k 个设计个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。X(1) X(2) X(1) x1x2x30n=2: X=x1, x2T 是二维设计向量；是二维设计向量；n=3: X=x1, x2, x3T 为三维设计向量，设计变量为三维设计向量，设计变量x1, x2, x3 组成一个三维空间；组成一个三维空间；n3: 设计空间是一个想象的超越空间，称设计空间是一个想象的超越空间，称 n 维实属空间。维实属空间。 1.3 1.3 优化设

13、计的三大要素优化设计的三大要素x1(k)x1X(k)x2(k)x20 x1(k)x1X(k)x2(k)x20 x3(k)x3在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散型量，则称型量，则称离散设计变量离散设计变量，如齿轮的齿数、模数。，如齿轮的齿数、模数。设计变量的设计变量的个数个数，称为，称为维数维数，它决定了优化问题的，它决定了优化问题的 大小范围大小范围： n110 小型优化问题小型优化问题 ； n1150 中型优化问题；中型优化问题； n 50 大型优化问题。大型优化问题。设计变量设计变量可分为可分为连续变量连续变量和和离散变量离散变量。1.

14、3 1.3 优化设计的三大要素优化设计的三大要素1.3 1.3 优化设计的三大要素优化设计的三大要素设计约束设计约束：设计变量值：设计变量值(设计点设计点)的选择不仅要使目标函数的选择不仅要使目标函数 达到最优值，同时还会受一定的条件限制，这达到最优值，同时还会受一定的条件限制，这 些制约条件称设计约束。些制约条件称设计约束。 不等式约束：不等式约束： gu(X) 0 u = 1, 2, , m 等等 式式 约约 束：束：hv(X) = 0 v = 1, 2 , , p (p n )例：有三个不等式约束例：有三个不等式约束 g1(X) = - x1 0 g2(X) = - x2 0 g3(X)

15、 = x12 + x22 - 1 0 再加一个等式约束再加一个等式约束 h(X) = x1- x2 = 0二二. .约束函数约束函数h(X) = 0 x1x2g1(X) = 0g2(X) = 0g3(X) = 00不等式约束不等式约束将将设计空间设计空间划分为划分为两部分两部分： 一部分一部分 ：满足约束，即满足约束，即 g j (X)0；另一部分：另一部分：则不满足约束，即则不满足约束，即 g j (X)0。故将故将该分界线该分界线或分界面称为或分界面称为约束边界约束边界。等式约束等式约束本身也是约束边界，此时只有约束边界上的点满本身也是约束边界，此时只有约束边界上的点满足约束，边界两边的所

16、有部分都不满足约束。足约束，边界两边的所有部分都不满足约束。1.3 1.3 优化设计的三大要素优化设计的三大要素g(X) = 0g(X) 0g(X) 0 x1x20h(X) = 0h(X) 0 x1x20h(X) 01.3 1.3 优化设计的三大要素优化设计的三大要素可行设计点可行设计点：可行域内任意一点称为可行设计点，代表：可行域内任意一点称为可行设计点，代表 一个可行方案。一个可行方案。极限设计点：极限设计点：在约束面上的点称为极限设计点。在约束面上的点称为极限设计点。 非可行设计点非可行设计点: 在可行域外的点称为非可行设计点，代表不在可行域外的点称为非可行设计点，代表不 可采用的设计方

17、案。可采用的设计方案。D Dx1x2g1(X) = 0g2(X) = 0g3(X) = 001.3 1.3 优化设计的三大要素优化设计的三大要素目标函数目标函数：优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组：优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组 最优解的过程。需要一个最优解的过程。需要一个准则准则来评价当前设计来评价当前设计 点（解）的最优性。点（解）的最优性。 f(X) = f(x1, x2 , , xn )多目标函数多目标函数：由于评价准则的：由于评价准则的非唯一性非唯一性，目标函数为多个，目标函数为多个 时称为多目标函数。时称为多目标函数。 f(X) = f1(X), f2(X), ,

18、fq(X)三三. . 目标函数目标函数1.3 1.3 优化设计的三大要素优化设计的三大要素说明说明： f(X)必须是必须是X的函数，应随设计点的变化的函数，应随设计点的变化 f(X)的值的值 上升、下降；上升、下降； f(X)应该是实函数，是可计算的；应该是实函数，是可计算的； f(X)可以是有物理意义，有单位的，也可以没有可以是有物理意义，有单位的，也可以没有 物理意义。物理意义。 例如销轴的质量：例如销轴的质量： Q = f(X) =(d2 l)/4， /4是常数，是常数， f(X) = d2 l = x12x2由于每一条曲线上的各点由于每一条曲线上的各点都具有都具有，所以这些曲线称为所以

19、这些曲线称为。:就是当就是当依次等于一系列依次等于一系列常数常数ci ( i=1, 2, )时，时，设计变量设计变量X 取得一系列值的集合。取得一系列值的集合。1.3 1.3 优化设计的三大要素优化设计的三大要素x1x20F(X)=x1x2等值线的等值线的“心心” （以二维为例）（以二维为例）一个一个“心心”：是单峰函数的：是单峰函数的极（小）值点极（小）值点，是全局极，是全局极（小）值点。没有（小）值点。没有“心心”：例，线性函数的等值线是平：例，线性函数的等值线是平行的，无行的，无“心心”，认为极值点在无穷远处。，认为极值点在无穷远处。多个多个“心心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局

20、：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点的值，才能部极（小）值点，必须通过比较各个极值点的值，才能确定极（小）值点。确定极（小）值点。等值线的形状等值线的形状： 同心圆族、椭圆族，近似椭圆族、直线等同心圆族、椭圆族，近似椭圆族、直线等等值线的疏密等值线的疏密： 沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线密的方向，函数值变化快； 沿等值线疏的方向，函数值变化慢。沿等值线疏的方向，函数值变化慢。 等值线的疏密定性反应函数值变化率。等值线的疏密定性反应函数值变化率。x2优化问题的几何解释优化问题的几何解释 X*g3(X) = 0g2(X) = 0g1(X) = 0g

21、4(X) = 0 x10g2(X) = 0g3(X) = 0g1(X) = 00 x1x2X*g1(X) = 0 x1x20 x1x20g1(X) = 0g2(X) = 0 x1x20g1(X) = 0g2(X) = 0g2(X) = 0X*X*X*1.4 1.4 优化设计的分类优化设计的分类一一. 按模型性质分：按模型性质分： 1.确定型优化问题：静态优化问题（与时间无关）确定型优化问题：静态优化问题（与时间无关） 动态优化问题（随时间变化动态优化问题（随时间变化 ） 2.不确定型优化问题（随机优化问题）不确定型优化问题（随机优化问题）二二. 按约束情况分按约束情况分1. 按有无约束分：按有

22、无约束分： 无约束优化问题无约束优化问题 约束优化问题约束优化问题 2. 按约束性质分：区域约束（几何约束、边界约束）按约束性质分：区域约束（几何约束、边界约束） 性能约束（功能约束、性态约束）性能约束（功能约束、性态约束）1.41.4 优化设计的分类优化设计的分类四四. 按目标函数和约束函数的特性分：按目标函数和约束函数的特性分： 1.线性规划问题线性规划问题 2.非线性规划问题非线性规划问题 五五. 按目标函数的个数分：按目标函数的个数分： 1.单目标优化问题单目标优化问题 2.多目标优化问题多目标优化问题六六. 按设计变量性质分按设计变量性质分1.连续变量连续变量2.离散变量离散变量3.随机变量随机变量求解：求解：把优化对象用数学模型描述出来后，用把优化对象用数学模型描述出来后，用数数学解析法学解析法来求出最优解来求出最优解 。它是优化设计的理论基础。但。它是优化设计的理论基础。但它仅限于维数较少且易求导的优化问题的求解。它仅限于维数较少且易求导的优化问题的求解。 直接用直接用作图的方法作图的方法来求解优化问题，通过画来求解优化问题，