2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第八节直线与圆锥曲线的

1、教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集课时规范练A组1 .直线y=bx+ 3与双曲线x2石=1（a>0, aa bA. 1C. 1 或 2b解析：因为直线y= -x+ 3与双曲线的渐近线a基础对点练b>0）的交点个数是（）B. 2D. 0b y=bx平行，所以它与双曲线只有1个交点.a专注专业学习坚持不懈勇攀高峰答案：A2. （2018西安模拟）抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1,经过F且斜率为J3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点 A, AKX1,垂足为K,则 AKF的面积是（）A. 4B. 373C. 4mD. 8解析：-.y2=4x, .F(1,0), 1： x= 1,

2、过焦点F且斜率为 5的直线11： y=V3(x-1),与y21 .=4x 联立，解得 x= 3或*= 3(舍)，故 A(3,2V3), . AK=4,SAAKF =1x 4*2嫄=40.故选C.答案：C223.已知直线l: y=2x+3被椭圆C:$=1（a>b>0）截得的弦长为 7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（） y=2x3; y=2x+1; y=2x3;y= 2x+ 3.A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条解析：直线y=2x-3与直线l关于原点对称，直线y=-2x- 3与直线l关于x轴对称，直线y=- 2x+3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦

3、长一定为7.答案：C4 . （2018郴州模拟）过点P（-V3, 0）作直线l与圆O: x2+y2=1交于A、B两点，。为坐标原点，设/ AOB=依且 长"，2当 AOB的面积为 乎时，直线l的斜率为（）A.D.C. .3解析：/AOB的面积为乎，.-2x 1X 1 xsin 0=乎，. sin -当工吟兀.飞，23，圆心到直线i的距离为 平.设直线l的方程为y=k(x+43),即 kx y+ 43k= 0,一_ l,3k|答案：B5 .已知过定点(1,0)的直线与抛物线 x2解析：抛物线x2= 2py的准线方程为y=多与双曲线的方程联立得x2=a2(1+4b2),根据已知得a2(1

4、 + £2)=c2.由RF|=c,得p + a2=c2.由可得a2=b2,即a= b,所以所 4b4求双曲线的渐近线方程是y=女.答案：y= 7,过双曲线x2-y2=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若使得|AB|=入的直线l恰 有3条，则入=.=y相交于不同的 A(Xi, yi), B(X2, 丫2)两点，则(xi 1)(X2 1) =.解析：设过定点(1,0)的直线的方程为 y=k(x1),代入抛物线方程x2 = y得x2 kx+k=0,故 x1+x2=k, x1x2=k,因此(x1 1)(x2 1) = x1x2(x1+ x2)+ 1 = 1.答案：16 .已知双曲线x2

5、-y2=1(a>0, b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点 a b为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为解析：二.使得AB|=入的直线l恰有3条.根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直.此时A, B的横坐标为43,代入双曲线方程，可得 y=及，故|AB|=4.双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,.过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4,综上可知|AB|=4时，有三条直线满足题意.:k4.答案：48.设椭圆E的方程为x2+y2= 1（a>b>U）,点O为坐标原点，点 A的坐

6、标为（a,U）,点B的坐标为（U, b）,点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 需.（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（U, -b）, N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ?7- 2解析：（1）由题设条件知，点 M的坐标为2a, 3b 又koM =索,从而2 =133102 a IU进而得 a = y/5b, c= yla-b = 2b,故 e= c=¥5. a 5（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线 AB的方程为怠+by=i'点n的坐标为偿b,1 2b.设点N关于直线 AB的对称点S的坐标为xi, 7 .!,则线段

7、 NS的中点 T的坐标为17-4b+4 J又点T在直线AB 上，且 kNs kAB= 1 ,5b X14 +2弧十14b +74 -=1,解得b = 3.从而有 7 12+2b 厂FT:返x x1一 2 b22所以a=3声故椭圆E的方程为才 .9.已知中心在坐标原点，焦点在 x轴上的椭圆过点 P（2,小）,且它的1离心率e=2.（1）求椭圆的标准方程；（2）与圆（x1）2+y2= 1相切的直线l： y=kx+t交椭圆于M , N两点,解析：（1）设椭圆的标准方程为22/+ y2= 1(a>b>0),43 d尹产1，由已知得：c=1a2a2= 8解得、b =6,若椭圆上一点C满足OM

8、 + ON= QC,求实数 入的取值范围.c2=a2 b2所以椭圆的标准方程为x2+826=1.（2）因为直线l： y= kx+t与圆（x1）2+y2=1相切,2所以 片L= 1? 2k=1y(tw0), 1+k2t把y= kx+ t代入x+ y-= 1并整理得: 86(3+ 4k2)x2 + 8ktx+ (4t2 - 24) = 0,8kt设 M(x1，y1)，N(x2, y2),则有 x + x2 = 2,3+4k 6ty1 + y2= kx + t+ kx2 + t= k(x1 + x2) + 2t =2_y因为 QC= (x+ x2, y1+ y2),所以C8kt6t3 +4k2 坂(

9、3+4k2 汹又因为点C在椭圆上，所以,6t28k2t2(3+4k2 2 犬(3+4k22?心工=1一,3+4kt2 2+t2 + i因为 t2>0,所以 $;+,+1>1,所以0<片<2,所以入的取值范围为(-也 0)40,柩.B组能力提升练1,已知直线y=1 x与双曲线ax2+by2=1(a>0, b<0)的渐近线交于 A、B两点，且过原点 和线段AB中点的直线的斜率为一 半，则a的值为()A.B.2,33C.D.2,327解析：由双曲线ax2+by2=1知其渐近线方程为ax2+by2=0,设A(x1，yi),B(x2,y2),则有ax1 + by1 =

10、 0,ax2+by2= 0,由一得 a(x1x2)= b(yi y2),即 a(xi +x2)(x1一x2)=今设AB的中点为yi + y2 y1 一 y2b(y1+y2)(y1 一y2),由题意可知xwx2,且 x1 + x2*0, -：x1 + x2 x1 x2M(x。，y。)，则y02yoy1y23 A.3kOM = x0=2xo=x；72 = 2，又知 kAB：1, , 2 x( D =一故选A.答案：A222.已知双曲线上 > 1(a>0, b>0)的实轴长为4g2,虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>0)的焦点重合，直线y=kx1与抛物线相切且与双曲线的

11、一条渐近线平行，则p=()A. 4B. 3C. 2D. 1解析：由抛物线x2=2py(p>0)可知其焦点为(0, p 所以b=p,又a=R2,因此双曲线的方程为4= 1，渐近线方程为y= 选x.直线y= kx-1与双曲线的一条渐近线平行，不,广y=厂x 1 ,r p 、22妨设 k=4p2,由 j 2 仪2可得 x*p/x-1 !=左2x- 2p,得 X2-北x+ 2p= 0,、x =2py2则 A= , 22 - 8p= 0,解得 p= 4.故选 A.答案：A3.设直线l与抛物线y2=4x相交于A, B两点，与圆(x5)2+y2= r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.

12、若这样的直线 l恰有4条，则r的取值范围是()A. (1,3)B. (1,4)C. (2,3)D. (2,4)解析：当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x=5±r,所以0<r<5;所以当直线l的斜率存在时，这样的直线 l有2条即可.设 A(xi, yi), B(x2, y2), M(xo, yo),则xi + X2 = 2xo$yi + y2 = 2yoyi = 4xi .又y2=4x2yi y24,两式相减得(yi + y2)(y1一y 2) = 4(xi x2), kAB=xi x2yi + y22.设圆心为C(5,0),则kcM= 一y0一.因为直线l与

13、圆相切，所以 20一=i,解得xo=3, V。xo-5y°x。一 5于是 y2=r2-4, r>2,又 y0<4x。，即 r2 4<i2,所以 0<r<4,又 0<r<5, r>2,所以 2<r<4,选D.答案：D224,若点O和点F分别为椭圆x + y= i的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则OP FP98的最小值为.解析：点P为椭圆巳=i上的任意一点，设 P(x, y)( -3< x< 3, 22w yw R2),依题72 8x298意得左焦点 F(i,0), -OP=(x, y), FP = (x+i,

14、 y), .OP FP=x(x+i)+y2=x2+x+9x+9 2423 2j + 4 .- -3<x< 3,i52， 9v 9 2<22544，i9)+2.，' 36 '6W9 .卜+2,2+2?wi2,即 6WOP FPWi2.故最小值为 6.答案：65.在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M, N的坐标分别为 解析：设直线MN的方程为y= x+b,代入y=x2中,整理得 x2+x-b=0,令 A= 1+4b>0,1. b> 一 一 4.设 M(xi, yi), N(x2, y2),则 xi+x2=-1,yi + y2xi + x2i

15、-2 = -2- + b= 2 + b,由2，2+ b，直线 y=x+3 上,i i -即2+ b=-2+3,解得 b=2,y=-x+2,联立得5 ty=x2,xi = - 2,x2 = i,解得f1lyi = 4,y2 = i.答案:(2,4), (i,i)6.过抛物线y2 = 4x的焦点F的直线交该抛物线于 A, B两点.若|AF|=3,则|BF| =. 解析：抛物线y2= 4x的准线为x=I,焦点为F(i,0),设A(xi, yi), B(x2, y2),由抛物线 的定义可知|AF|=xi+I = 3,所以xi=2,所以yi= ±272,由抛物线关于x轴对称，假设A(2,2亚)

16、，由A, F, B三点共线可知直线 AB的方程为y 0= 272(xI),代入抛物线方程II3消去 y 得 2x25x+ 2=0,求得 x=2或2,所以 x2 = 2,故 |BF| = g3答案:37.定义：在平面内，点 P到曲线r上的点的距离的最小值称为点 P到曲线r的距离.在平 面直角坐标系xOy中，已知圆 M: (x 42)2+y2=I2及点A(一42, 0),动点P到圆M的距 离与到点A的距离相等，记 P点的轨迹为曲线 W.(I)求曲线W的方程；(2)过原点的直线l(l不与坐标轴重合)与曲线 W交于不同的两点 C, D,点E在曲线 W上， kd且CECD,直线DE与x轴交于点F,设直线

17、DE、CF的斜率分别为ki、k2,求丁.k2解析：(I)由题意知：点P在圆内且不为圆心，易知|PA|+|PM|= 2m>2寸2=|AM,所以P点的轨迹为以 A、M为焦点的椭圆，设椭圆方程为x2+ja>b>0),则尸胞a b2c=2 攵a=乖,c= 2.所以b2=1,故曲线 W的方程为;+y2=1.3yi(2)设 C(xi, yi)(xiy产 0), E(X2, y2),则 D(-xi, -yi),则直线 CD 的斜率为 kcD=亍，又 CEXi北D,所以直线CE的斜率是丘一端，记X1=k,设直线CE的方程为y=kx+m,由题y= kx+ m,意知 kw0, mw0,由 葭22

18、得(1 + 3k2)x2 + 6mkx+ 3m2- 3= 0,3 + y =16mk xi +x2 = 21 + 3kyi +y2= k(x1 + x2)+2m=1 + 3k由题意知xWx2,y2+y11yi1=kDE=x2 + xi = -3k=3xi'直线 DE 的方程为 y + yi = 3x (x4- xi),令 y= 0,得 x= 2xi,即 F(2xi,0).可得七一： xi.ki1k23.8.已知点A(xi, yi), B(x2, y2)是抛物线y2=4x上相异两点，且满足 x1+x2=2.(1)若AB的中垂线经过点 P(0,2),求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M,求 AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程.解析：(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，所以可设直线 AB的方程为y=kx+b,代入方程y2=4x,得：k2x2+(2kb-4)x+ b2=0,4 2kb2 xi+x2 = k2 =2,得 b=k-k, 直线AB的方程为y=k(x-1) + 2, k.AB中点的横坐标为1,AB中点的坐标为AB的中垂线方程为 y= ；(x1) += ；x+ W k k k k.AB的中垂线经过点 P(0,2),故3=2,得k=3, k2 直线AB的方程为y = |x-1.(2)