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1、定积分在几何上的应用3求旋转体的侧面积时间：2021.03.09创作：欧阳法设旋转体是曲线y=f(x)()，a<x<b),直线x =a, x = b绕x轴旋转而生成.任取一微区间x, x + dx,如图 1.有 P(x, y), Q(x + dx, y +Ay),由弧微 分中的讨论知：弧长 PQ =As = ds + o(dx)线段PQ = PQ +o(dx) = ds + o(dx)因为说绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧 面积量A的增量AA,线段PQ绕x轴旋转生成的面 积恰好是上、下底面半径为y和y+Ay,侧高为瓦的 圆台的侧面积刀.由圆台侧面积公式可知后者等于AZ： = K(

2、y + y + Ay)=7i 2y + dy + o(dx)ds + o(dx)=2 冗 yds + o(dx),显然AA = ：+ o(dx),故有从而旋转体的侧面积为相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧 面积公式，这里不列出了.例18求抛物线y2=2px(0 W x W a)绕x轴旋转生成 的旋转体的侧面积.由式得侧面积为例19求由圆x2+ (ya)2=r2(r<a)绕x轴旋转而 成的环体的表面积.故对哪个半圆周都有代入公式即得所求表面积为解采用参数坐标较为方便.令 x = acost, y=bsint (X t<2?i弧长微分故表面积为我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的 旋转面积却能准确算出来.当c习题29.求抛物线y2 = 4x,直线x = 8所围成图形绕x轴 旋转所得旋转体的侧面积.求旋转下列曲线所成曲面的面积33. x=a(tsint), v=a(l cost)(Xt&l

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