合肥工业大学 电动力学 第二章 静电场

1、第二章静静 电电 场场静电势及其特性、分离变量法、镜象法、静电势及其特性、分离变量法、镜象法、格林函数法。格林函数法。求解的依据是：唯一性定理求解的依据是：唯一性定理。给定自由电荷分布以及周围空间介质和导给定自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如何求解电场。体分布的情况下，如何求解电场。主要问题主要问题：主要主要内容：内容：静电场的基本特点静电场的基本特点0)(12EEn)(12DDn 边值关系：边值关系：0J0M0 HB0,0BH0 BH（， 为唯一解）为唯一解）)(不考虑永久磁体（不考虑永久磁体（） ,0 E D 基本方程：基本方程：电荷静止不动电荷静止不动场量不随时间变化场量

2、不随时间变化静电场两个条件静电场两个条件 ()0t物理量 介质分界面上的束缚电荷：介质分界面上的束缚电荷： 电磁性质方程：电磁性质方程： 静电平衡时的导体：静电平衡时的导体：导体内导体内外表面外表面0,tnEEE电荷分布在表面上，电电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面场处处垂直于导体表面）（00EJ0,PDE012)(fPEEn0fnnpEE120)() 1()()(120000PPnPPEDEDEEPPPe 均匀各向同性线性介质均匀各向同性线性介质：2.1 静电势及其微分方程静电势及其微分方程一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系 三、静电场的能量本节主要内容本节主要内容四、静电

3、场问题的几种解法1 1静电势的引入静电势的引入一、静电场的标势0EE静电场标势简称电势 取负号是为了与电磁学讨论一致取负号是为了与电磁学讨论一致满足迭加原理满足迭加原理 E 的选择不唯一，相差一个常数，只要的选择不唯一，相差一个常数，只要即可确定即可确定知道知道)(2121221121EEEEE2 2、电势差、电势差空间某点电势无物空间某点电势无物理意义，两点间理意义，两点间电电势差才有意义势差才有意义电势差为电场力将电势差为电场力将单位正电荷从单位正电荷从P移移到到Q点所作功负值点所作功负值)(PQ)(PQ 电场力作正功，电势下降电场力作正功，电势下降 电场力作负功，电势上升电场力作负功，电

4、势上升 )0(Ll dE 两点电势差与作功的路径无关两点电势差与作功的路径无关 ddxdydzdlE dlxyz QPPQl dE等势面：电势处处相等的曲面等势面：电势处处相等的曲面EnE与等势面垂直，即与等势面垂直，即点电荷电场点电荷电场线与等势面线与等势面+电偶极子的电场线与等势面电偶极子的电场线与等势面均匀场电场线与等势面均匀场电场线与等势面 参考点参考点通常选无穷远为电势通常选无穷远为电势参考点参考点 0（1）电荷分布在有限区域，电荷分布在有限区域，PPldEP P点电势为将单位正点电势为将单位正电荷从电荷从P P移到移到电场电场力所做的功。力所做的功。（2 2）电荷分布在无限区域不能

5、选无穷远点作参考）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考 点，否则积分将无穷大。点，否则积分将无穷大。3、电荷分布在有限区几种情况的电势、电荷分布在有限区几种情况的电势（1）点电荷）点电荷 rQrrQdl drrQPPP02030444)(0（2 2）电荷组）电荷组niiirQP104)(rQff04Q 产生的电势产生的电势 PQrQPP04 产生的电势产生的电势 rQrQQfPfPf440) 1(0fPQQ（3）无限大均匀线性介质中点电荷）无限大均匀线性介质中点电荷 rQ4 点电荷在均匀介质中点电荷在均匀介质中的空间电势分布（的空间电势分布（Q Q 为自由电荷）为自由电荷）（4 4）连续分布

6、电荷）连续分布电荷 VrVdxP04)()(二、静电势的微分方程和边值关系静电势的微分方程和边值关系 电势满足的方程电势满足的方程2适用于均适用于均匀匀介质介质 泊松方程泊松方程 导出过程导出过程 2E 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 20适用于无自适用于无自由电荷分布由电荷分布的均匀的均匀介质介质DEED,(1) (1) 两介质分界面两介质分界面QPPQl dE0 P QQP12QP12nSSS21,即在界面上电势 是连续的21()ttEE2121()0()nEEnDD2 2静电势的边值关系静电势的边值关系SSnn1122nnEE1122nEn)(12DDnnnDD12ED由于导体表面为等势面，因

7、此在导体表由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系。二个边值关系。（2 2）导体表面上的边值关系）导体表面上的边值关系常数s|snnESSQdSdSn 三静电场的能量三静电场的能量DEw21 一般方程：一般方程： 能量密度能量密度 , 若已知若已知 ,总能量为总能量为 VdVW21总能量总能量 dVDEW21仅讨论均匀介质仅讨论均匀介质)()(DDDDDEdVDdVW)(2121导出过程

8、：导出过程：SSdDSdD01()SD dVD dSdVW21该公式只适合于静电场情况。该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电荷区，而能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。且存在于整个场中。r121rD2rdS12Wd 12102sD ds12wE D12Wd 1( ) ( )8xxWddrxx第二章第二节第二章第二节唯一性定理唯一性定理静电场的基本问题是：求出在每个区域静电场的基本问题是：求出在每个区域(均匀均匀)内内满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解

9、。电势的解。iSVkVkiVijsdisdjjV ijS( ) , xxV2ii j , ()()ijiijnnSSn( ) , x 常数222 , , 0ii , , , ijijijjjjiiiijijijnnnnnn0 0SSSSS0SSSnnn和2()()iiiVSSddsdsn i 22()() 0iiiiiVSddsn ()AAA A=2 ()iiiiVSdds 2i() iiiiiVSdds ijdsds jijjijijiiijiiiiiijjjSSSiiijjjSSdsdsdsdsds 0ijijjiiiijjiSSdsdsnn , , jiinjniinjjnijDDEEn

10、niiiiSSdsds 2()iiiiSVdsd 0 , 0SSn或2 ()iiiiVSdds 2()0iiid2()000i2()0iiVid 0常数SVS1S2第二章第三节第二章第三节分离变量法分离变量法2. 3 拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解 分离变量法分离变量法、分离变量法的适用条件、分离变量法的适用条件四、应用实例四、应用实例三、解题步三、解题步骤骤二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式1 1、空间、空间 ，自由电荷只分布在某些介质（或导，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界，体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用

11、可用 拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。0一、拉普拉斯方程的适用条件一、拉普拉斯方程的适用条件2 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域面上有束缚面电荷。区域V V中电势可表示为两部分中电势可表示为两部分的和，即的和，即 ， 为已知自由电荷产生为已知自由电荷产生的电势，的电势， 不满足不满足 ， 为束缚面电荷产为束缚面电荷产生的电势，拉普拉斯方程生的电势，拉普拉斯方程2

12、02000但注意，边值关系还要用但注意，边值关系还要用 而不能用而不能用SS二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式22222220 xyz1、直角坐标、直角坐标 )()()(),(zZyYxXzyx（1）令）令 1122( )( )( )sincosk xk xXxAeBek yk yYyCeDeZ zEkzFkz000222222ZdzZdYdyYdXdxXd0222212221,kkkkk令令),(yx（2 2）若若 ( )( )sincoskxkxX xAeBeY yCkyDky )(xzy,（3 3）若）若 ，与与 无关。无关。 BAxdxd022

13、002222YdyYdXdxXd注意注意：在：在（1 1）、（、（2）两种情况中）两种情况中若考虑了某些边若考虑了某些边界条件，界条件， 将与某些正整数有关，它们可取将与某些正整数有关，它们可取1，2，3， ，只有对它们取和后才得到通解。，只有对它们取和后才得到通解。kkk,21022,kk22222211()0rr rrrz 柱坐标柱坐标 ),(r讨论讨论 )()(),(grfr，令，令 0)()(10)()(22222rfrdrdfrdrdrgdgd12( )sincosgaa )(rfrr 有两个线性无关解有两个线性无关解 、)2()0(n单值性要求单值性要求 ， 只能取整数，令只能取整

14、数，令1( , )(sincos)(sincos)nnnnnnnrrAnBnrCnDnrBACrrln0)(1rrrr若若 )(r，1( , , )()(cos)cosnmnmnmnnnmbRaRPmR 1()(cos)sinnmnmnmnnnmdcRPmR3球坐标球坐标 )(cosmnP缔合勒让德函数（连带勒让德函数）缔合勒让德函数（连带勒让德函数）nnnnnnPRbRaR)(cos)(),(1 若若不依赖于不依赖于，即，即具有轴对称性，通解为具有轴对称性，通解为 221(cos )(3cos1)2P011(cos )cosPP)(cosnP-为勒让德函数为勒让德函数RbaR)(, 若若与与

15、均无关，均无关，具有球对称性，具有球对称性， 通解：通解：三解题步骤三解题步骤 根据具体条件确定常数根据具体条件确定常数 选择坐标系和电势参考点选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；考点主要根据电荷分布是有限还是无限； 分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解；坐标系中的通解；（1）外边界条件：）外边界条件： 电荷分布有限电荷分布有限 0注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定可视为外

16、边界，给定 （接地（接地 ），或给），或给定总电荷定总电荷 Q，或给定，或给定 。S0SzeEE0zErE00cos电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 （直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。（直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。均匀场中，均匀场中，（2）内部边值关系：介质分界面上）内部边值关系：介质分界面上SSSSnn221121一般讨论分一般讨论分界面无自由界面无自由电荷的情况电荷的情况第二章第四节第二章第四节镜镜 象象 法法2.4 镜 象 法重点掌握：重点掌握：1、镜象法的基本概念、镜象法的基本概念2、求解电势的基本方法、求解电势的

17、基本方法 求解泊松方程的难度求解泊松方程的难度、电象法的概念和适用条件 一般静电问题可以通过求一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。求解，但是求解比较困难。求解的困难主要是介质分界求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。乏对称性。QQ2. 以唯一性定理为依据以唯

18、一性定理为依据 在唯一性定理保证下，采用在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。方程及边界条件即是正确解。 特别是对于只有几个自由点特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。个点电荷来给出尝试解。4. 镜象法概念、适用情况镜象法概念、适用情况镜象法：镜象法：用假想点电荷来等效地用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭点电荷和等效点电荷迭加给出空间电

19、势分布。加给出空间电势分布。适用情况：适用情况： 所求区域有少许几个点电荷，所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。假想点电荷代替。b)导体边界面形状比较规则，具导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。有一定对称性。 c) 给定边界条件给定边界条件注意注意：a a）假想电荷必须放在所求区域之外。做替代时，所研究）假想电荷必须放在所求区域之外。做替代时，所研究 空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q Q 大小大小 不能变）。不能变）。b b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假）

20、不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。想电荷的大小和位置）。c c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。）坐标系选择仍然根据边界形状来定。5. 格林等效层定理（不证明）格林等效层定理（不证明）*（1）等势面包围的体积）等势面包围的体积V内内的电荷在的电荷在V外产生的电势与在外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并此等势面上置一导体面，并将将V内电荷都搬到导体上所产内电荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。生的电势完全一样。（2）相反，带电导体所产生）相反，带

21、电导体所产生的电势也可以用导体面内一的电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只定等效电荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重要它产生与导体表面完全重合的等势面。合的等势面。 等势面等势面VQP)(p导体面导体面Q)(pPQQ2.5 2.5 格林函数方法格林函数方法三、用格林函数求解一般的边值问题一、点电荷密度的函数表示二、格林函数内容提要内容提要 本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。泊松方程解泊松方程解的格林函数，实际上就是满足特定边界条件的单位点电的格林函数，实际上就是满足特定边界条件的单位点电荷所激发的电势。荷所激发的电势。 它与点电荷解的边值相

22、关，但可以解静电学的许多边它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。值问题。 格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。而且在理论物理的研究中是很重要的工具。 第一边值问题第一边值问题SSn 给定给定V边界边界S上的各点电势上的各点电势 或给定边界或给定边界S上法向分量上法向分量 第二边值问题第二边值问题求求V内各点电势值。内各点电势值。设设V V内电荷分布内电荷分布 已知，已知，一、点电荷密度的函数表示)()(xxx)(1)()(VxdVxxxdxVV)()()()(VxxfxdxxxfVx

23、处于处于点上的单位点电荷的密度点上的单位点电荷的密度)()(xxQx一般2常用公式常用公式点电荷的泊松方程：设电势为)()(02xxQx02)()(xxx 单位点电荷产生的电势 空间区域V上的边界条件0SSn或常数),(),(xxGxxG格林函数的对称性 （偶函数）),()(xxGx对于静电场的点电荷问题 称为静电场的格林函数 02)(),(xxxxG （0),(SxxGSnxxG),( 或常数）2x 只对微商。),(xxG2. 格林函数上单位点电荷在无穷空间中激发的电势x2220)()()(141),()(zzyyxxxxGx222)()()(zzyyxxr（1）无界空间中的格林函数）无界空

24、间中的格林函数 的距离 到xxxxrxxG004141),(球坐标中 （偶函数）),()(412xxGxxr显然满足点电荷泊松方程。（2）上半空间的格林函数）上半空间的格林函数0111( )( ,)4xG x xrr 222222()()()()()()rxxyyzzrxxyyzz（3）球外空间的格林函数）球外空间的格林函数),(zyxP设点电荷Q = 1 坐标为),(zyxP观察点为222zyxxR222zyxxRRR0PPcos222RRRRxxrPP P xRR220设假想点电荷在，它的坐标为PO RR20（它在连线上，题中b对应这里的） cos22202402220RRRRRRxRRx

25、rPP )(1202000RRRaRbRRRQRQQ 22011( ,)( )42cosG x xxRRRR 22001()2cosRRRRRR)cos(sinsincoscoscos三、用格林函数求解一般的边值问题x相应格林函数问题：V内点上有单位点电荷，)(xS)(x02，给定，求V内。满足（真空情况）0),(SxxG),()(xxGx 解为 边界上1. 第一类边值问题求解的格林方法第一类边值问题求解的格林方法（1）V内有电荷分布（2）二者的联系由格林第二公式给出SVSdSnnSddV)()()(22满足泊松方程，为V内电势设02)()(xxxx（为讨论方便与互换）),(xxG02),(x

26、xG 为格林函数 SdnxxGxnxxxGVdxxGxxxxGSV ),()()(),(),()()(),(220),()(1)()(1),()()(),(1)(),(00202SVVVVxxGxVdxxxVdxxGxVdxxxGVdxxxGVSSdxxGnxVdxxxGx),()()(),()(0 ),(xxGSx)(只要知道相应问题的和)(x即可得到2第二类边值问题解的格林函数方法第二类边值问题解的格林函数方法)(xSn，S上上给定，给定，（1）V内有电荷分布内有电荷分布 )(x求V内相应格林函数问题 SnxxG),( 在S上） x常数（2）SSVSdxnxxGVdxxxGx)(),()(

27、),()(0),(xxGSn)(x只要知道和，即可马上得到 （1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。),(xxG3格林函数方法求解讨论（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由0SSdxxGnxx),()()(0SSdxnxxGx)(),()(0 第一类边值问题第一类边值问题 第二类边值问题第二类边值问题第二章第六节第二章第六节电多极矩电多极矩2.6 2.6 电多极矩电多极矩二、电多极矩一、电势的多极展开三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能)主要内容主要内容一、电势的多极展开 小区域电荷分布小区域

28、电荷分布0( )( )4x dVxr)(x若已知若已知，原原则上可通过则上可通过求电势。求电势。 一般若体电荷分布不均匀或一般若体电荷分布不均匀或区域不规则，积分十分困难区域不规则，积分十分困难（用计算机可数值求解）。（用计算机可数值求解）。 但是在许多实际情况中，电但是在许多实际情况中，电荷分布区域的线度远小于该区荷分布区域的线度远小于该区域到场点的距离，可以近似处域到场点的距离，可以近似处理，解析求解。条件理，解析求解。条件 。rl rRRQx04)(PrxxOl( )x2221(0)1(0)( )(0)1!2!dfdffxfxxdxdx (1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）

29、一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）(2) 三元函数的麦克劳林展开三元函数的麦克劳林展开123123123( )( ,)1(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)()1!f xf x x xffffxxxxxx的麦克劳林展开的麦克劳林展开2.1r2222221231232221213231213231(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)2!222fffxxxxxxfffx xx xx xxxxxxx12312321231231(0)()(0)1!1()(0)2 !fxxxfxxxxxxfxxx21(0)()(0)()(0)2fxfxf (3) 将将r10 x在在点展

30、开点展开1111(),0,f xxxrxxrR21()( )() ( )()( )2f xxf xxf xxf x2311(0)(0)(0)2iijiijiijfxfx xfxxx0( )( )4x dVxr20011111()()2xxxxrRrr21111()()2xxRRR1111()(:)2xx xRRR 00111(,xxrrR 2:() )aa bba b其中其中 小区域电荷分布产生的电势小区域电荷分布产生的电势011111( )( ):42Vxxxx xdVRRR 3()VDx xx dV 3( )1 3,1 3ijijDx xx drij 00011111( ):4446Qxp

31、DRRR(0)(1)(2)011111( )( ):42VxxxxxdVRRR ()VQx dV()Vpx x dV 电四极矩张量电四极矩张量电偶极矩矢量电偶极矩矢量二、电多极矩 展开式的物理意义展开式的物理意义(0)04QR 等效于坐标原点点电等效于坐标原点点电荷产生的电势。因此小荷产生的电势。因此小电荷体系在电荷分布区电荷体系在电荷分布区外产生的电势在零级近外产生的电势在零级近似下可视为将电荷集中似下可视为将电荷集中于原点处产生的电势。于原点处产生的电势。(1)33000111()444Rp RppRRR 等效电偶极矩等效电偶极矩 产生的电势。最简单的体系为产生的电势。最简单的体系为两个点

32、电荷产生的电势。两个点电荷产生的电势。p2(2)00111111:4646ijijijDDRxxR 222:ijijklijklklijjkilijijklijklijDD e ee exxDDxxx x 等效为体系电四极矩张量产生的电势（四极等效为体系电四极矩张量产生的电势（四极势）。势）。)2(2. 电四极矩张量电四极矩张量3()VDx xx dV 2(3r)()Dx xlxdV 重新定义：重新定义： )2(它不改变它不改变 ，只有只有5个独立分量个独立分量0332211DDD 有有9个分量个分量3()ijijDx xx dV 电四极矩有电四极矩有6个不同分量个不同分量ijjiDD()ij

33、电四极矩最简单体系举例：电四极矩最简单体系举例： 四个点电荷在一直线上按四个点电荷在一直线上按（+ +，- -，- -，+ +）排列，可看作）排列，可看作一对正负电偶极子。一对正负电偶极子。 balpeabQPz)(上peabQPz)(下体系总体系总电荷、总电偶极矩为零电荷、总电偶极矩为零依定义依定义 其它分量均为零其它分量均为零033DzORr+r-Pxl+-+a-ab-b331 12233442222223( )3()33333()6()6()()6zVzDzzx dVzzQzzdzz z Qz z Qz z Qz z QbaabQQ baQ babapl2200111116:()464zzple eplRRz Rl 它与直接计算结果完全一致（它与直接计算结果完全一致（）： 11414403030rrprrprrp0111()()4zpppezrr