2019-2020年高中数学《二面角练习课》教案设计

1、2019-2020年高中数学二面角练习课教案设计教学目标1 .使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2 .使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题 的能力.教学重点和难点重点：使学生能够作出二面角的平面角；难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角.教学设计过程重温二面角的平面角的定义.教师：二面角是怎样定义的？学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.教师：二面角的平面角是怎样定义的？学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.教师：请同学们看下图.图13 图1： a , B是由l

2、出发的两个半平面，。是l上任意一点，OC匚a ,且 OCL l ; OD匚B ,且ODL l .这就是二面角的平面角的环境背景，即/ CO此二 面角a-l- B的平面角.从中我们可以得到下列特征：(1)过棱上任意一点，其平面角是唯一的；(2)其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；(3)体现出一完整的三垂线定理(或逆定理)的环境背影.请看下面两道例题.例 1 已知：如图 2,四面体 V-ABC中，VA=VB=VC=aAB=BC=CA=bVHL面 ABC垂足为H,求侧面与底面所成的角的大小.分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC1的射影H是底面的中心，所以 连结CH交AB于0,且OCL AB,由

3、三垂线定理可知，VOL AB,则/ VOCM则面与底面所成二面角的平面角.(图 2)特征（2）指出，如果二面角a-l- B的棱l垂直某一平面丫，那么l必垂直 丫与a, B的交线，而交线所成的角就是a-l- B的平面角.（如图3）例2 矩形ABCD AB=3 BC=4沿对角线BD把AB，T起，使点A在平面 BCD±的射影A落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦化如果在平面图形中过 A作AHBD交BD于Q交BC于E,则折叠后OA OE 与BD的垂直关系不变.但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必 与棱垂直.由特征（2）可知，面AOEf面ABD面CBD勺交线OA与0所成的

4、角，即 为所求二面角的平面角.O：g="缪=学邛，OA' =OE=BOtg/CBD, BJJ j jAK3 9377而B。二前 二 m，tg/CBD二 r 故。二会15 JU J4ZU在 RtAA'。中，/AA' 0=90 ,AO1 9所以co/AOA，=一三%,即所求的二面角A-BD-C的大小的 AO 16余强值为上16从上面两例题，我们可以总结三种作二面角的平面角的一般方法1 .定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角（如例2）.2 .应用三垂线（逆）定理法：在二面角 a l B的面a上取

5、一点A,彳AB ，B于B, BC11于C,则/ ACB即为a l B的平面角（如例1）.课堂练习1.在正方体 ABCD-A1CD中，棱长为2,E为BC的中点，求面BDE与面BBCC 所成的二面角的大小的正切值.C （或D）作BE的垂线交BE于O,然后连结OD （或OQ即彳#面DBE与 面CCBE所成二面角白平面角/ COD,如图7,我们移出平面如图8.计算可得CQ=竽.在RtZiDCQ中，唔/5。口=之且=仅.教师：有时二面角的棱在示意图中并未出现，在解题时须先将棱找出。教师：请大家研究下面的两例题.例3 如图10,在正方体 ABCD-府CD中，E是BC的中点，F在AA上，且 AF： FA=1

6、： 2,求平面BEF与底面AC所成的二面角大小的正切值.分析：在给定的平面BEF与底面AC所成的二面角中，没有出现二面角的棱, 我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即 为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角.略解：如图10.在面BBCC内，作EFU BC于H,连结HA,显然直线EF在底面AC的射影为HA.延长EF, HA交于G,过G B的直线为所求二面角的棱.在平面ABCD内，作HK!GB于K,连EK,则/ HK助所求二面角的平面角.在平面ABCD内，作BLIGHT L,利用RtAGLB RtAGKH可求得KH又在RtzXEKH中，设EH=a容易得到：所

7、求二面角大小的正切值例4 已知：如图12, P是正方形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a AB=a求：平面APB与平面CPDffi交所成较大的二面角的余弦值.B图12分析：为了找到二面角及其平面角, 交线.必须依据题目的条件，找出两个平面的解：因为 AB/CD CD0平面CPD AB U平面CPD所以 AB /平面CPD又 PC平面APB且PC平面CPD因此 平面APR平面CPD=l且PC l .所以 二面角B-l-C就是平面AP出口平面CPDf交所得到的一个二面角.因为 AB/平面CPD AB u平面APB平面CPDT平面APB=l,所以 AB / l .过 P 作 PEI A

8、B, PE± CD因为 l / AB/ CD因止匕 PE±l , PF±l ,所以/EPF是二面角B-l-C的平面角.因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a所以PE = a. J同理？二弓.因为 E, F分别是AB, CD的中点,所以 EF=BC=a在zEFP中，cosZEPF =pe"+pF - eV2 x PE x PF所以平面APB和平面CPD相交所成较大的二面角的余茂值为-1.小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位， 要在正确理解其定义的基础 上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景.我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去 解，利用二面角的