最优控制理论考试重点

1、 1.1. 最优控制问题的性能指标 (1)(1)积分型性能指标(拉格朗日型)：J(u) = (tf Lx(t),u(t),tdt 0 反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。 (2)(2)末值型性能指标(梅耶型)： J(u)=8x(tf),tf,接近目标集程度，即末态控制精度的度量。 tf J(u) =8x(tf ),tf 十 L Lx(t),u(t),tdt。 2.2. 最优控制问题的数学模型 给定系统的状态方程： x(t) = fx(t),u(t),t；状态方程的边界条件: 给定性能指标：J(u) =8x(tf ),tf +Lx(t),u(t),t

2、dt ;允许控制域 u(t): u(t)U。 3 3 .最优控制应用的几种类型： 最短时间控制，最小能量控制，线性调节器，最少燃料消耗控制，线性跟踪器。 4.4. 选取性能指标注意： 应能反映对系统的主要技术条件要求，便于对最优控制进行求解，所导出最优控制易于实现。 5.5. 边界条件：指状态向量在起点或终点的所有容许值的集合。 6 6 .横截条件：依据性能指标的要求，从容许值的集合中选择哪一点作为始态或终态的问题。 1.1. 泛函：对于某一类函数y(-)中的每一个函数y(x)，变量J都有一个值与之相对应，那么变量 府作依赖于函数 y(x)的泛函。记为:J=Jy(x) , y(x)称为泛函的宗

3、量。 宗量的变分：dy = y(x) - y0(x) o 2.2. 泛函的连续性：对任意给定的正数 总存在另一个正数 5 ,当 y(x)-yo(x) 5, y(x)-yo(x) 5,., y(k)(x)-y0k)(x)曷,.时，Jy(x) - Jy。(x)| 尊，则称泛函 Jy(x) 在点yo(x)处是连续的，而此时y(x)与yo(x)具有k阶接近度。 Jy(x)满足：(1)Jyi(x)+y2(x) = Jyi(x) + Jy2(x) , (2) Jay(x) = aJy(x)则称其为线性泛函。 3.3. 泛函的变分(计算题) 设泛函Jy(x)为连续泛函，则泛函增量的线性主部称为泛函的变分，记

4、为： J o泛函的变分是唯一的。 泛函 Jy(x)的求解：6Jy(x) =jy(x)+y(x)从。 , 。.fLt,x(t),x(t). - x(t) - 方(t) 例=确定点A01)至给定直线y/(r)= 2-r的最短的曲线方程。 解：由氏至 w的 M 长 * =(时 + 陵渲=J1 +戈财 性能指标为 y 、 _ /(*) = | Al + , 0 由欧拉方程二 孑 -)= 0 煮 s/1 + X 1 =to,x(to) = xo t=tf ,x(tf) S Lt,x(t),x(t) - 7 - 6x(t)dt x(t) J=r Lt,x(t),x(t)dt，则 J= t0 t0 X XJ

5、1! + X 2 (3)(3)综合性能指标(鲍尔扎型)： 积分得， 得最优敦或方程， 沿最优轨线函数H相对最优控制u*(t)取绝对极小值，这是极小值原理的一个重要结论。 Hx*(t)(t),u*(t),t =m)irjHx*(t), (t),u(t),t根摒终端横截条件 L I -X)5. I - Jl + x2 + (-1 4 . 4 . 泛函 J =Jy(x) 泛函极值定理： 5.5.欧拉方程： (1) ：x .V (7) = F + 1 的极值：对于与 yo(x)接近的曲 一Jy(x)邳或AJ =Jy(x) Jy(x)技0,则泛函Jy(x)在曲线y(x)上达到极值。 若可微泛函Jy(x)

6、在yo(x)上达到极值，则在 y=yo(x)上的变分为零，即 & = 0。 线 y(x), 泛 函 Jy(x)的 增 量 d LL d - _ _ _ _ 已(二)=。或 Lx 已 Lx = 0，展开形式为 LxLxf xLxXxL& = 0。 dt ；:x dt 6 6 .无约束条件的最优化问题(思路) (解题步骤)(计算) (1) - 端点固定：欧拉方程：Lx - Lx，= 0。 dt (2) 可变端点：欧拉方程：Lx-dLx，=。,横截条件： L + ” -x)Lxtf =0；x(t) =x,x(tf)=甲(tf) JL +(中一 x)Lxt0 =0；x(t。)=9(t0

7、),x(tf) = xtf 7 7.具有等式约束条件的最优化问题： J(u) =0 x(tf),tf + ftf Lx(t),u(t),tdt，泛函极值必要条件 为: t0 H 状态万程：x = = fx, u,t,协态方程：九 端点约束：x(t0)f ，Mtf) x(tf),tf =0 f :也=0, :u 一 - . : T - + -V,横截条件：H(tf)+ v 一 x(tf) ：x(tf) -:tf ,控制方程(极值条件) -：x ；T 8.8. 应用变分法求解最优控制问题 步骤如上，首先列写哈密尔顿函数 H =L f，横截条件用于补充所缺少的边界条件。 9.9. 几种典型的欧拉方程

8、 车 d ;:F F tf (1) J(x (1) J(x )取极值的必要条件为：欧拉方程 ：云一器专 一 0，横截条件：听(。上 =0。 x t -2 :L 一 .， ；:L (2)(2) 欧拉方程的展开形式： f x 4:x (3)(3) 不同函数F F的欧拉方程： 丰 1) Fx(t),t : 一=0 ； 2) Fx(t),t: :x . .2 2 、 : F c F -:F -2 :L ：x - :x .:x : -2 i2L . 、 x = 0或 Lx - Lt】Lxxx Ljx = 2 2 2 l :F 一 ： F : F x=0 ; 3) Fx(t),t ： x + C = 0；

9、 x : x xt 0 ; 5) Fx(t),x(t),t=a(x,t)+E(x,t)x : -一 =0。 根据始端Sr件: 设系统的状态方程为 x(t) = fx(t),u(t),t，控制u(t)是有第一类间断点的分段连续函数，属于 p维空间中 的有界闭集Q,满足不等式约束：Gx(t),u(t),t芝0，在终端时刻tf未知的情况下，为使状态自初态x(t0) = x0, t f _ _ _ 一、一一 转移到7两足边界条件 Mx(tf),tf= 0的终态，并使性能指标 J =8x(tf ),tf + Fx(t),u(t),tdt达极小值。 设哈密而顿函数为 H = F (x, u,t) + 7：

10、 f (x, u,t)则最优控制u*(t)，最优轨线x*(t)和最优伴随向量 入*(t)必须 满足下列条件： (1)(1) 沿最优轨线满足正则方程：x=，九=一也一(坦)T，式中是与时间t无关的拉格朗日乘子向 x jx 量，其维数与 G相同，若G中不包含x,贝U：九= o ；:x (2)(2) 横截条件及边界条件： _M T M T A(tf)= 十()vt , H(x,u,Z,t)+ 十()vt 土 =0 , x(to) = xo , Mx(tf),tf=0。 ；x ；x :t :t . . . . .，*K* *、 八 在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H函数取绝对极小值，

11、即 H (x ,九，u , t)玄H (x ,% , u,t), 并且沿最优轨线，下式成立 =4-) ；:u ；:u 上述条件与不等式约束下的最优控制的必要条件相比较， 横截条件及端点边界条件没有改变，仅 “H =0这 :u 一条件不成立，而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极小，其次是正则方程略有改变，仅当 G中不包含x 时，方程才不改变。 1 1.砰-砰控制原理： 若线性定常系统 x(t) = Ax + Bu属于平凡情况，则其最短时间控制为 u* (t) = -M sgnBT7(t), u* (t)的各 个分量都是时间的分段恒值函数，并均取边界值，称此为Bang-Bang原理。 n 即 u

12、*j(t) =-sgnqj(t) =-sgn bij(t)t),(j =1,2,.,m) i 4 或 u*j(t) = sgnQ(t) = -sgnBTx*(t),tL*(t)。 2 2 .平凡最短时间控制系统： q：只是在各个孤立的瞬刻才取零值， u*是有第一类间断点的分段恒值函数。 . . . . . -. * . 3.3. 奇异(非平凡)最短时间控制系统： qj在一段区间取零值。 一 、,、一_、，, . . 一一 、一 *T 并不意味着在该区间内最优控制不存在， 仅表明，从必要条件不能推出确切美系式。 如果九(t)bj在某一时 、 . 、 . . . . . . . * . . 、 .

13、 . 、 . . . . . . . . 间区间内保持为零，则uj(t)为不确定值，这种情况称为奇异问题或非平凡问题，相应的时间区段称为奇异区段。 当整个时间区间内不出现奇异区段时，则称为非奇异问题或平凡问题，对于平凡问题，有以下几个定义及定理。 砰-砰控制原理 也称为继电器型控制或开关控制，其主要特点是控制向量的分量都取控制域的边界，而且不断的 从一个边界值切换到另一个边界值，从而构成一种最强的控制作用。砰 -砰控制实质是平凡时间最优问题，其最 优解也就是控制器的输出是一个类似于继电器动作的开关式动作。 最短时间控制存在定理： 若线性定常系统x(t)=Ax+Bu完全能控，矩阵 A的特征值均具

14、有非正实部，控制变 量满足不等式约束|u(t)| M ,则最短时间控制存在。 最短时间控制的唯一性定理： 若线性定常系统x(t) = Ax +Bu属于平凡情况，若时间最优控制存在，则必定是唯一的。 开关次数定理：若线性定常系统x(t) = Ax + Bu控制变量满足不等式约束|u(t)| M ,矩阵A的特征值全部为实数， 若最短时间控制存在。则必为 Bang-Bang控制，并且每个控制分量在两个边界值之间的切换次数最多不超过 n-1 次。切换点为q. (t) = bj禹=0。 系统平凡的充要条件： 当且仅当m个矩阵Gj =bj, Abj ,A2bj，,Abj中全部为非奇异矩阵时，系统是平凡 的

15、。(至少有一个为奇异矩阵时，系统是奇异的。 ) 双积分模型的物理意义 ：惯性负载在无阻力环境中运动。 双积分模型JX1 % = x2:;）的最短时间控制问题,求解过程为: . . * _ . 、 _ . . . 1）应用最小值原理得出最优控制表达式 u = -sgn72 （t） ； 2）解协态方程，结合开关次数定理，列出最优控制的 候选函数序列（4种）；3）在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律； 4）计算状态转移的最短时间。 解题步骤： 1）判断系统是否能控： rank（Gj） = rank（bj, Abj,A2bj，,Anbj ）是否等于n, A的特征值是否全部有非正实部

16、。 平凡燃料最优问题：里也只在孤立点等于1；非平凡燃料最优问题： 也2在某个（或某些）区间内等于 1。 I Cj I Cj 平凡最少燃料控制的充分条件： detG； AT = 0。 最优解唯一性定理： 系统是平凡的且最少燃料控制存在，则最少燃料控制必然是唯一的，且目标泛函的相对极小值也是唯一的。 双积分模型x1 （t）=为（t）的最少燃料控制问题： 1） 判断其平凡性：该系统是奇异的（则最少燃料控制不一定是唯一的） 。 * q i T 2） 最优控制表达式： 山=dez（ = dezB舄 = dez（舄2）。3）利用协态万程求解 舄2（t），确定u（t）。 Cj 4） 9种可能的控制序列作为候

17、选函数。 5）计算在状态转移过程中燃料的消耗。 燃料消耗量的下限 乂2。| ,所以，如果能找到一个控制，驱使状态从初态转移到原点的燃料消耗为 乂?。，则该 控制肯定是燃料最优控制。 6）以此为依据来选择最优控制序列（最优轨线） 双积分模型的最少燃料控制问题，求解过程为： 1）应用最小值原理得出最优控制表达式； 2）解协态方程，列出最优控制的候选函数序列（ 9个）； 3） 燃料消耗量的下限为；4）在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律； 5） 计算状态转移的所需时间、消耗燃料。 结论： （1）（x0,x20） 7 + 平凡情况：只有+1序列可驱使系统状态到达原点，故为问题的解。

18、 2）列写H函数：H = L+X f ； 3）伴随方程: 史 ；:；4）极值条件: .z * * * .、 . . z * * 八 H (x ,，u ,t) _ H (x ,，, u,t)。 5）最优控制规律: u =+M 时, u =-M 时， 求解X (t) * ； 7) 求解X (t) 离合原理：若燃料控制是平凡的, 再来蹦定“：的幅埴： u （t） = + M,q 0 ; 6） 则最优控制各分量 uj都是时间分段横值函数, 确定开关曲线。 并在-1,0, +1三个值之间切换。 * (5-10) 三位控制、离合控制 非干凡情况：因为u （t） =-sgnQ20），v（t） , v（t）1

19、 ,则系统状态不可能到达原点。 * 一 .一 - . -, 、 f * . f *. t f 1) u =1 为最优解；2)消耗燃料 P(*0,x20)=u (t)dt= L u (t)dt = X2 0 = X20 0 0 0 (2)(X10 , x20 ) = R4 八一一 一 * ,、 ， 、 ，.、 . . . . 非平凡情况：u (t) = -sgn0、20).v(t), V(t)(/) 一) (6 - 2) 求最优控制(/),使下列二次型性能指标最小. ./() = -eT(tf)Fe(tJ.) 4- er。)0。心)+ 。/ &(，)(，)出 (6-3 1 F一半正定对定

20、常效加权矩阵 W)半王定对称时交加权矩阵 R(ty 正定对称时变加权矩阵 In及人固定 正定二次型寸*黄 0 ./出*) 0 半正定二次型Vx O ,/Av 0 ; 实对称阵 A 为正定(半正定)的充要条件是全部特征值0 0). 加权矩阵总可化为对称形式。 O O O (ii) = eT ( )Fe(fj) + ； ： + u(t)T R(t)u(t)(1t (6 3)。 。 o o 性能指标的物理含义： 4 = e(t)TO(t)e(t) 0状态转移过程中衡量川)大小的代价函数 Lu =:(。以(/)(/) 0状态转移过程中衡量大小的代价函数 0(O)=X()R(o)zo一终端代价函数(衡量

21、终点误差)线性二次型问题的本质： 用不大的控制，来保持辕小的误差.以达到能量和误差螺含最优的目的 统性二次型问题的三种重要情形: t(/)= (6D y(i) = C(t)x(f) 照)=乂(。一即)(6-2) |1) d = O E) = Hf) = -e0 状 B) i顷)=。 即)=用) 输出调节器 |3) = 0 e(f) = U)-v(f) 跟踪问题 矩阵F,Q(t), R(t)的每一元素，都是对应二次项的系数。意义：是借以权衡各个误差分量和控制分量重要程度的 加权矩阵。对于重要的误差分量或控制分量， 其系数取较大值；对于次要的误差分量或控制分量， 系数取较小值; 而对于互不相关的误差分量或控制分量，系数取零值。 状态调节器：用不大的控制能量，使状态保持在零值附近，因而称之为状态调节器问题。 输出调节器：用不大的能量控制，使输出状态保持在零值附近，因而称之为输出调节器问题。 跟踪问题：用不大的控制能量，使 y(t)跟踪