职高数学基础模块各章节复习提纲精编版

1、第一章集合与充要条件一、集合的概念（一）概念1. 集合的概念：将某些的对象看成一个就构成一个集合，简称为。一般用表示集合。组成集合的对象叫做这个集合的。一般用表示集合中的元素。2. 集合与元素之间关系：如果 a 是集合 A 的元素，就说 aA，记作；如果 a 不是集合 A 的元素，就说aA，记作。3. 集合的分类：含有的集合叫做有限集；含有的集合叫做无限集；的集合叫做空集，记作。（二） 常用的数集：数集就是由组成的集合。1.自然数集：所有组成的集合叫做自然数集，记作；2.正整数集：所有组成的集合叫做正整数集，记作；3.整数集：所有组成的集合叫做整数集，记作；4.有理数集：所有组成的集合叫做有理

2、数集，记作；5.实数集：所有组成的集合叫做实数集，记作。（三） 应知应会：1.自然数：由和构成的实数。2.整数：由和构成的实数。偶数：被 2 整除的数叫做偶数；奇数：被 2 整除的数叫做奇数。3.分数：把平均分成若干份，表示这样的或的数叫做分数。 分数中间的叫做分数线。分数线的数叫做分母，表示把一个物体；分数线的数叫做分子，表示。4.有理数：和统称有理数。5.无理数：的小数叫做无理数。6.实数：和统称实数。二、集合的表示法表 示 法列 举法描 述 法定义将集合中的元素利用元素的来表示表示集合的方法。集合的方法。1. 在中画一条；2. 左侧写上集合的，并标出元素的；（如果上下文中能够明显看出集合

3、中的元素1. 将集合中的元素；为实数，可以不标出元素的取值范具体方法2. 用分隔；围。）3. 用括为一个整体。3. 右侧写出元素所具有的。【注】在使用描述法表示某些集合时，可以用来叙述集合的，再用括起来。优点明确、直接看到集合中的元素。清晰地反映出元素的特征性质。不足能表示的集合有限。抽象，不能直接看出元素。适用类型一般用来表示有限集。一般用来表示无限集。【几个常用集合的表示方法】（一）数集：集合列举法描述法偶数集合正偶数集合负偶数集合奇数集合正奇数集合负奇数集合1（二）点集：在平面直角坐标系中，由 x 轴上所有点组成的集合由 y 轴上所有点组成的集合由第一象限所有点组成的集合由第二象限所有点

4、组成的集合由第三象限所有点组成的集合由第四象限所有点组成的集合三、集合之间的关系集合间的子 集真子集相 等关系一般地，如果集合 B如果集合 B 是集合 A一般地，如果两个集的，并且 A中的元素集合 A合的元素，定义有元的元素，那么把集合 B那么就说这两个集合素属于 B，那么把叫做集合 A 的子集。相等。B 叫做 A 的真子集。符号表示B A（或AB）BA（或 AB）B A（或AB）读作BABA（或 AB）（或 AB）图示1.任何一个集合都是它自身的。明确2.空集是任何集合的；是任何集合的。3.一个集合中有 n 个元素，则它的子集的数目为；真子集的数目为。四、集合的运算（一）交集1.定义：一般地

5、，对于两个给定的集合 A、B，由的所有元素组成的集合叫做A与 B的交集。2.记作： AB；读作： AB。3. 集合表示： A _ B _ | _ _ 。4. 图示：用阴影表示出集合 A 与 B 的交集。ABAABB5. 性质：由交集的定义可知，对任意的两个集合 A、 B，有（1）AB_ ；（2） A A _, A_ ；（3） A B_ A, A B_ B。（二）并集1.定义：一般地，对于两个给定的集合A、B，由的所有元素组成的集合叫做A与 B的并集。2.记作： AB；读作： AB。3. 集合表示： A _ B _ | _ 。4. 图示：用阴影表示出集合 A 与 B 的并集。ABAABB5. 性

6、质：由并集的定义可知，对任意的两个集合 A、B，有（1） A B _ ；（2） A A _, A_ ；（3） A _ A B, B _ AB 。2（二）补集1. 全集：（1）定义：在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的，这个给定的集合叫做全集。（2）表示：一般用来表示全集。（3） 在研究数集时，经常把作为全集。2.补集的定义：如果集合 A 是全集 U 的，那么，由 U 中A 的所有元素组成的集合叫做 A的补集。3.记作：；读作：。4.集合表示： _ | _5.图示：用阴影表示出集合 A 在全集 U 中的补集。UA6. 性质：由补集的定义可知，对任意的集合A，都有（1）ACU A_；（2

7、）ACU A_；（3） CU (CU A)_ ；（4） CU ( AB)_ ；（5） CU ( AB)_ 。五、充要条件（一）相关概念：1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题。2. 命题的表示方法：使用小写英语字母 p、 q、 r、s 等表示命题。3. 真命题：成立（正确）的命题是真命题。4. 假命题：不成立（错误）的命题是假命题。5. “如果 .，那么 .”命题：一般形式为“如果 p，那么 q”。6. 题设（条件）：“如果”后接的 p。7. 结论：“那么”后接的 q。（二）充要条件：1. 充分条件：“如果 p，那么 q”是命题，而“如果q，那么 p”是命题，则称 p是 q 的充分条件。记作：

8、 pq；读作：由条件p结论 q。2. 必要条件：“如果 p，那么 q”是命题，而“如果q，那么 p”是命题，则称 p是 q 的必要条件。记作： pq；读作：由结论q条件 p。3. 充要条件：如果，并且，那么称 p 是 q 的且条件，简称充要条件。记作： pq；读作： p 与 q。4. 既不充分又不必要条件：如果，并且，那么称 p 是 q 的既不充分又不必要条件。第二章不等式一、比较实数大小的方法（一）实数的大小与正负1.正数零，负数零，正数负数。2.两个正数，绝对值大的数；两个负数，绝对值大的数。3.正数的和为数，负数的和为数。4.同号相乘（除）得数；毅号相乘（除）得数。5.互为相反数的两个数

9、之和为；互为倒数的两个数之积为。（二）数轴1.定义：数轴是一条规定了、的直线。2.意义：数轴上的点与实数是的关系。3.在数轴上，原点所代表的实数是，原点右边的点所代表的实数是数，原点左边的点所代表的实数是数。4.在数轴上，右边的点代表的数总比左边的点代表的数，即，越往右的点代表的数越，越往左的点代表的数越。5. 在数轴上，表示下列数的范围：（1）x 3；（2）x < 2；（3） 1 x < 3。3（三）比较两个实数大小的方法：比较法。一般地，对于两个任意的实数a 和 b，有ab0_; ab0_; ab0_.区间集合图像(a, b)二、不等式的基本性质1. 对称性： a b2. 传递

10、性： a b, b3. 加法性质： a b a b,。c_ 。_ ；cd_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。 a, b 4. 乘法性质： ab,c0_ ，_ ；ab, c0_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ ；_ab0 , cd0_ _ _ _ _ _ _ _ ；_ab0_ _ _ _ _ _ _ _ _ n _ _ (；ab0_ _ _ _ _ _ _ _ _ n _ _ (。三、区间（一）区间表示的对象：。由上两点间的一切所组成的集合叫做区间。这两个点叫做区间。（二）区间的分类及定义：1. 有限区间（1）开区间：端点的区间。（2）闭区间：端点的区间。（3）右半开区间：

11、端点的区间。（4）左半开区间：端点的区间。2. 无限区间：至少有一个端点的区间。（1）不存在右端点时，可以用符号表示，读作；（2）不存在左端点时，可以用符号表示，读作。（三）区间、集合与图像的关系设 a、b 为任意实数，且a < b ，则各种区间表示的集合如下表：( a, b a, b )(,b)(,b(a,)a,)(,)四、一元一次不等式1.定义：含有个未知数且未知数的最高次数是的不等式。2.一般形式： axb 0 (0)或 ax b 0 ( 0)，其中 a0 。3. 一元一次不等式在各种情况下的解集：4解集 ( a0)解集 (a 0,b24ac, x1x2 )方程或方程或不等式不等式

12、a 0000a 0yyyyaxb的图像yy2yaxbxc的图像OxOxOxOxOxax 2bxc0ax 2bxc0axb0ax2bxc 0描述法 :描述法 :ax 2bxc0axb0(axb 0)区间表示 :区间表示 :ax2bxc 0描述法 :描述法 :4.解一元二次不等式的基本步骤：（1）将不等式化为一元二次不等式的形式，并；axb 0区间表示 :（2）设 ax2bx c 0 ，并解方程；(axb 0) 区间表示 :（3）根据上表，写出一元二次不等式的解集。六、含绝对值的不等式（一）绝对值的概念五、一元二次不等式1.定义：含有个未知数且未知数的最高次数是的不等式。1.绝对值的含义：在上，任

13、意一个数所对应的点到的叫做该数的绝对值。2.一般形式：或，其中。2.正数的绝对值是，负数的绝对值是它的数，0 的绝对值是。3.一元二次不等式在各种情况下的解集：3.任意实数的绝对值是数，任意两个相反数的绝对值。5_,( x _ 0)4. 绝对值的符号表示：| x | _ 0,| x |_,( x _ 0)_,( x _ 0)5. 将方程 | x | 2 的解表示在数轴上：3 2 10123x将不等式 | x |2的解表示在数轴上：321 0123x将不等式 | x |2的解表示在数轴上：321 0123x（二）含绝对值的不等式1. 解题步骤：（1）将不等式化为含有绝对值的不等式的一般形式，即

14、| x | c 或 | x | c ； | x b |c 或 | xb | c ； | ax b |c 或 | ax b | c 。一般形式为：不等号左侧是，右侧是。（2）去掉绝对值符号，解出不等式：含绝对值0)| x | >c(c0)| x |< c(c的不等式描述法：描述法：解集区间表示：区间表示：数轴表示0x0x含绝对值0)| xb |> c(c0)| x b |< c(c的不等式去符号含绝对值0)| axb | > c(c0)| ax b | < c(c的不等式去符号第三章函数一、函数的概念（一）函数的概念1. 概念：在某一个变化过程中有个变量和，设

15、变量的取值范围为，如果对于内的每一个值，按照某个，都有的值与它对应，那么把叫做，把叫做的。记作：。2. 明确：（1）x 叫做，它的取值范围是叫做函数的；（2）y = f ( x ) 叫做；xx0 时，函数 yf ( x) 对应的值 y0 叫做函数在点 x0 处的；记作：。的集合叫做函数的。（3）函数定义中的两个要素是和。3. 函数定义域的求法：如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式的的取值范围。（1）当 f (x) 为整式时，函数的定义域是；（2）当 f (x) 为分式时，函数的定义域是；（3）当 f (x) 为偶次根式时，函数的定义域是；（4）分段函数的定义域

16、是各段自变量取值集合的；（5）当函数是实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使解析式有意义，还要考虑自变量的。4. 函数值及值域的求法：（1）求函数值：只要将x 的各个值函数解析式中进行即可；（2）求函数的值域：所有函数值组成的集合。（二）函数的表示法1. 解析法：利用表示函数的方法叫做解析法。6这个叫做函数的。【明确】求函数解析式的常用方法：待定系数法：已知函数的类型，可根据函数类型设其解析式，再由其他已知条件确定其系数。正比例函数的一般形式：；反比例函数的一般形式：；一次函数的一般形式：；二次函数的一般形式：。2.列表法：利用表示函数的方法叫做列表法。3.图像法：利用表示函数的方法叫做图像法。

17、（1）函数的图像：在中，以函数 yf ( x) 的自变量 x 为坐标，函数值 y 为坐标的点的集合。【明确】图像上每一点的坐标(x, y) 都函数解析式 y f ( x) ；以 yf ( x) 的每一组对应值 x，y 为坐标的点 ( x, y) 都。（2）作函数图像常用的方法：。其步骤是：；。二、函数的性质A 函数的单调性（一）函数的单调性的概念：随着的而（或）的性质叫做函数的单调性。设函数 yf (x) 在(a,b) 内有意义。如果对任意的 x1 ， x2(a,b) ，当时，（1）都有成立，那么函数 yf ( x) 叫做内的增函数，叫做函数 yf ( x) 的；（2）都有成立，那么函数 yf

18、 ( x) 叫做内的减函数，叫做函数 yf ( x) 的；如果函数 yf ( x) 在区间 ( a, b) 内是增函数或减函数，那么称函数在区间(a,b) 内具有，区间 (a, b) 叫做函数 yf (x) 的。（二）函数的单调性的理解：1. 函数的单调性是与紧密相关的，即函数的。一个函数在定义域内的不同区间内可以有的单调性。2. 注意关键词：（1）对“任意”的“ x1 ， x2(a, b) ”，即取特殊值，且必须；（2）“都有”即只要就一定有或。3.不是所有函数都有单调性：函数是没有单调性的；有些函数在整个定义域内是单调性的；有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性；有些函数在整个定义域的不

19、同区间上的单调性。（三）函数的单调性的图像特点：对于给定区间上的函数yf (x) ，1.函数图像从到，则称函数在该区间上单调递增是增函数；2.函数图像从到，则称函数在该区间上单调递减是减函数。（四）判断函数的单调性：1.图像法：作出函数的，根据图像的判断函数的单调性。2. 定义法：根据函数的单调性的定义判断函数的单调性。其步骤为：（1）设定自变量：设；（2）作差变形： 作，并通过、等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）确定大小：确定与的大小；（4）得出结论：根据得出结论。（五）函数的单调性的应用：1. 根据比较的大小；2. 根据比较的大小；3. 在给定区间内求函数的值或值。B函数的奇偶

20、性（一）函数的奇偶性的概念：设函数 yf (x) 的定义域为 D，如果对于任意的x D ，都有，则（1），那么函数 yf ( x)叫做偶函数；（2），那么函数 yf ( x)叫做奇函数。7（二）函数的奇偶性的理解：1. 函数按奇偶性可分为：、和。2. 讨论函数的奇偶性的一个前提条件：函数的。（1）若函数的，再讨论；（2）若函数的，则这个函数。（3）函数是既奇又偶函数。（三）函数的奇偶性的图像特点：1.如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像；如果一个函数的图像，则这个函数是偶函数。2.如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像；如果一个函数的图像，则这个函数是奇函数。3. 一般地，设点 P(a, b

21、) 为平面内的任意一点，则（1）点 P(a,b) 关于 x 轴的对称点的坐标为；（2）点 P(a,b) 关于 y 轴的对称点的坐标为；（3）点 P(a,b) 关于原点 O 的对称点的坐标为。（四）判断函数的奇偶性：1. 图像法：作出函数的，根据图像的判断函数的奇偶性。2. 定义法：根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性。其步骤为：（1）求出函数的；（2）判断定义域的对称性： 若定义域，则函数为； 若定义域，则进行；（3）比较 f ( x) 与 f ( x) ：确定，则函数为；或，则函数为；或，则函数为。3. 在公共定义域内：（1）若函数解析式中只含有x 的偶次方，则函数为函数；（2）若函数解析

22、式中只含有x 的奇次方，且，则函数为函数；若函数解析式中只含有x 的奇次方，且，则函数为函数。（五）函数的奇偶性的应用：1. 利用函数图像的对称性解决问题；2. 求函数关于原点对称的区间上的函数值或解析式；3. 函数的奇偶性与单调性的综合问题：主要体现在两个重要的性质；（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性；（2）偶函数在关于原点对称的区间上的单调性。三、函数的实际应用举例（一）分段函数1. 定义：函数在自变量的取值范围内，需要用的来表示，这种函数叫做分段函数。2. 分段函数的定义域：就是自变量的各个不同取值范围的。3. 分段函数的图像：在同一个坐标系中，分别在自变量的各个不同的取值范围内

23、，根据相应的式子作出相应部分的图像。（二）函数的实际应用1. 关键问题：（1）根据已知条件建立；（2）进行最值计算。（3）函数的定义域要受到的制约。2. 主要类型：（1）图形的面积：矩形的面积： S；圆的面积： S。（2）营销问题：成本 =；收入 =；利润 =。8第四章指数函数与对数函数一、实数指数幂（一） n 次方根：一般地，如果（ nN * 且 n1 ），那么 x 叫做 a 的 n次方根。1. 当 n 为偶数时：正数 a 的偶次方根有个，分别用和表示，其中叫做 a 的 n 次算术根；负数的 n 次方根。2.当 n 为奇数时：实数 a 的奇次方根只有个，记作。3.无论 n 为奇数还是偶数，零

24、的n 次方根是。（二） n 次根式：形如（ nN *且 n1 ）的式子叫做 a 的 n 次根式，其中， n 叫做， a 叫做。（三）整数指数幂：当 nN * 且 a0 时，an_ ； a n_；a0_； 。（四）分数指数幂：利用分数指数幂来表示。mmm1.规定： a n_ ；当 a n 有意义，且 a0 时， a n_ 。其中： m,nN* ，且 n1 .1111a 2_ ； a 3_ ； a 2_ ； a 3_ 。2.当 n 为奇数时， a 的取值范围是；当 n 为偶数时， a 的取值范围是。（五）实数指数幂的运算法则：a0 ， p, qRa paq_； a p_ ； (a p ) q_；

25、(ab) p_。a q二、对数（一）对数定义：如果abN （ a0, a1），那么 b 叫做，记作，其中 a 叫做，N 叫做。（二）指数式与对数式：形如的式子叫做指数式；形如的式子叫做对数式。当 a0 且 a1， N0 时，在下式中标出相应字母与名称：_log _ _（三）常用对数与自然对数：1.常用对数：以为底的对数叫做常用对数，简记为；2.自然对数：以为底的对数叫做自然对数，简记为。（四）对数的性质： a0且 a 11.log a 1_ ， loga a_ ， log a a n_ ；2.lg 1_ ， lg 10_ ，；3.ln 1_ ， ln e_ ， ln en_ ；4.N _ 0

26、，即和没有对数 .（五）对数的运算法则：a 0 且 a1， M0 ， N01.lg( MN ) _ _ ， lg M_ _ ，_， lg 1Nlg M n_ ；N2.ln( MN ) _ _ ， ln M_ _ ，Nln M n_ ， ln 1_ ；N3.log a (MN ) _， log aM_ _ ，Nn1，log a M_ _ ， log a N_ _log a nam_ _ 。9三、幂函数、指数函数、对数函数（三）对数函数（一）幂函数1.概念：形如（a）的函数称为对数函数。1.概念：形如（a）的函数称为幂函数。【明确】对数函数的自变量是数，数是常数。【明确】幂函数的自变量是数，数是常

27、数。2.性质：2.性质：函数（1）定义域：看。定义域值域 当 a 是正整数时，； 当 a 是负整数时，；0 a 1a 1 当 a 是正分数，且分母为偶数，分子为奇数时，；底数当 a 是正分数，且分母为偶数，分子为偶数时，；当 a 是正分数，且分母为奇数时，； 当 a 是负分数时，。图像（2）值域：由和决定。（3）单调性和奇偶性：看，具体问题，具体分析。（二）指数函数对数函数的图像一定经过点。1.概念：形如（a）的函数称为指数函数。在上是函数；在上是函数；【明确】指数函数的自变量是数，数是常数。单调性当 0x 1时， y；当 0x 1时， y；2.性质：当 x1时， y。当 x1时， y。函数定

28、义域值域奇偶性对数函数是函数。底数0a 1a 1（四）指数函数与对数函数的应用1.指数模型：，其中 c 为，a 为。一般情况下，已知起始数据，变化百分数和变化的时间求结果时，用指数模型。图像2.对数的应用：一般情况下， 已知起始数据， 变化百分数和变化后的数据或数据变化的倍数，用对指数函数的图像一定经过点。数求变化的时间。即 log变化百分数数据变化的倍数 。在上是函数；在上是函数；单调性当 x0 时， y；当 x0 时，；当 x0 时，。当 x0 时， y。奇偶性指数函数是函数。10第五章三角函数一、角的概念的推广（一）任意角的概念1. 角的概念：一条绕着它的旋转到另一位置形成的图形叫做角。

29、旋转开始的位置叫做角的，终止的位置叫做角的，端点叫做角的。正角：按方向旋转所形成的角；负角：按方向旋转所形成的角；零角：旋转所形成的角。2. 终边相同的角：与角终边相同的角（包括角在内）都可以写成。与角终边相同的角有个。与角终边相同的角所组成的集合为。3. 象限角和界限角：将角的与重合，与重合。（1）象限角：角的在的角就叫做第几象限的角；第一象限的角的集合是：；第二象限的角的集合是：；第三象限的角的集合是：；第四象限的角的集合是：；锐角：，钝角；【明确】锐角是第一象限的角，而第一象限的角是锐角；钝角是第二象限的角，而第二象限的角是钝角。（2）界限角：角的在的角就叫做界限角；直角：的角，平角：的

30、角，周角：的角。终边在 x 轴正半轴上的角的集合是：；终边在 x 轴负半轴上的角的集合是：；终边在 x 轴上的角的集合是：；终边在 y 轴正半轴上的角的集合是：；终边在 y 轴负半轴上的角的集合是：；终边在 y 轴上的角的集合是：。（二）弧度制1. 弧度制：（1）弧度：把等于长的所对的叫做 1 弧度的角。记作：或。【规定】正角的弧度为，负角的弧度为，零角的弧度为。（2）弧度制：以为单位来度量角的单位制叫做弧度制。（3）弧度的计算：公式：； 角度与弧度的转换：，；1_ ,1(rad )_ _ 。2. 常用特殊角的弧度与角度之间的转换：角度030456090120135150180弧度角度2102

31、25240270300315330360弧度二、三角函数（一）三角函数的定义1. 定义：一般地，设角是平面直角坐标系中的一个任意角，点为角上任意一点，点P 到的距离为且，那么角的正弦、余弦和正切分别定义为：sin_, cos_, tan_ 。2. 三角函数包括：、和。113. 三角函数的正负号：所在的点P的坐标costan象限sinxy第一象限第二象限第三象限第四象限【记忆要点】第一象限正，第二象限正，第三象限正，第四象限正。4. 特殊角三角函数值：2. 比例关系：。转化：、。【明确】（1）单位圆：在平面直角坐标系中， 以为圆心，为半径的圆叫做单位圆。（2）必须是同角才具备以上关系式。（3）角

32、的终边与单位圆的交点P 的坐标为。（三）诱导公式1. 终边相同的角的 同名三角函数值。2. 设角是第一象限的角（一般为090 ），则有030456090180270360弧度sincostan（二）同角三角函数的基本关系式1. 平方关系：。（1）转化一：；当角是第、象限的角时，取号，即；当角是第、象限的角时，取号，即；若没有说明角终边所在象限，则。（1）转化二：；当角是第、象限的角时，取号，即；当角是第、象限的角时，取号，即；若没有说明角终边所在象限，则。12（四）三角函数的图像和性质1. 正弦函数：（1）解析式：；2. 余弦函数：（1）解析式：；（2）定义域：；（2）定义域：；（3）值 域：；（3）值 域：；（4）周期性：周期性，最小正周期是；（4）周期性：周期性，最小正周期是；（5）单调性：（5）单调性：正弦函数在每一个区间(kZ ) 上分别是增函数，函数值(kZ ) 上分别是增函数，函数值由增大到；