DCT变换与KLT变换在图像压缩中的应用

1、DCT变换与KLT变换在图像压缩中的应用 专业：电子与通信工程 学号：16213026 16213024 姓名： 目录1 报告简介12 算法原理12.1 DCT算法原理12.2 KLT算法原理33 仿真分析53.1 DCT仿真分析53.2 KLT仿真分析75 总结8参考文献9附录：MATLAB代码101DCT变换与KLT变换在图像压缩中的应用1 报告简介随着数据化时代的开启，图像压缩技术越来越成熟并且应用越来越广泛，本文在研究近年来图像压缩一般方法的基础上，介绍了基于DCT变换的图像压缩的基本原理及其实现步骤，以及扩展研究了KL变换的图像压缩方法，并使用MATLAB,针对同一幅原始图像进行不同

2、方法的压缩比较，给出了实验仿真结果。本论文首先提出了用MATLAB来实现DCT变换的数字图像压缩技术, 方法简单,快速,且误差小。然后介绍了KLT图像压缩编码的具体过程和方法。最后分析了图像经过2种压缩方法时，图像质量的变化情况。2 算法原理2.1 DCT算法原理DCT变换利用傅立叶变换的性质。采用图像边界褶翻将像变换为偶函数形式，然后对图像进行二维傅立叶变换，变换后仅包含余弦项，所以称之为离散余弦变换。DCT编码属于正交变换编码方式，用于去除图像数据的空间冗余。变换编码就是将图像光强矩阵(时域信号)变换到系数空间(频域信号)上进行处理的方法。在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是在某些特定

3、的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目的。图像经DCT变换以后，DCT系数之间的相关性就会变小。而且大部分能量集中在少数的系数上，因此，DCT变换在图像压缩中非常有用，是有损图像压缩国际标准JPEG的核心。从原理上讲可以对整幅图像进行DCT变换，但由于图像各部位上细节的丰富程度不同，这种整体处理的方式效果不好。为此，发送者首先将输入图像分解为或块，然后再对每个图像块进行二维DCT变换，接着再对DCT系数进行量化、编码和传输；接收者通过对量化的DCT系数进行解码，并对每个图像块进行的二维DCT反变换。最后将操作完成

4、后所有的块拼接起来构成一幅单一的图像。对于一般的图像而言，大多数DCT系数值都接近于0，所以去掉这些系数不会对重建图像的质量产生较大影响。因此，利用DCT进行图像压缩确实可以节约大量的存储空间。基于DCT的JPEG图像压缩编码算法原理可用图1表示：构造N*N块量化器正向DCT熵编码压缩图像原图像熵解码逆向DTC量化器构造N*N块压缩图像重构图像（a）编码器（b）解码器图1 DCT算法原理框图在编码过程中，首先将输入图像颜色空间转换后分解为8×8大小的数据块，然后用正向二维DCT把每个块转变成64个DCT系数值，其中1个数值是直流(DC)系数，即8×8空域图像子块的平均值，其

5、余的63个是交流(AC)系数，接下来对DCT系数进行量化，量化过程实际上就是对 DCT 系数的一个优化过程，它是利用了人眼对高频部分不敏感的特性来实现数据的大幅简化。量化过程实际上是简单地把频率领域上每个成份，除以一个对于该成份的常数，且接着四舍五入取最接近的整数。这是整个过程中的主要有损运算。量化是图像质量下降的最主要原因。量化后的数据，有一个很大的特点，就是直流分量相对于交流分量来说要大，而且交流分量中含有大量的0。这样，对这个量化后的数据如何来进行简化，从而再更大程度地进行压缩呢。将量化后的系数进行“Z”字形编排，这样做的特点就是会连续出现多个0，即充分利用相邻两图像块的特性，来再次简化

6、数据，从而再更大程度地进行压缩。最后将变换得到的量化的DCT系数进行编码和传送，这样就完成了图像的压缩过程。在解码过程中，形成压缩后的图像格式，先对已编码的量子化的DCT系数进行解码，然后求逆量化并把DCT系数转化为8×8样本像块(使用二维DCT反变换)，最后将操作完成后的块组合成一个单一的图像。这样就完成了图像的解压过程。一个块的二维DCT的定义如下： （1）对应的块的二维IDCT则为： （2）式中，空域的、，频域的、取值集合均为，其中： （3）将离散余弦变换变换写为矩阵形式为： （4） （5）其中，为正交变换矩阵，为原图像块，为变换域图像块。2.2 KLT算法原理KLT变换又称H

7、otelling变换，特征向量变换或主分量方法。KL变换是遥感图像增强和信息提取中用得最多的线性变换，是对原波段图像进行波谱信息的线性投影变换，在尽可能不减少信息量的前提下，将原图像的高维多光谱空间的像元亮度值投影到新的低维空间，减少特征空间维数，达到数据压缩、提高信噪比、提取相关信息、降维处理和提取原图像特征信息的目的，并能有效地提取影像信息。它可使原来多波段图像经变换后提供出一组不相关的图像变量，最前面的主分量具有较大的方差，包含了原始影像的主要信息，所以要集中表达信息，突出图像的某些细部特征，可采用主分量变换来完成。KL变换是图像压缩中的一种最优正交变换。KLT的突出优点是去相关性好，它

8、根据具体的图像统计特性来决定它的变换矩阵，对图像有最好的匹配效果，能将信号在变换域的相关性全部解除，是最小均方误差下的最佳变换。恢复图像KLT变换量化区域抽样哈弗曼编码KLT逆变换量化恢复抽样恢复哈弗曼译码原图像KLT原理框图可表示为：图2 KLT算法原理框图KLT变换就是对8x8的图像矩阵求自协方差矩阵，对自协方差矩阵做特征值分解，得到由特征值从小到大排列的对角矩阵，和由特征向量组成的矩阵，特征矩阵与图像矩阵做乘法，称为正交变换，即KL变换，的到的新的矩阵每一行称为一个新的变量，其中第一行几乎包含了总方差以上的信息，其余行包含的信息依次减少，新矩阵的个元素之间是不相关的，因而KL变换去掉了变

9、量之间的相关性。KLT是对向量做的一个正交变换，目的是变换到后去除数据相关性。其中，是特征向量组成的矩阵，满足，当都是实数时，是正交矩阵。用表示向量的平均值，的协方差矩阵记为，通过变换，得到： （6）写成矩阵形式： （6）由此可见，做了KLT变换之后呢，成为了对角阵，也就是对于任意，有，当有，因此利用KLT去除了数据相关性。而且，的方差与协方差矩阵的第个特征值相等即。3 仿真分析利用MATLAB对算法进行仿真分析，测试环境为：操作系统为Win7，CPU为i5-3210M，内存为4GB，使用的MATLAB版本为R2012b。利用MATLAB产生仿真图形界面如图3所示。图3 DCT和KLT仿真图形

10、界面设计3.1 DCT仿真分析输入一幅图像，通过改变DCT量化值进行图像压缩，同时，利用相关参数对图像质量进行对比分析，图4为经过DCT压缩的效果对比图。 （a）原始图像 （b）量化程度为16 （c）量化程度为32 （b）量化程度为64图3 运用 DCT变化进行图像压缩效果对比图通过肉眼观察，可以发现量化程度越大图像越清晰，反之，越模糊，细节信息越差。采用不同的量化程度可以改变图像的清晰度及文件的大小，本文将利用图像的相关性能参数对压缩图像进行比较。图像的方差、平均梯度、信息熵及对比度与图像质量正相关。图像方差越大，表明图像灰度层次越丰富；平均梯度越大，图像层次越多；信息熵越大，表明图像的信息

11、量越大。通过表1，可以清晰地看出量化程度越大，得到的压缩图像性能越好，相对的图像大小也增大，但原图相比，图像性能变化不明显，但压缩效果明显。表1 DCT变换得到压缩图像性能参数比较方差平均梯度信息熵（bit）文件大小（KB）图3（a）1.9545e+035.43047.177126.4图3（b）1.8785e+033.44707.14129.82图3（c）1.9011e+034.10217.153812图3（d）1.9167e+034.38527.155812.73.2 KLT仿真分析利用KLT算法对图4（a）图进行图像压缩得到图5。 （a）量化程度为16 （b）量化程度为32 （c）量化程度

12、为32 （b）量化程度为64图4运用 KLT变化进行图像压缩效果对比图从图像的方差、信息熵及平均梯度对图像性能进行分析，得到表2。表2 KLT变换得到压缩图像性能参数比较方差平均梯度信息熵（bit）文件大小（KB）图3（a）1.9545e+035.43047.177126.4图4（a）1.8484e+032.88657.12269.21图4（b）1.8759e+033.68477.140411.4图4（c）1.9031e+034.32257.156112.8图4（d）1.9212e+034.45887.156312.8由表2可以得到KLT变换可以对图像进行压缩，并且采用相同的量化程度，DCT比

13、KLT变化效果较好。5 总结本文叙述的图像压缩编码算法，DCT是正交变换，它可以将8*8图像的空间表达式转换为频率域，只需要用少量的数据点表示图像；DCT产生的系数很容易被量化，因此能获得好的块压缩；DCT算法的性能很好，它有快速算法，因此它在软件中容易实现；而且DCT算法是对称的，所以利用逆DCT算法可以用来解压缩图像。由实验仿真结果可知，当图像压缩比增大时，也即压缩效率减小时，图像的质量也将降低，人们可以根据需要的图像的质量来规定压缩比的大小。图像经过不同的压缩比后，图像的质量变化的同时，图像的信噪比也跟着变化。压缩比增大时，则在信道传输的时候丢失的信息就越多，这样使得信号与噪声的比值变小

14、。利用DCT变换进行图像压缩可以节约大量的存储空间。压缩应该在最合理地近似原图像的情况下使用最少的系数。由于之前存在对KLT变换的误解，在进理论补充后，发现该方法并不能全部消除变换后系数间的相关性，各数据块之间相关性没有消除，数据块也可能存在极弱的相关性。由于水平有限，并不能解决，即使如此，该方法应用于图像的压缩编码中效果也极其明显。KLT没有快速算法，因此对信息量大的图像编码速度比较慢，但在此次试验中用的是较小的图像，所以处理速度效果不明显。参考文献1N Ahmed，T Natarajan，K.T.Rao Discrete cosine transformJIEEE TranOn Compu

15、ters, 1974, C-23: 90-93 2 全子一 图像信源压缩编码及信道传输理论与新技术M 北京：北京工业大学出版社， 20063 何小海，主编数字图像通信及其应用M成都:四川大学出版社，2006 4 罗开仲，黄士坦，杨华民DCT算法及其与小波编码在图像处理中的比较J 计算机技术 与发展，2006，16(9) 5 Xiong Z，Orchard M，Guleryuz OA DCT-based embedded image coder JIEEE Signal Processing Letters，1996，11(3):289-290 6Shaorong Chang，Lawrence

16、Carin，A modified SPIHT algorithm for image coding with a joint MSE and classification distortion measure J. IEEE Transactions on Image Processing， 2006， 15(3): 713-725 附录：MATLAB代码%主程序clc;clearI=imread('football.jpg');clf reset set(gcf,'unit','normalized','position',0.

17、1,0.2,0.45,0.45);%设置图形窗大小set(gcf,'defaultuicontrolunits','normalized');set(gcf,'defaultuicontrolfontsize',11);set(gcf,'defaultuicontrolfontname','楷书');set(gcf,'defaultuicontrolhorizontal','left');% set(gcf,'menubar','none'); %删除

18、图形窗工具条str='KLT DCT性能比较'set(gcf,'name',str ,'numbertitle','off'); %书写图形窗名z=32;str1='量化程度'htext=uicontrol(gcf,'style','text',. %制作静态说明文本框 'position',0.1,0.8,0.33,0.1,. 'string',str1,sprintf('%1.4g',z);hslider=uicontrol(gcf

19、,'style','slider',. %创建滑动键 'position',0.1,0.6,0.8,0.1,. 'max',64,'min',0,. %设最大阻尼比为2，最小阻尼比为0.02 'sliderstep',1/64,1/64,.%箭头操纵滑动步长1%，游标滑动步长5% 'Value',32); %缺省取阻尼比等于0.5 set(hslider,'callback',. %操作滑动键,引起回调 'z=get(gcbo,''value&

20、#39;');',. %获得滑动键状态值 'callcheck(htext,str1,z)'); %被回调的函数文件 hpush=uicontrol(gcf,'Style','push',. %制作与列表框配用的按键 'position',0.1,0.05,0.18,0.15,'string','原始图像');set(hpush,'callback','jpeg_show(I)') hpush=uicontrol(gcf,'Style'

21、,'push',. %制作与列表框配用的按键 'position',0.4,0.05,0.18,0.15,'string','KLT');set(hpush,'callback','jpeg_klt(I,z)') hpush=uicontrol(gcf,'Style','push',. %制作与列表框配用的按键 'position',0.7,0.05,0.18,0.15,'string','DCT');set(hpush

22、,'callback','jpeg_dct(I,z)') %灰度图像的klt正反变换 function y=klt(x,mask) IM=x;%读取图像 IM=im2uint8(IM); %若图像尺寸不是8的整数倍，补0，补成8的整数倍 cc1,cc2=size(IM);%cc1为IM的行数，cc2为IM的列数 a=8-mod(cc1,8); b=8-mod(cc2,8); cc3=cc1+a; cc4=cc2+b; IM(cc3,cc4)=IM(cc1,cc2); IM(1:cc1,cc2+1:cc4)=IM(1:cc1,cc2-b+1:cc2); IM(cc

23、1+1:cc3,1:cc2)=IM(cc1-a+1:cc1,1:cc2); IM(cc1+1:cc3,cc2+1:cc4)=IM(cc1,cc2); %若图像尺寸不是8的整数倍，补成8的整数倍 k=1; for l1=1:8:(cc3-7) %将图像矩阵-8X8的矩阵存起来 for l2=1:8:(cc4-7) F(:,:,k)=IM(l1:l1+7,l2:l2+7); k=k+1; end %将图像矩阵-8X8的矩阵存起来 end F=uint8(F); k=k-1; qq=k; d=0; d=uint32(d); IM=uint32(IM); for n1=1:cc3 %求均值 for n

24、2=1:cc4 d=IM(n1,n2)+d; end end d=d/(cc1*cc2); d=uint8(d); %求均值 IM=uint8(IM); B2=zeros(64); jz=d;%jz为灰度均值 for ee=1:qq A=F(:,:,ee); TZZ;%调用函数求一个8X8的矩阵的特征矩阵 B2=B2+B; end B=B2/ee;%B为均方差矩阵 V,D=eig(B);%求特征向量与特征值 Q=V' for k=1:qq A=F(:,:,k); ee=1; for n1=1:8 %将元素变换成一维 for n2=1:8 %将元素变换成一维 X(ee,1)=A(n1,n

25、2); YSZ(ee,1)=mask(n1,n2);%YSZ为mask变换成的一维数组 ee=ee+1; end %将元素变换成一维 end %将元素变换成一维 X=double(X); Y=Q*X;%变换后的矩阵放在Y中 Y=flipud(Y); Y=Y.*YSZ; Y=flipud(Y); X1(:,:,k)=Q'*Y;%求还原后的矩阵 end k=1; for l1=1:8:(cc3-7) %将矩阵8X8矩阵放入IM2中 for l2=1:8:(cc4-7)%将矩阵8X8矩阵放入IM2中 H2=X1(:,:,k); ee=1; for n1=1:8 for n2=1:8 C2(n

26、1,n2)=H2(ee,1); ee=ee+1; end end IM2(l1:l1+7,l2:l2+7)=C2; k=k+1; end %将矩阵8X8矩阵放入IM2中 end %将矩阵8X8矩阵放入IM2中 IM=IM(1:cc1,1:cc2); IM2=IM2(1:cc1,1:cc2); y=uint8(IM2);function jpeg_dct(I,z)tic% I=imread('football.jpg');%读入原始图像，该图片在安装matlab的目录中找，原图为jpeg图象Y=im2double(I);%图像存储类型转换，matlab读入图像的数据是uint8，

27、而matlab中数值一般采用double型（64位）存储和运算。所以要先将图像转为double格式的才能运算T=dctmtx(8);%离散余弦变换矩阵，使用由dctmtx函数返回的DCT变换矩阵，这种方法较适合于较小的输入方阵（例如8×8或16×16），计算二维DCT，矩阵T及其转置是DCT函数P1*X*P2的参数%B = blkproc(A,m n,fun, parameter1, parameter2, .)%x就是每一个分成的8*8大小的块，P1*x*P2相当于像素块的处理函数，p1=T p2=T,也就是fun=p1*x*p2'=T*x*T'的功能是进

28、行离散余弦变换%x代表A，对一副原始图像，选取它的最左上角8x8的矩阵，并将每一个像素值转换到-128到127的范围内，得到矩阵x.%RGB图像分三个通道，分别处理B(:,:,1)=blkproc(Y(:,:,1),8 8,'P1*x*P2',T,T');%将原始图像8x8的像素块转换成代表不同频率分量的系数集，DCT后的64个DCT系数与DCT前的64个像素块相对应B(:,:,2)=blkproc(Y(:,:,2),8 8,'P1*x*P2',T,T');B(:,:,3)=blkproc(Y(:,:,3),8 8,'P1*x*P2

29、9;,T,T');%对原图像进行DCT变换z=fix(z);%量化，向0靠拢取整t(1:z)=1;t(z+1:64)=0;mask=jpeg_Dzz8(t);%Z字形扫描B2(:,:,1)=blkproc(B(:,:,1),8 8,'P1.*x',mask);%只保留DCT变换的左上角10个系数，数据压缩，丢弃右下角高频数据，达到图像压缩的目的B2(:,:,2)=blkproc(B(:,:,2),8 8,'P1.*x',mask);%变换后的系数值较大的会集中在区域的左上部，即低频分量都集中在左上部。保留的也是这一部分。B2(:,:,3)=blkproc

30、(B(:,:,3),8 8,'P1.*x',mask);%其他部分的系数被舍去，在恢复信号时对它们补 0 。这样以来，由于保留了大部分图像信号能量，在恢复信号后，其质量不会产生显著变化。%数据压缩，丢弃右下角高频数据I2(:,:,1)=blkproc(B2(:,:,1),8 8,'P1*x*P2',T',T);%重构图像I2(:,:,2)=blkproc(B2(:,:,2),8 8,'P1*x*P2',T',T);I2(:,:,3)=blkproc(B2(:,:,3),8 8,'P1*x*P2',T',T)

31、;%进行DCT反变换，得到压缩后的图像figure;set(gcf,'unit','normalized','position',0.4,0.5,0.3,0.3);%设置图形窗大小set(gcf,'menubar','none'); %删除图形窗工具条str='量化程度'set(gcf,'name',str sprintf('%1.4g',z),'numbertitle','off'); %书写图形窗名imshow(I2)title(&

32、#39;DCT变换压缩后的图像')imwrite(I2,'dct.jpg');%输出压缩后的图像，文件名为football_dct.jpga=toc;uicontrol('style', 'text', 'unit', 'normalized', . 'position', 0 0 0.2 0.1, 'string', num2str(a), . 'FontSize', 18)%搜索方式：对角的Z字形扫描;二维的图像矩阵利用一维的搜索方式。function y

33、=jpeg_Dzz8(x)t=1;for k=2:9 for m=1:k-1 if rem(k,2)=0 y(k-m,m)=x(t); t=t+1; else y(m,k-m)=x(t); t=t+1; end endendfor k=10:16 for m=k-8:8 if rem(k,2)=0 y(k-m,m)=x(t); t=t+1; else y(m,k-m)=x(t); t=t+1; end endendfunction callcheck(htext,str1,z)set(htext,'string',str1,sprintf('%1.4g',z);

34、 %更新静态文本框内容 <2function jpeg_klt(I,z)tic% I=imread('football.jpg');%读入原始图像，该图片在安装matlab的目录中找，原图为jpeg图象z=fix(z);%量化，向0靠拢取整t(1:z)=1;t(z+1:64)=0;mask=jpeg_Dzz8(t);%Z字形扫描I2(:,:,1)=klt(I(:,:,1),mask);I2(:,:,2)=klt(I(:,:,2),mask);I2(:,:,3)=klt(I(:,:,3),mask);figure;set(gcf,'unit','no

35、rmalized','position',0.2,0.5,0.3,0.3);%设置图形窗大小set(gcf,'menubar','none'); %删除图形窗工具条str='量化程度'set(gcf,'name',str sprintf('%1.4g',z),'numbertitle','off'); %书写图形窗名imshow(I2);title('KLT变换压缩后的图像') imwrite(I2,'klt.jpg');%输出

36、压缩后的图像，文件名为klt.jpga=toc;uicontrol('style', 'text', 'unit', 'normalized', . 'position', 0 0 0.2 0.1, 'string', num2str(a), . 'FontSize', 18)function jpeg_show(I)% I=imread('football.jpg');figure;set(gcf,'unit','normalized','position',0,0.5,0.3,0.3);%设置图形窗大小set(gcf,'menubar','none'); %删除图形窗工具条str='KLT DCT性能比较'set(gcf,'name',str ,'numbertitle',&