(整理)第十四章幂级数41618

1、1.(11)(12)(13)第十四章幕级数1幕级数的收敛半径与收敛区域求下列各幕级数的收敛域J (2x1；n 4 n! 1COzn z!i'n +1lAn2、x_n生21)n；nnnm(2 n 1)!_n2nx ；洱xn;Fn心52岛xn;COxn;n(14):(x-2严. n4 (2n -1)!；(15):2nv a xn 4n (0< a<1);(16)- nJ Xpn 4 n2设幕级数y anxn的收敛半径为 Rn z0收敛半径:、bnxn的收敛半径为 Q，讨论下列级数的n=07 anx2n ;n 4CO、(anbn)Xn ；n 4cO7 anbnXn .n in k

2、 .3设 | 二 akXi I < M ( n =0,1,Xi 0)，求证：当 0v x v Xi 时，有 k=0qQanXn收敛；n =0QO Z anxn EM .n=02幕级数的性质oO1 .设 f (x) = v anXn 当n=0x Iv r时收敛，那么当乩rn 1收敛时有n=0 n 1f (x)dx 八-arn 1, nT n +10不论'二anxn当x = r时是否收敛n =0利用上题证明1n(1 -x)x用逐项微分或逐项积分求下列级数的和:co- n' nx ；n 4oO' n(n 1)xn ；n 4COzn =1(-1)nJ2nn(2 n _1)

3、COzn in21 nn 3、xn n 生(n 1)!4n JxqQ二(2n 1 -1)xn;n =0co2 nn xn =1、：Hx2- 1 n 1 n!求下列级数的和:oozn 12n -12ncdzn 11n(2 n 1)证明：4n2.3.4.5.- 满足方程y=y ； n£ ( 41 ) !00 xn ”，2满足方程xy y- y = 0.n卫(n!)qQ6.设f(x)是幕级数v anxn在(-R, R)上的和函数，若f(x)为奇函数，则级数中仅n=0出现奇次幕的项；若f (x)为偶函数，则级数中仅出现偶次幕的项7.设f (x)=旳xn2 - .n4 n 1n(1 n)求证:

4、f(x)在-1,1连续，f'(x)在(-1,1)内连续;求证:f (x)在点x = -1可导；求证:lim f '(x)=:-；X 1 -求证：f (x)在点X = 1不可导3 函数的幕级数展开1.利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为麦克劳林级数，并说明收敛区间1，a=0；a x1(1x(i(1 x)3cos2 x； sin3 x;x1 -3x(1 x)e. 1n(x 亠-1 x2);11 -3x 2x2 arcs inx;2(11)1n( 1 x x );(12) xarcta nx - I n 1 x2;(13)sinttdt;X 2(14) pCOStdt.2 利用幕级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式:1n(1x )1 +x '(a r ct <xn ；) 1n 2(1-x).3 将下列函数在指定点 x0展开为泰勒级数:1，Xo 二 b(= a);a -x1 1n2 ,x° = - 1;2+2x + x2 In x, x =2 ; ex,xo =1.e 1n4展开(一)为x的幕级数，并推出1-.dx xnm (n+1)!x 15试将f(x) =ln x展开成的幕级数x+16.设函数f (x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界，即存在M > 0,对一切(