(整理)平面向量第一讲

1、汪博教育5398006平面向量第一讲向量的加减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算主讲：龚荣峰 要点扫描1向量是既有又有的量，向量常用 线段来表示，向量 AB的长度记作;长度为零的向量叫做 ，记作，长度为1的向量叫做 ；方向相反或相同的向量叫做 也叫做，长度相等且方向相同的向量叫做2实数k与向量a的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：(1)|ka|=(2)当k>0时，ka与a的方向；当k<0时，ka与a的方向;当k=0时，ka=3向量b与向量a共线的的充要条件是 其中a不为零向量4向量加法的运算律：(1)；实数与向量的积的运算律-5在平面直角坐标系中，设i , j分别是方

2、向与x轴、y轴正向相同的单位向量，a是平面内任一向量，且a=x i +yj，则称为a的坐标，记作a=(，)6 设 a= ( c, d) , b=(e, f)贝V a+b=(,) ,a-b= (,)ka=(,)7设 A= (c, d), B= (e, f),贝U AB =, | AB |=8 a= (c, d) , b= (e, f)，贝U a/b 等价于考题热身1 在厶 ABC 中，AB=c , AC = b ,若点 D 满足 BD =2 DC，求 AD2 已知平面向量 a= (1, 2) , b= (-2, m),且 a/b ,求 2a+3b考点解读 考点1向量的概念(1 )向量的表示方法向

3、量的起点为A，终点为B,则记为AB，若只研究向量的大小和方向，不关心起点时，可 用a、 b来表示(2 )向量的模如果AB =a,那么AB的长度表示向量a的大小，也叫做向量 a的模，记作| AB |=|a|(3 )对零向量、相等向量、共线向量的说明零向量的方向不确定，任意，两个零向量相等，模为零的向量一定是零向量；任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；共线向量也叫平行向量，任一向量都与自身是平行向量，并且规定零向量与任一向量都是平行向量 考点2向量的加减法（1）向量的加法可以按照平行四边形法则、三角形法则（2）向量的减法实质是向量加法的逆运算考点3实数与向量

4、的乘积实数k与向量a的积是一个向量，记作 ka考点4实数与向量的积满足的运算律设入谟实数，则有X a =（入）a（入+ p） a =入 a+Xa+ b）=入a Xb考点5向量共线的条件平行向量基本定理：若 a=kb,则a/b，若a/b（ b不为零向量）则一定存在一个实数k使a=kb考点6平面向量的坐标表示已知 a=xi+yj，则 a=（,）考点7两向量平行的条件的坐标表示（1）设 a=（e, f）, b=（g, h）则 a/b 等价于（2）设a=（e,f）,b=（g,h）, b不平行于标轴，则a/b等价于 典例精析 题型一考查基本概念例1如图51,在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中,

5、 M为AC与BD的交点，若AB =a, A D11 1A. a+ b+c2 21 1B. a+ b+c2 211C. a b+ c2211D. a b+ c22题型二向量加法、减法及数乘的应用图5 1例2若a、b、c为任意向量,mR，则下列等式不一定 成立的是A. (a+b) +c=a+ (b+c)C. m (a+b) =ma+mbB. (a+b) c=a c+b cD. (a b) c=a (b c)DC 2BD ,题型三共线向量与三点共线问题例3设D、E、F分别是三角形ABC的三边BC,CA,AB的点，且CE 2EA , AF 2FB 则 AD BE BC 与 BC 的关系题型四 平面向量

6、的基本定理及运用例4在三角形 ABC中点M是BC的中点，点 N在边AC上，且AN=2NC,AM与BN相 交于点P求AP:PM的值题型五 坐标值的运算例5若向量a= (3, 2), b= (0, 1),则向量2b a的坐标是()A. (3, 4)C. (3, 4)B. ( 3, 4)D. ( 3, 4)AB , AC例6已知 A(1,-2),B=(2,1),C=(3,2 )和 D(2,3 )以为一组基底来表示AD BD CD题型六 向量平行的充要条件的运用例7已知A( 4,0) B(4,4) C( 2,6)求AC和OB的交点P的坐标题型七数学思想法例8在三角形 ABC中，D、E、F分别是 AB、

7、BC、CA的中点，G是它的重心，已知D( 1,2)，E (3,5)，F (2,7)求 A、B、C、G 的坐标反馈训练1设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线,则 ( a b) c( c a) b=0 |a| |b|<|a b| 3( b c) a( c a) b 不与 c垂直 3a+2b) ( 3a 2b) =9|a|2 4|b|2 中，是真命题的有()A.B.C.D.2如果直线I沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的 位置，那么直线I的斜率为( )11A. -B. 3C. -D.3333 已知 a+b=2i 8j, a b= 8i+16j，那么 a

8、 b=.4 已知 a=(2, 1), b=(_3 , 4)，求 a+b, a-b, 3a+4b 的坐标5已知平行四边形ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为（-2, 1）、（-1 , 3）、（3, 4），求 顶点D的坐标.6 已知点 A（0，1），B（1，0），C（1，2），D（2，1），求证：AB / CD .7 已知 A(-1 , -1), B(1 , 3), C(2, 5),求证 A、B、C 三点共线8 已知两点 M ( 1 , 0), N (1 , 0),且点 P 使 MP MN ,PM PN, NM NP成公差小于零的等差数列求点P的轨迹是什么曲线？9四棱锥PABCD中，底面AB

9、CD是一个平行四边形，AB =2 , 1, 4, AD =4 ,2 , 0, AP = 1 , 2 , 1.对于向量 a=x1 ,y1 ,Z1,b=x2 ,y2 ,Z2,c=x3,y3 ,z3,定义一种运算：(a x b ) C=X1y2Z3+X2y3Z1 + X3y1Z2 X1y3Z2 X2y1Z3 X3y2Z1 ,试计算( AB XAD) AP的绝对值的值10已知向量a, b的坐标，求a+b, a-b的坐标.a=(-2 , 4) , b=(5, 2);(2)a=(4, 3) , b=(-3 , 8);(3)a=(2 , 3), b=(-2 , 3);a=(3, 0), b=(0 , 4);11 已知 a=(3