高数A1知识点回顾

1、一、 无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .Note: 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1类似可证类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .0sinlimxxx二、 极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(

2、lim)(limxgxfBA定理定理 3 . 若若推论: 若,)(lim,)(limBxgAxf且且),()(xgxf则则.BA定理 4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfHint: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明证明 .Note: 定理定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数为正整数 )BA定理 5 . 若,)(li

3、m,)(limBxgAxf且且 B0 , 则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA一般有如下结果：为非负常数为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如P47 例例5 )( 如如P47 例例6 )( 如如P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当定理定理7. 设设,)(lim0axxx且且 x 满足满足100 xx时时,)(ax 又又,)(limAufau则有则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim极限存在准则Axfxx)(lim0:nx,0 xxn),(0nxxnAxfnn)(lim有有)(nxf定

4、理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义有定义, )(0nxxn且且.)(limAxfnn有有Note: 此定理常用于判断函数极限不存在此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于找两个趋于0 x的不同数列的不同数列nx及及,nx使使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nxxx1sinlim0不存在不存在 .二、导数(derivative)的定义0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000切

5、线方程切线方程:000()()fxyyxx法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyo在 x = 0 处连续 , 但不可导.xy 处可导在点xxf)(定理定理1.处连续在点xxf)()(xf在闭区间 a , b 上可导,)(baCxf定理定理3. 函数例例. . 函数函数y y=|=|x x| |在在x x=0=0处连续但不可导处连续但不可导。注意注意: )()(00 xfxf？一、四则运算求导法则 定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、商 (除分母

6、为 0的点外) 都在点 x 可导,)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv积、在点 x 可导,三、复合函数求导法则(Chain Rule)定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy 在点 x 可导,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.思考题)0, 0(ybaaxxbbaybax，求求已已知知： 数数。提提示示：对对等等式式两两边边取取对对来来解解决决。对对数数恒恒等等式式可可以以利利用用形形

7、如如下下节节课课再再讨讨论论）但但对对于于种种方方法法叫叫对对数数求求导导法法然然后后求求导导数数的的方方法法，这这取取两两边边取取对对数数的的函函数数求求导导时时，往往往往采采形形式式的的函函数数和和形形如如对对于于表表达达成成积积、商商、幂幂xexlng(x)g(x)f(x)(f(x) ).0( ,ln xxbxabayy四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )( x1 x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tanxx2sec )(cotxx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(

8、xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证 ,说明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数二、高阶导数的运算法则都有都有 n 阶导数阶导数 , 则则)()(. 1

9、nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式)(xuu 及及)(xvv 设函数设函数vunn) 1(高阶导数的基本公式高阶导数的基本公式)0a (alna)a (nx)n(x)2nxsin()x(sin)n()2nxcos()x(cos)n(n1n)n(x)!1n() 1()x(lnnm)n(mx) 1nm() 1m(m)x(n)n()ax)(1n() 1()ax(隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF0)

10、,(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y)(xfy , )(0 xfAxxfy)(d0定理定理 : 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x在点 处可导,0 x二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()

11、(lim)()(limxFxfxFxfaxax(Hospitals rule) )(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(limxFxfax)()(limxFxfax(洛必达法则)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 泰泰勒勒( (T Ta ay yl lo or r) )中中值值定定理理 如如果果函函数数)(xf在在含含有有0 x的的某某个个开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶的的导导数数, ,则则当当x在在),(ba内内时时, , )(xf可可以以表表示示为为)(0 xx 的的一一个个n次次多多项

12、项式式与与一一个个余余项项)(xRn之之和和: : xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx AB定义定义 . 设函数设函数)(xf在区间在区间 I 上连续上连续 ,21Ixx(1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfx

13、xf则称则称的)(xf图形是图形是凹凹的的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称的)(xf连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为称为拐点拐点 .图形是图形是凸凸的的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox二、曲线的凹凸与拐点Conclusions1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递增上单调递增Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递减上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixf

14、y)(拐点拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点为极大点52,xx为极小点为极小点3x不是极值点不是极值点2) 对常见函数对常见函数, 极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或或 不存在的点不存在的点.1) 函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质.12xoy12定理 1 (极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,

15、.)(0取极大值在则xxf(自证自证)点击图中任意处动画播放点击图中任意处动画播放暂停暂停定理2 (极值第二判别法)二阶导数二阶导数 , 且且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则则 在点在点 取极大值取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则则 在点在点 取极小值取极小值 .)(xf0 x定理3 (判别法的推广)阶导点有直到在若函数nxxf0)(,0)()()(0) 1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn则则:数数 , 且且1) 当当 为偶数为偶数时时,n,0)(0)(时xfn0 x是极小点是极小点 ;,0)(0)(时xfn0

16、 x是极大点是极大点 .2) 当当 为奇数为奇数时时,n0 x为极值点为极值点 , 且且0 x不是极值点不是极值点 .特别: 当当 在在 内只有内只有一个一个极值可疑点时极值可疑点时,)(xf,ba 当当 在在 上上单调单调时时,)(xf,ba最值必在端点处达到最值必在端点处达到.若在此点取极大若在此点取极大 值值 , 则也是最大则也是最大 值值 . (小小) 对应用问题对应用问题 , 有时可根据有时可根据实际意义实际意义判别求出的判别求出的可疑点是否为最大可疑点是否为最大 值点或最小值点值点或最小值点 .(小小)1. 水平(Horizontal Asymptotes)与铅直渐近线(Verti

17、cal Asymptotes)若若,)(limbxfx则曲线则曲线)(xfy 有水平渐近线有水平渐近线.by )(x或若若,)(lim0 xfxx则曲线则曲线)(xfy 有垂直渐近线有垂直渐近线.0 xx )(0 xx或例例1. 求曲线求曲线211xy的渐近线的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线为垂直渐近线.212. 斜渐近线(Slant asymptotes)有则曲线)(xfy 斜渐近线斜渐近线.bxky)(x或若若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(li

18、mxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或( P75 题题13)二、函数图形的描绘步骤步骤 :1. Domain:确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域 ,及周期性及周期性 ; ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点求出极值和拐点 ;4. 求渐近线求渐近线 ;5. 确定某些特殊点确定某些特殊点 , 描绘函数图形描绘函数图形 .为为 0 和不存在和不存在的点的点 ;并考察其对称性并考察其对称性则弧长微分公式为则弧长微分公式为tyx

19、sdd22 )(xs2)(1yxysd)(1d2或或22)(d)(ddyxs若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx弧长微分弧长微分故曲率计算公式为故曲率计算公式为23)1(2yyK Remark: 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为 0 !sKs0limR1可见可见: R 愈小愈小, 则则K 愈大愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害圆弧弯曲得愈厉害 ;一元函数积分学一元函数积分学,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数存在原函数 .简言之简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义

20、区间上有原函数,)()(的一个原函数是若xfxF定理 2. 的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)( C 为任意常数 ) 内 .三、不定积分的性质xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k二、 基本积分表 (P186)利用逆向思维利用逆向思维xkd) 1 ( k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCxarcsin或Cx cosar

21、cxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx cscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCxchxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeexxxxfd)()(换元积分法第二类换元法第一类换元法uufd)(分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudduvvuvudd解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积把被积函数视为两个函数之积 , 按按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的的顺序顺序, 前者为前者为 后者为后者

22、为u.v反反: 反三角函数反三角函数对对: 对数函数对数函数幂幂: 幂函数幂函数指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数一、 有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数有理函数:nm时时,)(xR为假分式为假分式;nm 时时,)(xR为真分式为真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式 + 真分真分 式式分解分解其中部分分式的形式为其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和若干部分分式之和四种典型部分分式的积分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)

23、(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为变分子为 )2(2pxM2pMN 再分项积分再分项积分 定积分的几何意义:Axxfxfba d)(,0)(曲边梯形面积曲边梯形面积 baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba 各部分面积的代数和各部分面积的代数和A定理定理1.上连续上连续在在函数函数,)(baxf.,)(可积可积在在baxf定理定理2.,)(上有界上有界在在函数函数baxf且只有有限个间断点且只有有限个间断点 可积的充分条件:.,)(可积可积在在baxf三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4ab机动 目录 上页