2019年北京市门头沟区高考数学一模试卷(文科)

1、2019 年北京市门头沟区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1（5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|x0，则 AB 等于（）A（1，3）B0，3）C（1，0D（1，22（5 分）复数 z 满足 zAB2，那么|z|是（   ）C2      &

2、#160;      D3（5 分）一个体积为 12（）正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为A6B8C8D124（5 分）如图的程序框图，如果输入三个实数 a，b，c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）AcxBxcCcb第 1 页（共 21 页）Dbc（5 5 分）向量 ， 满足| | |1，且其夹角为 ，则“|1”

3、是“  ”的（   ）A充分不必要条件C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件6（5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不垂直的是（）ABCD7（5 分）已知ABC 中，ABA2B，BC1，sinCCcosC，则ABC 的面积为（   ）D8（5 分）函数 f（x）x2+2ex+m1，函

4、数 g（x）x+（x0），（其中 e 为自然对数的底数，e2.718）若函数 h（x）f（x）g（x）有两个零点，则实数 m 的取值范围为（）Ame2+2e+1Bme22e+1Cme2+2e+1Dme22e+1135 分）若函数 （x）满足对定义域上任意 x1，x2 都有不等式（f     ）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分)9（5 分）若

5、0;x，y 满足条件，则 zx+2y 的最大值为10（5 分）双曲线 C：2x2y21 的渐近线方程是11（5 分）等比数列an中，S321，2a2a3 则数列an的通项公式 an12（5 分）过抛物线 y24x 焦点且斜率为 1 的直线 l 与此抛物线相交于 A，B 两点，则|AB|（f成立，则称此函数为“P 函数”，请你写出一个“P 函数”的解析式第 2 页（共 

6、21 页）14（5 分）一半径为 4m 的水轮，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时开始计时，即从图中点 P0 开始计算时间（）当 t5 秒时点 P 离水面的高度；（）将点 P 距离水面的高度 h（单位：m）表示为时间 t（单位：s）的函数，则此函数表达式为三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 80&#

7、160;分)15（13 分）已知函数 f（x）sinxcosxcos2x+ （xR）（1）求 f（x）的周期及单调增区间；（2）若 x0，时，求 f（x）的最大值与最小值16（13 分）在等差数列an中，Sn 为其前 n 项的和，若 S525，a1019（1）求数列an的通项公式 an 及前 n 项和 Sn；（2）若数列bn中 bn，求数列bn的前 n 和 Tn（17（12 分）在某区“

8、创文明城区” 简称“创城”）活动中，教委对本区 A，B，C，D 四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了 100 人，将调查情况进行整理后制成如表：学校抽查人数“创城”活动中A5040B1510C109D2515参与的人数（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的（）若该区共 2000 名高中学生，估计 A 学校参与“创城”活动的人数；第 3 页（共 21 页）（）在随机抽查的 

9、100 名高中学生中，随机抽取 1 名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（）在表中从 B，C 两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取 2 人，求恰好 B，C两校各有 1 人没有参与“创城”活动的概率是多少？18（14 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 6 的菱形，且ABC60°，PA平面 ABCD，PA6，F 是棱 PA 上的一动点，E

10、0;为 PD 的中点（）求此三棱锥 DPBC 的体积；（）求证：平面 BDF平面 ACF；（）若 AF2，侧面 PAD 内是否存在过点 E 的一条直线，使得直线上任一点 M 都有CM平面 BDF，若存在，给出证明，若不存在，请明理由19（14 分）如图，已知椭圆 C：1（ab0），F1，F2 分别为其左、右焦点，E过 F1 的直线与此椭圆相交于 D， 两点，且2DE 的周长为&

11、#160;8，椭圆 C 的离心率为（）求椭圆 C 的方程；（）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（0，1）与点 Q（0，2），过 P 的动直线 l（不与 x 轴平行）与椭圆相交于 A，B 两点，点 B1 是点 B 关于 y 轴的对称点（i）Q，A，B1 三点共线（ii）第 4 页（共 21 页）20（14 分）已知

12、0;f（x）axex 在点（0，0）处的切线与直线 yx2 平行（）求实数 a 的值；（）设 g（x）f（x）b（+x）（bR ）（i）若函数 g（x）0 在0，+）上恒成立，求 b 的最大值；（ii）当 b0 时，判断函数 g（x）有几个零点，并给出证明第 5 页（共 21 页）2019 年北京市门头沟区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题

13、 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1（5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|x0，则 AB 等于（）A（1，3）B0，3）C（1，0D（1，2【分析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|1x3；AB0，3）故选：B【点评】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算2（5 分）复数 z 满足 zAB2，那么|z|是（   ）C2  

14、           D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z                  ，|z|故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3（5 分）一个体积为 12（）正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱

15、的左视图的面积为A6B8C8D12【分析】此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是第 6 页（共 21 页），由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可【解答】解：设棱柱的高为 h，由左视图知，底面正三角形的高是故底面三角形的面积是由于其体积为，故有 h×，由正三角形的性质知，其边长是 4，4，得 h3由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是 3，其面积为&#

16、160;3×故选：A【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则几何体的直观图“的能力以及利用体积公式建立方程求参数的能力，三视图的投影规则是： 主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”4（5 分）如图的程序框图，如果输入三个实数 a，b，c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）AcxBxcCcbDbc【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较 x 

17、;与 b 的大小，故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量 XC【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小，第 7 页（共 21 页）故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小，条件成立时，保存最大值的变量 XC故选：A【点评】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题（5 5 分）向

18、量 ， 满足| | |1，且其夹角为 ，则“|1”是“  ”的（   ）A充分不必要条件C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由|1 得|    |21，得| |2+| |22  1，即 1+12  1，得 2  1，即  

19、 ，则 cos      ，即 成立，反之当 时，   ，则|    |2| |2+| |22  1+12× 1+111，即|即“|1 成立，|1”是“  ”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合成立数量积与向量模长公式的关系是解决本题的关键6（5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 

20、为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不垂直的是（）AB第 8 页（共 21 页）CD【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论【解答】解：对于 A，AB 为体对角线，MN，MQ，NQ 分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线，连接另一条面对角线，由三垂线定理可得 AB 垂直于 MN，MQ，NQ，可得 AB 垂直于平面

21、60;MNQ；对于 B，AB 为上底面的对角线，显然 AB 垂直于 MN，与 AB 相对的下底面的面对角线平行，且与直线 NQ垂直，可得 AB 垂直于平面 MNQ；对于 C，AB 为前面的面对角线，显然 AB 垂直于 MN，QN 在下底面且与棱平行，此棱垂直于 AB 所在的面，即有 AB 垂直于 QN，可得 AB 垂直于平面 MNQ；对于 

22、;D，AB 为上底面的对角线，MN 平行于前面的一条对角线，此对角线与 AB 所成角为 60°，则 AB 不垂直于平面 MNQ故选：D【点评】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题7（5 分）已知ABC 中，ABA2B，BC1，sinCCcosC，则ABC 的面积为（   ）D【分析】根据已知条件求得 tanC 的值，进而取得 C，利用正弦定理求得 s

23、inA 的值，求得A，利用内角和求得 B，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：sinCcosC，tanC，C，第 9 页（共 21 页），sinAA当 AAsinC ，或    ，时，C+A，应舍去，B    ，即三角形为直角三角形， ABC ABBC ××1   故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用在求角的时候，一定注意角的范围8（5

24、0;分）函数 f（x）x2+2ex+m1，函数 g（x）x+（x0），（其中 e 为自然对数的底数，e2.718）若函数 h（x）f（x）g（x）有两个零点，则实数 m 的取值范围为（）Ame2+2e+1Bme22e+1Cme2+2e+1Dme22e+1【分析】由导数的应用得：函数 h（x）在（0，e）为增函数，在（e，+）为减函数，由函数 yh（x）的最值可得：函数 h（x）f（x）g（x）有两个零点，则需 h（x）maxh（e）e22e+m10，即 me2+2e+1，得解

25、【解答】解：由已知有 h（x）f（x）g（x）x2+（2e1）x所以 h（x）2x+（2e1）+，由复合函数的单调性可得：h（x）在（0，+）为减函数，又 h（e）0，即 0xe 时，h（x）0，xe 时，h（x）0，即函数 h（x）在（0，e）为增函数，在（e，+）为减函数，即 h（x）maxh（e）e22e+m1，函数 h（x）f（x）g（x）有两个零点，则需 h（x）maxh（e）e22e+m10，即 me2+2e+1，第 10 页（共 21

26、0;页）+m1，故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，属中档题二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分)9（5 分）若 x，y 满足条件，则 zx+2y 的最大值为2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数 zx2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在 y 轴上的截距最小时 z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求 z 的最大值【

27、解答】解：由 x，y 满足条件作出可行域如图，由 zx+2y，得 y由图可知，当直线 yx+ z，x+ z 过可行域内点 A 时直线在 y 轴上的截距最大，z 最大联立，解得 A（0，1）目标函数 zx+2y 的最大值为 0+2×12故答案为：2【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题10（5 分）双曲线 C：2x2y21 的渐近线方

28、程是【分析】将双曲线化成标准方程，得到 a、b 的值，再由双曲线第 11 页（共 21 页）的渐近线方程是 y± x，即可得到所求渐近线方程【解答】解：双曲线 2x2y21 的标准方程为：，b21，可得 a，b1又双曲线的渐近线方程是 y± x双曲线 2x2y21 的渐近线方程是 y±x故答案为：y±x【点评】本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题11

29、（5 分）等比数列an中，S321，2a2a3 则数列an的通项公式 an3×2n1【分析】设等比数列an的公比为 q，由 S321，2a2a3，可得：a1（1+q+q2）21，2q，解出即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为 q，S321，2a2a3，a1（1+q+q2）21，2q，解得 a13数列an的通项公式 an3×2n1故答案为：3×2n1【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5 分）过抛物线 y24

30、x 焦点且斜率为 1 的直线 l 与此抛物线相交于 A，B 两点，则|AB|8【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去 y，根据韦达定理求得 x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|x1+ +x2+ ，求得答案【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为 1，则直线方程为 yx1，代入抛物线方程 y24x 得x26x+10，设 A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x26

31、第 12 页（共 21 页）135 分）若函数 （x）满足对定义域上任意 x1，x2 都有不等式（f     ）根据抛物线的定义可知|AB|x1+ +x2+x1+x2+p6+28，故答案为：8【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质对学生基础知识的综合考查关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次|方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得 AB|值，

32、从而解决问题（f成立，则称此函数为“P 函数”，请你写出一个“P 函数”的解析式f（x）log2x【分析】判断“P 函数”的图象特征，然后找出满足题意的函数的即可【解答】 解：函数 f（x）满足对定义域上任意x1， x2 都有不等式 f（成立，则称此函数为“P 函数”，函数的图象如图：所以“P 函数”的解析式可以为：f（x）log2x故答案为：f（x）log2x）【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的图象的特征是解题的关键14（5 分）一半径为 4m 的水轮，水轮

33、圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时开始计时，即从图中点 P0 开始计算时间（）当 t5 秒时点 P 离水面的高度2；（）将点 P 距离水面的高度 h（单位：m）表示为时间 t（单位：s）的函数，则此函数表达式为h（t）4sin（）+2第 13 页（共 21 页）（【分析】 ）根据题意，利用直角三角形的边角关系，即可求出5

34、60;秒后点 P 离开水面的距离；（）由题意求出  的值，然后结合 t0 时 z0 求出  的值，求得函数的解析式【解答】解：（）t5 秒时，水轮转过角度为×5  ，在 MOP0 中，MP01，MOP0；在，AON 中，AON，AN4×sin2  ，此时点 A（P）离开水面的高度为 2+2；（）由题意可知，设角 （0）是以 Ox 为始边，OP0&#

35、160;为终边的角，由条件得 h（t）4sin（t+）+2，其中（  0）；将 t0，h（0）0 代入，得 4sin+20，；所求函数的解析式为 h（t）4sin（t  ）+2故答案为：（）2+2，（）h（t）4sin（t  ）+2第 14 页（共 21 页）【点评】本题考查了函数 yAsin（x+）的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 80&

36、#160;分)15（13 分）已知函数 f（x）sinxcosxcos2x+ （xR）（1）求 f（x）的周期及单调增区间；（2）若 x0，时，求 f（x）的最大值与最小值（【分析】 1）利用辅助角公式进行化简，结合周期函数单调性进行求解即可（2）求出角 2x的范围，结合三角函数的最值性进行求解【解答】解：（1）f（x）sin2x cos2xsin（2x），函数的周期 T得 kxk+，由 2k，kZ，2x  2k+，kZ，即函数的单调递增区间为k，k+，k

37、Z（2）若 x0，时，则 2x，    ，则当 2x时，函数 f（x）取得最小值为 sin（） ，当 2x时，函数 f（x）取得最大值为 sin1【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键16（13 分）在等差数列an中，Sn 为其前 n 项的和，若 S525，a1019（1）求数列an的通项公式 an 及前 n 项和 

38、;Sn；第 15 页（共 21 页）（2）若数列bn中 bn，求数列bn的前 n 和 Tn（【分析】 1）设等差数列an的公差为 d，由 S525，a1019可得 5a1+d25，a1+9d19，联立解得：a1，d即可得出（2）bn，利用裂项求和即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为 d，S525，a10195a1+d25，a1+9d19，联立解得：a11，d2an1+2（n1）2n1Sn（2）bnn2    

39、60;                         ，数列bn的前 n 和 Tn                 【点评】本题考查了等差数列的通项

40、公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（17（12 分）在某区“创文明城区” 简称“创城”）活动中，教委对本区 A，B，C，D 四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了 100 人，将调查情况进行整理后制成如表：学校抽查人数“创城”活动中A5040B1510C109D2515参与的人数（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的（）若该区共 2000 名高中学生，估计 A 学校参与“创城”活动

41、的人数；（）在随机抽查的 100 名高中学生中，随机抽取 1 名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（）在表中从 B，C 两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取 2 人，求恰好 B，C两校各有 1 人没有参与“创城”活动的概率是多少？【分析】（）根据抽查比例进行计算即可第 16 页（共 21 页）（）根据古典概型的概率公式进行计算即可（）利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可【解答】解：（ I） A 

42、学校高中生的总人数为 50÷A 学校参与“创城”活动的人数为 1000×800 人1000 人（II）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为 M，则 P（M）（II） B 校这 5 人分别记为 A1，A2，A3，A4，A5，C 校这 1 人记为 B，任取 2 人共有 A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1B，A2A3，A2A4，A2B，A2A5，A3A4，A3B，A3A5，A4A

43、5，A4B，A5B，15 种情况，设事件 N 为抽取 2 人中 B，C 两校各有 1 人参与”创城”活动，则 P（C） 【点评】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型的概率计算，利用列举法是解决本题的关键比较基础18（14 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 6 的菱形，且ABC60°，PA平面 ABCD，PA6，F 是棱 PA 上的一动点，E&#

44、160;为 PD 的中点（）求此三棱锥 DPBC 的体积；（）求证：平面 BDF平面 ACF；（）若 AF2，侧面 PAD 内是否存在过点 E 的一条直线，使得直线上任一点 M 都有CM平面 BDF，若存在，给出证明，若不存在，请明理由【分析】（）由 PA平面 ABCD，由此能求出结果（）由 PA平面 ABCD，得 BDPA，由底面 ABCD 是菱形，得 BDAC，从而

45、0;BD平面 PAC，由此能证明平面 BDF平面 ACF第 17 页（共 21 页）（）设 G 是 PF 的中点，连结 EG，CG，OF，则 EGFD，CGOF，由此能证明平面 CEG平面 FBD，从而直线 EG 上任一点 M 都满足 CM平面 BDF【解答】解：（）由题意得 PA平面 ABCD，18证明：（）由题意知，PA平面 ABCD，则 BD

46、PA，又底面 ABCD 是菱形，BDAC，BD平面 PAC，平面 BDF平面 ACF解：（）设 G 是 PF 的中点，连结 EG，CG，OF，则 EGFD，CGOF，EGCGG，FDOFF，平面 CEG平面 FBD，直线 EG 上任一点 M 都满足 CM平面 BDF【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查面面垂直的证明，考查线面平行的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

47、考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19（14 分）如图，已知椭圆 C：1（ab0），F1，F2 分别为其左、右焦点，第 18 页（共 21 页）E过 F1 的直线与此椭圆相交于 D， 两点，且2DE 的周长为 8，椭圆 C 的离心率为（）求椭圆 C 的方程；（）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（0，1）与点 Q（0，2），过 P 的动直线 

48、l（不与 x 轴平行）与椭圆相交于 A，B 两点，点 B1 是点 B 关于 y 轴的对称点（i）Q，A，B1 三点共线（ii）【分析】（）由三角形的周长可得 a2，根据离心率可得 c，即可求出 b22，则椭圆方程可求；（）（i）当直线 l 的斜率不存在时，A、B 分别为椭圆短轴两端点，满足 Q，A，B三点共线当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ykx+1，联立直线方程与椭圆方程，化为

49、关于 x 的一元二次方程，然后利用向量证明（ii）由（i）可知 Q，A，B1 三点共线，即证明【解答】解：（）2DE 的周长为 8，4a8，即 a2，                 ，问题得以e ，c，b2a2c22，故椭圆 C 的方程为+1（）（i）证明：当直线 l 的斜率不存在时，A、B 分别为椭圆短轴两端点，满足 Q，A，B1 三点共线第 19 页（共 21 页）当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ykx+1，联立，得（1+2k2）x2+4kx20设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 B1（x2，y2），x1+x2，x1x2