2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程

1、2016年专项练习题集-定义法求 轨迹方程2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程 选择题1、点p（X）y）是平面中的一个动点）满足:4r7 J（x 4）2 y2 10,则点p的轨迹方程是A.B.C.D.2 X252 X252 X92 X92 y92 y92 y252 y25【易错点】不能将J(x 4)2 y2看做点(x,y )和点 (4,0)之间的距离。【解题思路】利用椭圆的定义即可得出.【解析】点p (x, y)在运动过程中满足关系式：J(x 4)2 y2 "(x 4)2 y2 10,点p到两定点F (4, 0), F' -4, 0)的距离 之和满足：|PF|+|P F&

2、#39; |=o >8.故点P的轨迹是以点F, F'为焦点,10为长轴 长的椭圆. 22易知，c=4,a=5,b=3,椭圆的方程为上、L259故选A .2、已知圆 g: (x+3 ) 2+y 2=4 ,圆 & (x-3)2+y 2=100 ,动圆c与圆外 圆。2都内切，则动圆 圆心的轨迹是()A.椭圆C.抛物线D.圆【分值】5【答案】A【考查方向】本题主要考查椭圆的定义.轨迹方 程,圆与圆的位置关系及其判定。菁优网版权所【易错点】找不出田+%为定值这一关系。【解题思路】设动圆的半径为r,由相切关系建 立圆心距与r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题

3、.【解析】设动圆的半径为r,动1心为c(X,y），因为动圆与园G： (X + 3) 2+y2 = 4 及园(x-3)2+y2=100都内切,则"尸"2, ce2 = 10 - r.因此动心为c的轨迹是焦点为G.中心在(0, 0)的椭圆.故选A.3.设动圆M与y轴相切且与C: x2+y2 -4x=0相外切，则动心M的轨迹方程为A. y2=8x.y2= - 8xC. y2=8x或y=0 (x<0)D. y2=8x或y=0【分值】5【答案】C【考查方向】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题.【易错点】忽视讨论x.【解题思路】设出动圆圆心 M的坐标，利用动圆M与y

4、轴相切且与圆C: x2+y 2 - 4x=0相外 切，建立方程，化简可得动圆圆心 M的轨迹方 程.【解析】设动圆圆心M的坐标为（x, y）,则.动圆M与y轴相切且与圆C: x2+y2-4x=0相外切J（x 2）2 y2 |x 2当 xv0 时）y=0 ;当 x RO 时）y2=8x 故选C.4、若动圆过定点A （-2,0）且和定圆（x-2）2+y2=4外切，则动圆圆心P的轨迹方程为A.B.22 y x 132x2 y 1(x 0)3C.2y2D. x 、1(x 0)3【分值】5【答案】D【考查方向】考查了双曲线的定义、两圆外切的 性质和动点轨迹求法等知识，属于中档题.【易错点】容易错误的把轨迹

5、看成整支双曲线。【解题思路】设定圆（x-2） 2+y2=4的圆心为B,根据外切两圆的性质得点P到B、A两点的 距离之差等于2,由此可得点P在以A、B为焦 点的双曲线的左支上，可得本题的答案.【解析】设动圆的半径为 R,.动圆圆心为P,点A在动圆上，|PA|=R 又.定圆(x-2) 2+y2=4的圆心为B (2, 0), 半径为2 ,定圆与动圆P相外切圆心距 |PB|=R+2由此可得 |PB| - |PA|= (R+2) - R=2 (常数)，点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支。易知：双曲线焦点在X轴，a 1,c 2,所以方程为2 x2 y- 1(x 0)3故选：D5、已知圆 C: (x+

6、2 ) 2+y 2=36 和点 B (2,0),P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（A.B.C.y2=6x2 2X_ y_9 52 2 x_ y .9 5D.x2+y 2=9【分值】5【答案】B【考查方向】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MB|=6>|BC| ,是解题的关键和难点.【易错点】不能得出|MC|+|MB|=6【解题思路】根据线段中垂线的性质可得,|MB|=|MP|)又 |MP|+|MC|=半径 6,故有|MC|+|MB|=6>|BC| ,根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程.解析：由圆的方程可知

7、，圆心 C (-2, 0),半 径等于6,设点M的坐标为(x, y ),B用勺垂直平分线交CQ于点M ,|MB|=|MP|. JMP|+|MC|=半径 6,|MC|+|MB|= 6>|BC| .依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2a=6 , c=2 , bw5 , 22故椭圆方程为1瓶1,故选B.填空题6、Z AB5勺三边|BC| >|AC| >|BA|成等差数列, A、C两点的坐标分别为(0,1), (0, -1),则 点B的轨迹方程是.【分值】322【答案】）卷1. （0vyv2） 34【考查方向】本题主要考查椭圆的定义，熟练掌握等差数列的定义、椭圆

8、的定义是解题的关键。【易错点】忽视|BC| >|AC| >|BA| ,而导致曲线为整条椭圆。【解题思路】利用等差数列的定义可得，|BC|+|BA|=2|AC|=4>|AC| .利用椭圆的定义即可得出.解：. ABC三边|BC| >|AC| >|BA|成等差数列，. |BC|+|BA|=2|AC|=4|ACj .由题意的定义可知：点B的轨迹方程是以点A,C为焦点（c=1 ）, a=2为半长轴长的椭圆的一部分，.b2=a 2 c2=4 1=3 .22，点B的轨迹方程是3匕1.34 ABC三边 |BC| >|AC| >|BA| ,.0vyv2 .2 2故答案

9、为 ? i.（0vyv2）.3 47、如图,， AB, P c D ，且ADLADIIBC, AD=2 ） BC=4 ） AB=6 ）若tan / ADP+2tan / BC5=则点P在平面 民内的轨迹是【分值】3【答案】椭圆的一部分【考查方向】本题考查椭圆的定义，注意定义中 动点到两定点距离之和与定点间距离的大小比【易错点】忽视定义中动点到两定点距离之和与 定点间距离的大小比较.【解题思路】根据题意，易得tan / ADP=, tan / BCP=,又由 tan / ADP+2tan / BC5=且 AD=2 , BC=4 ,可得 AP+BP=10 ,比较可 得AP+BP >AB,由椭

10、圆的定义分析可得答案.解析：由 ADL a ,可得 ADL AP,tan / ADP=四边形ABCD是梯形，则AD/ BC,可得BCXBC± BP,则 tan / BCP=,又由 tan / ADP+2tan / BC5=且 AD=2BC=4 ,可得 AP+BP=10 ,又由 AB=6 )则 AP+BP >AB )故P在平面a内的轨迹是椭圆的一部分,8、点M到点F (0, -3)的距离比它到直线1: y - 4=0的距离小1，则点M的轨迹方程是 .【分值】3【答案】x2= - 12y【考查方向】考查了两点间的距离公式、轨迹方 程的求法、抛物线的定义与标准方程等知识，属 于基础题

11、.【易错点】在去|x-3|的绝对值时，不能根据平面几何原理，得y<3o解题思路：设M (x, y),由两点间的距离公式 建立关于x、y的方程，结合平面几何原理将方 程化简整理，即可得到点 M的轨迹方程.【解析】设M (x, y),依题意得点M到点F (0, -3)的距离比它到直线1:y - 43=0 的距离小1 ,由两点间的距离公式，得J(x 0)2 (y 3)2 |y 4 1 , 根据平面几何原理，得yv4,原方程化为 &X 0)2 (y 3)23 y两边平方，得x2+ (y+3 )2= (3-y) 2,整理得 x2= - 12y即点M的轨迹方程是x2= - 12y .故答案为

12、：x2= - 12y .综合题9、已知F (-2, 0),以F为圆心的圆，半径为 r,点A (2, 0)是一个定点，P是圆上任意一 点，线段AP的垂直平分线l和直线FP相交于 点Q.在下列条件下，求点Q的轨迹方程，并 说明轨迹是什么曲线.(1) r=2时，点P在圆上运动；【分值】62【答案】x231,是双曲线； 3【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲 线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解 能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.熟 练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是 解决问题的关键.属于中档题.【易错点】不能找出QA=QP及|QAQF|=|QP-QF|=FP这两个关系式。【

13、解题思路】由题意得 QA=QP ,则|QA -QF|=|QP - QF|=FP=r=2 ,即动点Q到两定点 F、A的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的 定义，可得点Q的轨迹是：以F, A为焦点，FA 为焦距长的双曲线.【解析】（1）当r=2时，.A为OF外一定点，P为OF上一动点线段AP的垂直平分线交直线FP于点Q ,则 QA=QP ,则 |QA QF|=|QP QF|=FP=r=2 ,即动点Q到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以F,A为焦点，FA为焦距长的双曲线，故 2a=2 , 2c=4 , ? a=1 , c=2 , b=向.2故方程为：x r=8

14、时，点P在圆上运动.【分值】6 22【答案】12 1,是椭圆【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解 3 1,是双曲线； 3能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是 解决问题的关键.属于中档题.【易错点】不能找出QA=QP , FP=FQ+QP这 两个关系式。【解题思路】由题意QA=QP ,FP=FQ+QP=r=8 ,所以 FQ+QA=8 .故曲线是以A、F为焦点，长轴长为8的椭圆，由此能 求出曲线的方程.【解析】（2）当r=8时，由题意：QA=QP , FP=FQ+QP=r=8 ,所以 FQ+QA=9 .

15、故曲线是以A、F为焦点，长轴长为8的椭圆，其 2a=8 , 2c=4 , ? a=4 , c=2 , b= 2；3,22方程为：T6 12 S是椭圆.10、已知圆 F1：X2 y2 2x=15,点 F2 (1, 0), P 是圆 Fl 上任意一点，线段PF2的垂直平分线和半径PFi相交 于Q(1)求动点Q的轨迹r的方程；【分值】5【答案】【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意 运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在 性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联 立，运用韦达定理和判别式大于 0,以及点满足直线方程，属于中档题.【易错点】找不出和为定值这一条件【解题思路】连结Q运用垂直平分

16、线定理可得,QP,可得QF1QF2QFi + QP 4F1F22,由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；解析：(1)将化为：(x+1 ) 2+y2=16 ,连结QF2,运用垂直平分线定理可得，QP QF2,可/口 QF1 QF2 QF1 + QP 4 F1F22 上心一上 j 、4 口得121,故动点Q的轨迹r是以F2为焦点，长轴长为4的椭圆.设其方程为：2223 1()可知a=2 , c=1，所以点Q的轨迹r的方程为(2)若直线y=k (x-1)与(1)中的轨迹r交于R, S两点，问是否在x轴上存在一点T, 使得当k变动时，总有/OTS=/ OTR?说明理由.【分值】7【答案】存在T (4, 0

17、)【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义， 考查存在 性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联 立，运用韦达定理和判别式大于0,以及点满足 直线方程，属于中档题.【易错点】不能将条件/OTS=邮©TRkTS+k TR=0 O【解题思路】假设存在T (t, 0)满足/ OTS=Z OTR.诲(xi, yi), S(X2, y2), 联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别 式大于0,由直线的斜率之和为0,化简整理， 即可得到存在T (4, 0).【解析】(2)假设存在T (t, 0)满足 / OTS=Z OTR.设R(x1, y1), S (x2, y2)联立，得(3+4k 2) x2-8k2x+4k 2-12=0 , 772由韦达定理有二，其中4。恒成立，由/ OTS=Z OTR (显然S, TR的斜率存在)，故 kTS+k TR=0 即77+7二。) 冥 工 X 2 工由R, S两点在直线y=k (x-1)上，