（整理版）高考数学总复习32利用导数研究函数的

1、【走向高考】高考数学总复习 3-2 利用导数研究函数的性质但因为测试 新人教b版1.(文)(·宿州模拟)yf(x)是定义在r上的函数，且f(1)1，f (x)>1，那么f(x)>x的解集是()a(0,1)b(1,0)(0,1)c(1，) d(，1)(1，)答案c解析令f(x)f(x)x，那么f (x)f (x)1>0，所以f(x)是增函数，f(x)>x，f(x)>0，f(1)f(1)10，f(x)>f(1)，f(x)是增函数，x>1，即f(x)>x的解集是(1，)(理)(·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为r，f(1)2，对

2、任意xr，f (x)>2，那么f(x)>2x4的解集为()a(1,1)b(1，)c(，1) d(，)答案b解析由题意，令(x)f(x)2x4，那么(x)f (x)2>0.(x)在r上是增函数又(1)f(1)2×(1)40，当x>1时，(x)>(1)0，f(x)2x4>0，f(x)>2x4.应选b.2(·宁夏石嘴山一模)函数y2x33x212x5在0,3上的最大值，最小值分别是()a5，15 b5，4c4，15 d5，16答案a解析y6x26x120，得x1(舍去)或x2，故函数yf(x)2x33x212x5在0,3上的最值可能是x取

3、0,2,3时的函数值，而f(0)5，f(2)15，f(3)4，故最大值为5，最小值为15，应选a.3(文)函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，那么f(x)的极大值、极小值分别为()a.，0 b0，c ，0 d0， 答案a解析f (x)3x22pxq由f (1)0，f(1)0得解得，f(x)x32x2x由f (x)3x24x10得x或x1易得当x时f(x)取极大值当x1时f(x)取极小值0.(理)设函数f(x)ax3bx2cx在x±1处均有极值，且f(1)1，那么a、b、c的值为()aa，b0，cba，b0，cca，b0，cda，b0，c答案c解析f (x)3ax2

4、2bxc，所以由题意得即解得a，b0，c.4(·青岛模拟)函数f(x)的导数为f (x)4x34x，且f(x)的图象过点(0，5)，当函数f(x)取得极大值5时，x的值应为()a1 b0c1 d±1答案b解析由导函数与原函数的关系知，f(x)x42x2a(a为常数)，f(0)5，a5，f(x)x42x25，令f (x)4x34x0得，x11，x20，x31，当x(，1)时，f (x)<0，当x(1,0)时，f (x)>0，当x(0,1)时，f (x)<0，当x(1，)时，f (x)>0，f(x)在(，1)和(0,1)上单调递减，在(1,0)上和(1，

5、)上单调递增，故f(x)在x0处取得极大值5，应选b.5假设函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，那么实数k的取值范围是()ak3或1k1或k3b3<k<1或1<k<3c2<k<2d不存在这样的实数答案b解析因为y3x212，由y>0得函数的增区间是(，2)和(2，)，由y<0，得函数的减区间是(2，2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以有k1<2<k1或k1<2<k1，解得3<k<1或1<k<3，应选b.6(·陕西咸阳模拟)函数f(x)ax21的图象在点a

6、(1，f(1)处的切线l与直线8xy20平行，假设数列的前n项和为sn，那么s的值为()a. b.c. d.答案d解析f (x)2ax，f(x)在点a处的切线斜率为f (1)2a，由条件知2a8，a4，f(x)4x21，·数列的前n项和sn，s.7(文)(·福州模拟)f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值为3，那么此函数在2,2上的最小值为_答案37解析f (x)6x212x，由f (x)0得x0或x2，当x<0或x>2时，f (x)>0，当0<x<2时，f (x)<0，f(x)在2,0上单调增，在0,2上单调减，由条件知f

7、(0)m3，f(2)5，f(2)37，最小值为37.(理)(·惠州三模)函数f(x)lnx，假设函数f(x)在1，)上为增函数，那么正实数a的取值范围为_答案1，)解析f(x)lnx，f (x)(a>0)，函数f(x)在1，)上为增函数，f (x)0对x1，)恒成立，ax10对x1，)恒成立，即a对x1，)恒成立，a1.8(文)(·浙江杭州冲刺卷)函数yf(x)的定义域为(a，b)，yf (x)在(a，b)上的图象如图，那么yf(x)在区间(a，b)上极大值的个数为_答案2解析由f (x)在(a，b)上的图象可知f (x)的值在(a，b)上，依次为，f(x)在(a，b

8、)上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f(x)在(a，b)上的极大值点有两个点评应注意题设中给的是f(x)的图象还是f (x)的图象，在f (x)的图象上，位于x轴上方局部使f (x)>0，f(x)单调增，位于x轴下方局部，使f (x)<0，f(x)单调减，f(x)的极值点是f (x)的图象与x轴的交点，千万要注意，不要把f (x)的单调性误以为是f(x)的单调性请再练习下题：(·绵阳模拟)如图是函数yf(x)的导函数的图象，给出下面四个判断f(x)在区间2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在区间1,2上是增函数，在区间2,4上是减函数；x2是f(x)

9、的极小值点其中，所有正确判断的序号是_答案解析由函数yf(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间2，1上是减函数，在1,2上为增函数，在2,4上为减函数；(2)f(x)在x1处取得极小值，在x2处取得极大值故正确(理)(·绵阳市诊断)函数f(x)ln(1x)ax的图象在x1处的切线与直线x2y10平行，那么实数a的值为_答案1解析f (x)a，f (1)a.由题知a，解得a1.点评函数f(x)在点x处切线l的斜率为f (x0)，假设l与l1平行(或垂直)，那么f (x0)kl1(或f (x0)·kl11)请再练习下题：(·广东实华梧州联考)曲线yx21在xx

10、0处的切线与曲线y1x3在xx0处的切线互相平行，那么x0的值为_答案0或解析由条件知，2x03x，x00或.9设p为曲线c：yx2x1上一点，曲线c在点p处的切线的斜率的范围是1,3，那么点p纵坐标的取值范围是_答案解析设p(a，a2a1)，y|xa2a11,3，0a2.a2a12，当a时，取最小值，当a2时，取最大值3，故p点纵坐标范围是.10(·北京东城一模)函数f(x)x3ax2xc，且af ()(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间(3)(理)设函数g(x)f(x)x3·ex，假设函数g(x)在x3,2上单调递增，求实数c的取值范围解析(1)由f(x)x3

11、ax2xc得，f (x)3x22ax1.当x时，得af ()3×()22a×()1a，解之得a1.(2)由(1)可知f(x)x3x2xc.那么f (x)3x22x13(x)(x1)，列表如下：x(，)(，1)1(1，)f (x)00f(x)有极大值有极小值所以f(x)的单调递增区间是(，)和(1，)；f(x)的单调递减区间是(，1)(3)函数g(x)(f(x)x3)·ex(x2xc)·ex，有g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex，因为函数在区间x3,2上单调递增，所以h(x)x23xc10在x3,2上恒成立只要h(2)0，解得c11

12、，所以c的取值范围是11，).a>2，那么函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有()a0个零点 b1个零点c2个零点 d3个零点答案b解析f (x)x22axx(x2a)0x10，x22af(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)1>0，f(2)4a<0，由零点判定定理知，函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有一个零点12(·南开区质检)实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，那么ad等于()a2 b1c1 d2答案a解析a，b，c，d成等比数列，adbc，又(b，c)为函数y3xx3的极大值点，c3bb3，且0

13、33b2，或，ad2.13(文)(·安庆质检)函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，假设m、n1,1，那么f(m)f (n)的最小值是_答案13解析求导得f (x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f (2)0，即3×42a×20，af(x)x33x24，f (x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minff (x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f (n)minff(m)f (n)的最小值为13.(理)(·山东潍坊一模)函数f(x)x32bx2cx1有两

14、个极值点x1、x2，且x12，1，x21,2，那么f(1)的取值范围是()a，3 b，6c3,12 d，12答案c解析由条件可得，即作出其可行域，易知目标函数z2bc的取值范围是3,1214(文)设函数f(x)x3ax2bxc的图象如下图，且与y0在原点相切，假设函数的极小值为4.(1)求a、b、c的值；(2)求函数的递减区间解析(1)函数的图象经过(0,0)点，c0.又图象与x轴相切于(0,0)点，y3x22axb，b0，yx3ax2，y3x22ax.当xa时，函数有极小值4.3a24，得a3.(2)y3x26x<0，解得0<x<2.递减区间是(0,2)(理)设函数f(x)

15、x33axb(a0)(1)假设曲线yf(x)在点(2，f(x)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点解析(1)f (x)3x23a.因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f (x)3(x2a)(a0)当a<0时，f (x)>0，函数f(x)在(，)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点当a>0时，由f (x)0得x±.当x(，)时，f (x)>0，函数f(x)单调递增；当x(，)时，f (x)<0，函数f(x)单调递减；当x(，)时，f (x)>0，函数f(x)单调递增故

16、x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点15(文)设函数g(x)x3ax2bx(a，br)，在其图象上一点p(x，y)处的切线的斜率记为f(x)(1)假设方程f(x)0有两个实根分别为2和4，求f(x)的表达式；(2)假设g(x)在区间1,3上是单调递减函数，求a2b2的最小值解析(1)根据导数的几何意义知f(x)g(x)x2axb，由2,4是方程x2axb0的两个实根，由韦达定理，f(x)x22x8.(2)g(x)在区间1,3上是单调递减函数，所以在1，3区间上恒有f(x)g(x)x2axb0，即f(x)x2axb0在1,3上恒成立这只需满足即可，也即，而a2b2可视为平面区域内的点到

17、原点距离的平方，其中点(2,3)距离原点最近所以当时，a2b2有最小值13.(理)(·天津文，19)函数f(x)4x33tx26t2xt1，xr，其中tr.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程(2)当t0，求f(x)的单调区间(3)证明：对任意t(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点解析(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f (x)12x26x6，f (0)6，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6x.(2)解：f (x)12x26tx6t2，令f (x)0，解得xt或x，因为t0，以下分两种情况讨论：假设t<

18、0，那么<t，当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(t，)f (x)f(x)所以，f(x)的单调递增区间是，(t，)；f(x)的单调递减区间是.假设t>0，那么t<，当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，t)f (x)f(x) 所以，f(x)的单调递增区间是(，t)，：f(x)的单调递减区间是，(3)证明：由(2)可知，当t>0时，f(x)在内单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：当1，即t2时，f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增f(0)t1>0，f(1)6t24tt2，)，f(x)在区间(0,1)内均存在

19、零点当0<<1，即0<t<2时，f(x)在内单调递减，在内单调递增，假设t(0,1，ft3t1t3<0，f(1)6t24t36t4t32t3>0，所以f(x)在内存在零点假设t(1,2)，ft3(t1)<t31<0，f(0)t1>0，所以f(x)在内存在零点所以，对任意t(0,2)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点，综上，对任意t(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点1设f (x)是函数f(x)的导函数，yf (x)的图象如下图，那么yf(x)的图象最有可能的是()答案c分析由导函数f (x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(

20、x)的单调性，比照f(x)的图象，用排除法求解解析由f (x)的图象知，x(，0)时，f (x)>0，f(x)为增函数，x(0,2)时，f (x)<0，f(x)为减函数，x(2，)时，f (x)>0，f(x)为增函数只有c符合题意，应选c.2设曲线yx21上任一点(x，y)处的切线的斜率为g(x)，那么函数yg(x)cosx的局部图象可以为()答案a解析g(x)(x21)2x，yg(x)·cosx2xcosx，显然y2xcosx为奇函数，排除b、d，且在原点右侧附近，函数值大于零排除c.3设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如下图，那么导函数yf (x)的

21、图象可能为图中的()答案d解析当yf(x)为增函数时，yf (x)>0，当yf(x)为减函数时，yf (x)<0，可判断d成立4(·浙江文，10)设函数f(x)ax2bxc(a，b，cr)，假设x1为函数f(x)ex的一个极值点，那么以下图象不可能为yf(x)的图象是() 答案d解析设g(x)f(x)ex，那么g(x)(ax2bxc)ex，g(x)exax2(b2a)xbc，由g(1)0，ab2abc0，ac.f(x)ax2bxc可化为f(x)ax2bxa，f(x)0假设有根时，两根之积为1.而d中两根x1<1，x2<1，x1x2>1.所以d图一定不成立

22、应选d.5f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf (x)f(xa、b，假设a<b，那么必有()aaf(b)bf(a) bbf(a)af(b)caf(a)f(b) dbf(b)f(a)答案a解析xf (x)f(x)0，又f(x)0，xf (x)f(x)0.设y，那么y0，故y为减函数或为常数函数又a<b，a、b>0，a·f(b)b·f(a)点评观察条件式xf (x)f(x)0的特点，可见不等式左边是函数yxf(x)的导函数，故可构造函数yxf(x)或y通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：a，b是实数，且e<a<b，其中e是自然对数的底数，那么ab与ba的大小关系是()aab>babab<bacabbadab与ba的大小关系不确定答案a解析令f(x)，那么f (x).当x>e时，f (x)<0，f(x)在(e，)上单调递减e<a<b，f(a)>f(b)，即>，blna>alnb，lnab>lnba，ab>ba.6(·安徽池州一中期