1-2子空间与子空间的分解2013

1、§2线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难看 出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性 空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于 原来的运算也构成一个线性空间。一般地，我们不仅要研究整个线性 空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方面线性子空间本身有 它的应用，另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性 空间的结构。一、线性子空间的定义定义7设V是数域F上的一个线性空间，W是V的一非空子 集。如果W对于V中所定义的加法和数乘运算也构成数域F上的一 个线性空间，则称W为V的一个线性子空间，简称子空间

2、。验证W是否为V的子空间，实际上只需考察W对于V中加法 和 数乘运 算是否 封闭就 行了。因为线 性空间定义中的规则 (8)在W对线性运算是封闭的情况下必是满足的。例1任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间；一个是它自 身V V，另一个是W 0，称为零元素空间(零子空间)。除此之外的子 空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常 见的例子。例2给定A(8)包,an) Rmn，集合N(A) x|Ax 0, x RnR(A) (A) L (ai, a2,L ,an) spanai,a2,L ,any|y Ax, x Rn分别是田和FT上的子空间，依次称为A的零空间(核)和列空间(值 域)，零空间

3、的维数称为零度A的零空间是齐次线性方程组Ax 0的全部解向量构成的n维线性空间不的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性方 程组 的基础解系。所以, dim( N ( A) n rank(A)。A的左零空间和行空间N(AT) x|ATx 0, x RmR(AT) (AT) y|y ATx, x Rm，dim( N ( AT ) m rank(AT)。A表示Am n的广义逆，满足AXA A，则有N( A) (In A A)且InAA , AA幕等。所以rank (In A A) tr(lnA A) n tr(A A) n rank (A A) n rank ( A)m(m1)是V的m个向量，它们

4、所有可能的线性组合所成的集合mSpan 1,2,kiii1是V的一个子空间，称为由I , 2m生成的子空间若记A ( !, 2,m) Rnm，贝IJ(A) Span 1,2, m由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向1,2, ,m，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说Span 1,2, m是V的一个子空间注：容易证明(1) dim (A) rank(A)。(2) (A) (A B), Bbi bi，特别若 bj,j 1,2, ,l 可表示为3 2, m的线性组合，则(A) (A B)。定理2设W是Vn的一个m维子空间r ,2,m是W的一个基，则这m个向量必定可扩充为Vn的基。证明若

5、m n，则定理已成立。若m n,则Vn中必存在一个向量ml不能由1,2,冲线性表出，从而1,2,m, ml线性无关。如果m 1 n,则定理已成立。否则继续上述步骤。经过n m次，则可得到Vn内n m个线性无关的向量，使1, 2, m, ml, ,n为Vn 的基。二、子空间的分解子空间作为子集，有子集的交(以心)，和(心W2)等运算，对它 们有如下定理。定理3设也电是线性空间V的子空间，则有(1) w与W2的交集wW2| WN 也是V的子空间，称为Wi与W2的交空间。(2) Wi 与 W2 的和 WiW2|12, 1 Wi, 2 W2是v的子空间，称为W1与W2的和空间。证明由0 Wi, 0 W

6、2,可知0 Wi W2,因而Wi W2是非空的.其次，如果， W1 W2,即， Wi而且， W2,因此W1 ,W2 ,因此Wi W2 ,同样，由k Wi, k W2,知k WW2.因此 Wi W2是V的子空间.由定义Wi W2 V ,而且非空.，Wi W2,则有Wi,i 1,2.1212(11)(22),k k 1 k 2，因 Wi 是子空间，则 11 Wl, 2 2W2,kl Wl,k2W2,所以Wi W? k W1 W2,即Wi W2是V的子空间.子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。定理4 (维数定理)设W1和W2是线性空间V的两个子空间， 则有dim Wi + dim W2

7、= dim(Wi W2) + dim(Wi W2)(1)证明设 dim(Wi W2) r, dimWi si , dimW2 S2 , Wi W2 基为(3) , ,r 由定理2知，它们可分别扩充为：Wi的基W2的基1，2 ' r 1 $2 '则Wl=Span 1, 2, r, r 1, S1 5W2 =Span 1, 2, r, r 1, S2 ，si, r 1,i为线性无关组。W1 W2 Span 1, 2 - r，r1' S1' r1'' S2下面证明 1, 2, r, r1,任取数ki, pi, qi,使因为所以从而有2,pi0,i12定

8、理得证.ki11,ir11Piir1ir1s1Piinnii1rr0.pjPiir1W1nii1W2.sH i0.r1s23i，r1si是Wl的基，SI.代入式得s2qiiO, ir 1S2是W2的基，于是ki0(i121,2,r), qi 0(isi r 11, ,S2),S2线性无关，dim(Wi W2) r (si P (S2 P si S2从式知，若以心0，贝tj有 dimCWAWzjvdimWAdimW?,这时 Wi W2, Xi X2,Xi Wi,i1,2,其表达式中Xi与X2不是唯一的例如22 0T323，有 2 Wi 012Wi Span 0 ,2 ,W2Span 100即 W

9、i W2 0 o这时0 Wi W2可有两种表达式0 0 0和例4设R3中的两个子空间是-1 1 -1 -1WiSpan 11 ,21 , W2Span 13,21010-1求Wi W2及Wi W2的基和维数。解W2 =Span r 2, 1, 2由于1122且1, 2, 2线性无关，故Wi W2的一个基为 1,2,2 其维数 dim(Wi W2)=3。由维数定理知dim(Wi W2)=dim(Wi) dim(W2)- dim(Wi W2) =2+2-3= 1 根据2，得到1212 (0,2,1 )T 0 Wi W2 , 从而(0,2,1)T为 必W2的一个基，其维数dim(W,W2)=1。三、

10、直和子空间子空间的和皿侬的定义仅表明，其中的任一向量 可表示为12, 1 W1, 2 W2。但这种表示法不一定唯一。定义8设Wi,W2是线性空间V的两个子空间，如果Wi W2中 每个 向量的分解式i 2、/ Wi,a W2是唯一的，则Wi W2称为Wi,W2的直和，记为WiW2。定理5设Wi，W2是线性空间V的两个子空间，则下面几条等价WiW2是直和；0向量表示法唯一，即由 o i2( i Wi, a W2)得1 20 ;(3) Wi W2= 0 ；(4) dim(Wi) dim(W2) dim(Wi W2)证明采用轮转方式证明这些命题。(1) (2)按定义，WiW2内任一向量表示法唯一 ,因

11、而。的表示法当然唯(2) (3)用反证法。若Wi W2 0，则有WiW2, 0，于是Wi， W2。而0()，这与零向量的表示是唯一的假设矛盾。 利用维数定理即得。(4)(i)由维数定 理知dim( Wi W2)=0,即WiW2=0 ,对任Wi W2 ,如果2(1, i Wi； a, 02W2)则有 2- 2 于是2-2Wi W2 00, 22。这说明22因而 表示法唯一。定理证毕。定理6设Wi是V的一个子空间，则必存在Vn的子空间W2 ,使 Wi W2 Vn o证明：设 dim(Wi) = m，且 i, 2m是Wi的一1个基5根据定理2它可扩充为Vn的基1,2mm1 n令W2Span ml,

12、, n，显然W2就满足要求。子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。 四、内积空间前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加 法 和数量乘法进行的。与几何空间相比，向量的度量性质如长度、 夹角等在实际应用中更重要。因此，我们在一般线性空间中定义内 积，导出内积空间的概念。定义9设V是实数域R上的实线性空间。如果对于任意的V，都有一个实数(，)与之对应，且满足(1)(,)(,)；(2)(,)(,)(,)；(3) (k,)k(,);(，)0,当且仅当。时(，)。.则称(的内积。定义了内积的实线性空间V称为内积空间，又称欧几里得空间或Euclid空间(简称为欧氏空间)。n例如

13、，在FT中，定义内积(x, y) xTy Xi小。这时R。成i1为内积空间。在内积空间中中，如果(x, y) 0,则称x与y正交，记为x y。设欧氏空间Rn中的基为I, 2, n，欧氏空间中有两个向nn量 Xii,yjj，下面我们来计算，的内积。“J1nnn n(，)(Xii, yj j 1 j) Xi( i, j) yji 1i 1 j 1记(1, V(1，2)(1，n)01,2, n)(2, 1)(2，2)(2, n)(n, 1>2)(n , n)xi V、XXr'VnXn则有)XTG(仆 2,n)yn的Gram矩充要条件注：(1)方阵G(1,2,n)称为向量组1,2,阵，或

14、度量矩阵1,2, n线性无关的G(1,2 印 0°(3) G( 1,2, n)对称正定。因为方阵X0,(1,2, ,n)X0, XTG(1,2, ,n)X(,)02(4)若n1,则G(i) II表示长度的平方；n 2时，则2G( 1,2)II 12I,表示面积的平方；n 3,呢？若1,2,n是规范正交基，则G(1,2,n) In，内积(，)XTyO即向量内积等于坐标的内积，计算简单，所以内积空间的基常采用规范正交基另外，在规范正交基1, 2, n下向量X1X1xN (1, n)的坐标X的计算简单不i1xnnxn需要解线性方程组就能得到Xi ( , i),i 1 -n,即(，i) ii

15、1设W是内积空间V的一个子空间。显然 W也是一个内积空 间。如果V的一个向量 与W的每一个向量正交，则称 与W正 交，记为W。对于V中的两个子空间 认认2、如果任取必， W2，都有(，)0，即，则称以与W2是互相正交的。记为W1 W2。定义10设S为V中的子空间，记Sx|x S,x V容易证明S也是线性空间，称为S的正交补空间。定理7设A为n k矩阵。记A为满足条件AA0且具有最大秩 的矩阵，则R(A) R (A)证明设 X R(A) X At, t AX AAtOzAx 0, z (Az) XOX AzX R (A)；反之，x R (A) x Az, z (Az) x 0zAx 0, zAx

16、OxA t, t xR(A).推论：R (A) R(A ) N(AT) ; R (AT) N(A).证明：只证第一式，因为把第一式中的A看成A，即得第二式.由 x R (A) x R(A) x At,t 任意(At)'x 0,t 任意t7VxO,t 任意 A 0 x N(A').和x R(A ) x A t, t A'x A'A t 0 x N(A'),证毕.对于一个线性空间s，如果存在k个子空间Si, ,Sk，使得对任意 S，可唯地分解为ik,i Si,i i,2, ,k,则称S为Si, ,Sk 患 记为S SiS2Sk，若进罗假设，对任意的i Si,

17、 j Sj,i j，有i j，则称S为SkSi, ,Sk的正交直和， 记为sSiS2 ，特另J，Rn S S，对于Rn中子空间S都成立。设 A (AM Ak), (A) (Aj)0,ij 则(A) (Ai)(Ak);若进一步假设AAjOj j,则容易证明(A) (Ai) (Ak)。容易证明对于内积空间中的子空间S有下面的性质 S(S);(2) s s2 s2(S12)SiS2 =叫 s2)S1S2.定理8对任意矩阵A，恒有R(A) R(AA)。证明显然R(AA) R(A),故只需证R(A) R(AA ),事实上，对任给x R(AA),有 xAA 0。右乘x得2x AA x (Ax) (Ax) A x 0 ,故 Ax 0,即 x R(A).证毕.定理§设An m, H k m J则(1)SAx: HxO是R(A)的子空间;(2) dim( S) rank HA rank(H).证明第一结论的证明是简单的，现证。不妨设R(H ) k,则存在AH Qx:HQxk阶可逆矩阵Q，使得HQ (IkO),于是dim( S) =dim Ax.Hx o =dim=dim 3 叱o 淇中 Ui II2 AQ,k1 X=dim U2X:X任意,其中x X (2)(m k) 1=rank (U2) =rank U1 * ran k(IQIk U=rank ha rank(H).证毕.推论