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文档简介
1、高中数学探究性试题汇编二探究性试题有助于数学思维的提高。11函数, 1假设函数,求函数、的解析式; 2假设函数,函数的定义域是1,2, 求的值; 3设是定义在上的周期为4的奇函数,且函数的图像关于直线 对称。当时,求正数的最小值及函数在-2,2上 的解析式。解:1 , (1¢) ; ; . 2 ,, , , . 由题设,得. 3是定义在r上的奇函数, 函数的图象关于直线对称, 在式中以替换,得 由式和式,得 在式中以替换,得 由式和式,得 (14¢) 是定义在r上的周期为4的奇函数,正数的最小值是1. 当Î0,1时,当Î-1,0时,Î0,1,
2、,即. 函数的图象关于直线对称, 当Î(1,2时,2-Î0,1), 当Î-2,-1)当,Î(1,2,即.a1ob3b2b1a3xya2 . 12. 等差数列的首项为,公差为.对于不同 的自然数n,直线与x轴和指数函数的图像分别交于点如下图,记的坐标为,直角梯形、的面积分别为和,一般地记直角梯形的面积为.(1) 求证数列是公比绝对值小于1的等比数列;(2) 设的公差,是否存在这样的正整数n,构成以为边长的三角形?并请说明理由;(3) 理设的公差为常数,是否存在这样的实数p使得1中无穷等比数列各项的和s>?并请说明理由.文设的公差,是否存在这样的实数p
3、使得1中无穷等比数列各项的和s>?如果存在,给出一个符合条件的p值;如果不存在,请说明理由.解1, 2分,对于任意自然数n,=,所以数列是等比数列且公比,因为,所以 4分写成,得公比也可2,对每个正整数n, 6分假设以为边长能构成一个三角形,那么,即,1+2>4,这是不可能的 9分所以对每一个正整数n,以为边长不能构成三角形 10分3理由1知, 11分所以 14分假设 16分两边取对数,知只要取值为小于的实数,就有s>18分说明:如果分别给出与d的具体值,说明清楚问题,也参照前面的评分标准酌情给分,但不得超过该局部分值的一半。文, 11分所以 14分如果存在p使得,即 16分
4、两边取对数得:,因此符合条件的p值存在,可取p= -11等 18分说明:通过具体的p值,验证也可。13函数f(x)=(a,b是非零实常数),满足f(2)=1,且方程f(x)=x有且仅有一个解。(1)求a、b的值; (2)是否存在实常数m,使得对定义域中任意的x,f(x)+f(mx)=4恒成立?为什么?(3)在直角坐标系中,求定点a(3,1)到此函数图象上任意一点p的距离|ap|的最小值。(1)由f(2)=1得2a+b=2,又x=0一定是方程=x的解,所以=1无解或有解为0,假设无解,那么ax+b=1无解,得a=0,矛盾,假设有解为0,那么b=1,所以a=。 (2)f(x)=,设存在常数m,使得
5、对定义域中任意的x,f(x)+f(mx)=4恒成立,取x=0,那么f(0)+f(m0)=4,即=4,m= 4(必要性)又m= 4时,f(x)+f(4x)=4成立(充分性)所以存在常数m= 4,使得对定义域中任意的x,f(x)+f(mx)=4恒成立, (3)|ap|2=(x+3)2+()2,设x+2=t,t0,那么|ap|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2+=(t2+)+2(t)+2=(t)2+2(t)+10=( t+1)2+9,所以当t+1=0时即t=,也就是x=时,|ap| min = 3 14.元素为实数的集合满足以下条件:1、0;假设,那么假设,求使元素个数最少的集合;在上一小题求
6、得的集合中,任取3个不同元素,求使的概率。本小题选理科的学生做,选文科的学生不做 假设非空集合为有限集,那么你对集合的元素个数有何猜想?并请证明你的猜想正确。解 ;使的元素个数最少的集合为设是中三个不同元素,且使,由于中仅有2个负数,故只有如下两种可能:所相对的概率为非空有限集的元素个数是3的倍数证明如下:设那么且 由于,但无实数根故同理假设存在,而,那么且假设中有元素,那么利用前述的式可知于是上述推理还可继续,由于为有限集,故上述推理有限步可中止的元素个数为的倍数。满足条件:=,且方程=有等根。(1)求的解析式;(2)是否存在实数m、n(m<n),使的定义域和值域分别是m,n和3m,3
7、n?如果存在,求出m、n的值;假设不存在,说明理由。.解: (1)由条件易得,7分 (2)假设存在这样的m、n满足条件,由于所以3n即n<1,故二次函数f (x)在区间m,n上是增函数, 从而有16函数的最大值为正实数,集合,集合。1求和;2定义与的差集:且。设,均为整数,且。为取自的概率,为取自的概率,写出与的二组值,使,。3假设函数中, 是2中较大的一组,试写出在区间,n上的最大值函数的表达式。 1,配方得,由得最大值。 ,。 2要使,。可以使中有3个元素,中有2个元素, 中有1个元素。那么。中有6个元素,中有4个元素, 中有2个元素。那么3由2知 17给出函数封闭的定义:假设对于定
8、义域d内的任一个自变量x0,都有函数值f(x0),那么 称函数y=f(x)在d上封闭。 1假设定义域d1=0,1,判断以下函数中哪些在d1上封闭,且给出推理过程 f1(x)=2x-1,f2(x)=,f3(x)=2x-1,f4(x)=cosx.; 2假设定义域d2=1,2,是否存在实数a使函数f(x)=在d2上封闭,假设存在, 求出a的值,并给出证明,假设不存在,说明理由。解:1f1()=0Ï(0,1),f(x)在d1上不封闭;(2¢) f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是减函数,0f2(1)f2(x)f2(0)=1, f2(x)Î(0,1)Þf2(
9、x)在d1上封闭;(4¢) f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函数,0=f3(0)f3(x)f3(1)=1, f3(x)Î(0,1)Þf3(x)在d1上封闭;(6¢) f4(x)=cosx在(0,1)上是减函数,cos1=f4(1)f4(x)f4(0)=1, f4(x)Î(cos1,1)Ì(0,1)Þf4(x)在d1上封闭;(8¢) 2f(x)=5-,假设f(x)在d2上封闭,对a+10讨论如下: 假设a+100,那么f(x)在(1,2)上为增函数,故应有Þa=2 (10¢) 假设a+100
10、,那么f(x)=5,此与f(x)Î(1,2)不合,(12¢) 假设a+100,那么f(x)在(1,2)上为减函数,故应有,无解,(14¢) 综上可得,a=2时f(x)在d2上封闭.181数列的通项公式:,试求最大项的值;2记,且满足1,假设成等比数列,求的值;3理如果,且是满足2的正常数,试证:对于任意自然数,或者都满足;或者都满足。 文假设是满足2的数列,且成等比数列,试求满足不等式:的自然数的最小值。解 1,那么。即的最大项的值为4。 2欲使成等比数列,只需成等比数列。,只需或即可。解得或。 3理,。又,。 ,;或。 文不合题意,据题意,。19、数列中,(1)假设,求;(2)假设,求q, d满足得条件;(3)一个质点从原点出发,依次安向右,向上,向左,向下的方向交替
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