（整理版）高中数学探究性试题汇编（二）

1、高中数学探究性试题汇编二探究性试题有助于数学思维的提高。11函数， 1假设函数，求函数、的解析式； 2假设函数，函数的定义域是1,2， 求的值； 3设是定义在上的周期为4的奇函数，且函数的图像关于直线 对称。当时，求正数的最小值及函数在-2,2上 的解析式。解：1 ， (1¢) ； ； . 2 ，, , ， . 由题设，得. 3是定义在r上的奇函数， 函数的图象关于直线对称， 在式中以替换，得 由式和式，得 在式中以替换，得 由式和式，得 (14¢) 是定义在r上的周期为4的奇函数，正数的最小值是1. 当Î0,1时，当Î-1,0时，Î0,1，

2、，即. 函数的图象关于直线对称， 当Î(1,2时，2-Î0,1)， 当Î-2,-1)当，Î(1,2，即.a1ob3b2b1a3xya2 . 12. 等差数列的首项为，公差为.对于不同 的自然数n，直线与x轴和指数函数的图像分别交于点如下图，记的坐标为，直角梯形、的面积分别为和，一般地记直角梯形的面积为.（1） 求证数列是公比绝对值小于1的等比数列；（2） 设的公差，是否存在这样的正整数n，构成以为边长的三角形？并请说明理由；（3） 理设的公差为常数，是否存在这样的实数p使得1中无穷等比数列各项的和s>？并请说明理由.文设的公差，是否存在这样的实数p

3、使得1中无穷等比数列各项的和s>？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由.解1， 2分，对于任意自然数n，=，所以数列是等比数列且公比，因为，所以 4分写成，得公比也可2，对每个正整数n， 6分假设以为边长能构成一个三角形，那么，即，1+2>4，这是不可能的 9分所以对每一个正整数n，以为边长不能构成三角形 10分3理由1知， 11分所以 14分假设 16分两边取对数，知只要取值为小于的实数，就有s>18分说明：如果分别给出与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该局部分值的一半。文， 11分所以 14分如果存在p使得，即 16分

4、两边取对数得：，因此符合条件的p值存在，可取p= -11等 18分说明：通过具体的p值，验证也可。13函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。(1)求a、b的值； (2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点a(3,1)到此函数图象上任意一点p的距离|ap|的最小值。(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，所以=1无解或有解为0，假设无解，那么ax+b=1无解，得a=0，矛盾，假设有解为0，那么b=1，所以a=。 (2)f(x)=，设存在常数m，使得

5、对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立，取x=0，那么f(0)+f(m0)=4，即=4，m= 4(必要性)又m= 4时，f(x)+f(4x)=4成立(充分性)所以存在常数m= 4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立， (3)|ap|2=(x+3)2+()2，设x+2=t，t0，那么|ap|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2+=(t2+)+2(t)+2=(t)2+2(t)+10=( t+1)2+9，所以当t+1=0时即t=，也就是x=时，|ap| min = 3 14.元素为实数的集合满足以下条件：1、0；假设，那么假设，求使元素个数最少的集合；在上一小题求

6、得的集合中，任取3个不同元素，求使的概率。本小题选理科的学生做，选文科的学生不做 假设非空集合为有限集，那么你对集合的元素个数有何猜想？并请证明你的猜想正确。解 ；使的元素个数最少的集合为设是中三个不同元素，且使，由于中仅有2个负数，故只有如下两种可能：所相对的概率为非空有限集的元素个数是3的倍数证明如下：设那么且 由于，但无实数根故同理假设存在，而，那么且假设中有元素，那么利用前述的式可知于是上述推理还可继续，由于为有限集，故上述推理有限步可中止的元素个数为的倍数。满足条件：=，且方程=有等根。(1)求的解析式；(2)是否存在实数m、n(m<n)，使的定义域和值域分别是m，n和3m，3

7、n?如果存在，求出m、n的值；假设不存在，说明理由。.解: (1)由条件易得,7分 (2)假设存在这样的m、n满足条件,由于所以3n即n<1,故二次函数f (x)在区间m,n上是增函数, 从而有16函数的最大值为正实数，集合，集合。1求和；2定义与的差集：且。设，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。3假设函数中， 是2中较大的一组，试写出在区间,n上的最大值函数的表达式。 1，配方得，由得最大值。 ，。 2要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。那么。中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。那么3由2知 17给出函数封闭的定义：假设对于定

8、义域d内的任一个自变量x0，都有函数值f(x0)，那么 称函数y=f(x)在d上封闭。 1假设定义域d1=0，1，判断以下函数中哪些在d1上封闭，且给出推理过程 f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=cosx.； 2假设定义域d2=1，2，是否存在实数a使函数f(x)=在d2上封闭，假设存在， 求出a的值，并给出证明，假设不存在，说明理由。解：1f1()=0Ï(0,1)，f(x)在d1上不封闭；(2¢) f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是减函数，0f2(1)f2(x)f2(0)=1， f2(x)Î(0,1)Þf2(

9、x)在d1上封闭；(4¢) f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函数，0=f3(0)f3(x)f3(1)=1， f3(x)Î(0,1)Þf3(x)在d1上封闭；(6¢) f4(x)=cosx在(0,1)上是减函数，cos1=f4(1)f4(x)f4(0)=1， f4(x)Î(cos1,1)Ì(0,1)Þf4(x)在d1上封闭；(8¢) 2f(x)=5-，假设f(x)在d2上封闭，对a+10讨论如下： 假设a+100,那么f(x)在(1,2)上为增函数，故应有Þa=2 (10¢) 假设a+100

10、，那么f(x)=5，此与f(x)Î(1,2)不合，(12¢) 假设a+100，那么f(x)在(1,2)上为减函数，故应有,无解,(14¢) 综上可得，a=2时f(x)在d2上封闭.181数列的通项公式：，试求最大项的值；2记，且满足1，假设成等比数列，求的值；3理如果，且是满足2的正常数，试证：对于任意自然数，或者都满足；或者都满足。 文假设是满足2的数列，且成等比数列，试求满足不等式：的自然数的最小值。解 1，那么。即的最大项的值为4。 2欲使成等比数列，只需成等比数列。，只需或即可。解得或。 3理，。又，。 ，；或。 文不合题意，据题意，。19、数列中，(1)假设，求；(2)假设，求q, d满足得条件；(3)一个质点从原点出发，依次安向右，向上，向左，向下的方向交替