[理学]第1章-质点运动学

1、1. 描述质点运动的三个必要条件：参考系、坐标系、描述质点运动的三个必要条件：参考系、坐标系、 质点的物理模型；质点的物理模型；2. 质点运动的瞬时性、矢量性和相对性；质点运动的瞬时性、矢量性和相对性；3. 运动描述的相对性。运动描述的相对性。1. 描述质点运动的物理量（位矢、位移、速度、加速描述质点运动的物理量（位矢、位移、速度、加速 度）的矢量定义式及其在直角坐标系、自然坐标系度）的矢量定义式及其在直角坐标系、自然坐标系 中的表示式。中的表示式。 2. 用微积分的方法处理运动学中的两类问题。用微积分的方法处理运动学中的两类问题。第一章第一章 质点运动学质点运动学了解：了解：掌握：掌握：一、

2、参考系一、参考系描述物体的运动指的是描述物体的运动指的是相对运动相对运动 参考系选择原则：描述方便。参考系选择原则：描述方便。 不同参考系中，对物体运动的描述不同。不同参考系中，对物体运动的描述不同。 如：轨迹、速度如：轨迹、速度用来描述物体运动而选作参照的物体或物体系。用来描述物体运动而选作参照的物体或物体系。 人们常用的几种参考系人们常用的几种参考系: 太阳参考系（宇宙飞船太阳运动）太阳参考系（宇宙飞船太阳运动）地心参考系（地球卫星运动）地心参考系（地球卫星运动）地面参考系（地面物体运动）地面参考系（地面物体运动）质心参考系质心参考系运动描述的相对性运动描述的相对性必须选取必须选取参照物参

3、照物二、坐标系二、坐标系 坐标系是以参考系的基点（坐标原点）坐标系是以参考系的基点（坐标原点）对空间进行对空间进行刻度刻度。 坐标系选择原则：描述方便。坐标系选择原则：描述方便。对空间刻度标准对空间刻度标准不同不同 常用的坐标系常用的坐标系:球面坐标系：球面坐标系：直角坐标系：直角坐标系：极坐标系：极坐标系：自然坐标系：自然坐标系： (x , y , z)(r,)(,z)柱面坐标系：柱面坐标系：(r,)(s) 建立不同的建立不同的坐标系坐标系描述同一物体的运动，其数学表述不同描述同一物体的运动，其数学表述不同三、空间和时间三、空间和时间 物质的运动发生在空间和时间之中，要在参考系中定物质的运动

4、发生在空间和时间之中，要在参考系中定量地描述物质的运动就需要测量空间和时间间隔。量地描述物质的运动就需要测量空间和时间间隔。 空间反映了物质的空间反映了物质的广延性广延性。 时间反映的是物理事件发生的时间反映的是物理事件发生的顺序性和持续性顺序性和持续性。 经典时空观：经典时空观：时间与空间是相互独立于物质和物质运时间与空间是相互独立于物质和物质运 动的客观存在。动的客观存在。 相对论时空观：相对论时空观：时间与空间跟物质及其运动密切相关，时间与空间跟物质及其运动密切相关， 彼此不能独立存在。彼此不能独立存在。1秒（秒（s）：铯（）：铯（133）原子基态的两个超精细能级在零磁）原子基态的两个超

5、精细能级在零磁 场中跃迁所对应的辐射的场中跃迁所对应的辐射的9,192,631,770个周个周 期的持续时间。期的持续时间。1米（米（m）：光在真空中时间间隔）：光在真空中时间间隔 (1/299,792,458) s内所内所 经路经的长度。经路经的长度。原子核线度：原子核线度：-1510m分子转动周期：分子转动周期：-1210s国际计量大会定义国际计量大会定义1810 s宇宙年龄：宇宙年龄：171.4 10 s太阳系年龄：太阳系年龄：2610 m宇宙范围：宇宙范围：227.6 10 m银河系半径：银河系半径：四、质点四、质点1. 物体不变形，不作转动物体不变形，不作转动此时物体上任一点可以代表

6、所有点的运动此时物体上任一点可以代表所有点的运动。2. 物体本身线度远小于它活动范围物体本身线度远小于它活动范围此时物体的变形及转动显得并不重要此时物体的变形及转动显得并不重要。看作质点的条件：看作质点的条件： 而真实物体可以看成无穷多质点的集合而真实物体可以看成无穷多质点的集合质点质点 质点系质点系 连续的质点（刚体）连续的质点（刚体） 刚体系刚体系ryxzyo一、质点的位置一、质点的位置位置矢量位置矢量（或（或位矢位矢）：）：质点在质点在P位置的坐标：位置的坐标：(x, y, z)1. 直角坐标系直角坐标系r = op r = xi + yj + zk位置矢量可用单位矢量表示为：位置矢量可

7、用单位矢量表示为：xcos =rycos =rzcos =r位矢的方向用三个方向余弦来表示：位矢的方向用三个方向余弦来表示：222cos = 1-cos -cos 222cos + cos + cos = 1方向余弦满足以下关系：方向余弦满足以下关系： 可以看成可以看成2个变量的函数关系个变量的函数关系 只有只有2个独立。个独立。(x,y,z)ijkxzP= rr 质点位矢方向不变，质点质点位矢方向不变，质点 是否一定作直线运动？是否一定作直线运动？ 质点沿直线运动，其位矢质点沿直线运动，其位矢 的方向是否一定不变？的方向是否一定不变？2. 极坐标系极坐标系ree位置矢量：位置矢量：t时刻时刻

8、，质点在质点在P位置：位置： (r, )rr = op = rer px极轴极轴(r, ) o横向单位矢量横向单位矢量径向单位矢量径向单位矢量极角极角极径极径极点极点随时间变化随时间变化二、运动方程与轨道二、运动方程与轨道 r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)kr = r(t) 质点运动方程质点运动方程在直角坐标系：在直角坐标系：x = x(t)y = y(t) z = z(t)分量形式：分量形式：x = acosty = bsint轨道（方程）轨道（方程）如：如：12222xy+=ab说明：说明： 运动的可叠加性运动的可叠加性 运动方程可以写成分量形式运动方程可以写成分量形

9、式 r(t) = acost i +bsint j位移与初、末时刻位矢的关系：位移与初、末时刻位矢的关系：Ar三、质点的位移三、质点的位移 t 位移：位移： 直角坐标系中：直角坐标系中：BAr = r -r位移的性质：位移的性质：. 矢量性矢量性 位移满足矢量叠加性质。位移满足矢量叠加性质。 t1+ t2时间内的总时间内的总位移：位移：AB1tC2t12t +trBrBBABABAr = (x -x )i +(y -y )j+(z -z )k= xi +yj+zkr = ABAC = AB+BC s路程路程oAsr（两点之间直线最短）（两点之间直线最短）. 与与 的区别的区别rrBAr = r

10、- rBAr = r - rrr标量标量注意：注意：标量与矢量没有可比性！标量与矢量没有可比性！ 只有标量与矢量的模才能比较！只有标量与矢量的模才能比较！（三角形的两边之差小于第三边）（三角形的两边之差小于第三边）t0lims = dsds = dr即：即：t0当当s = r得得. 与与 的区别的区别srt0limr = drt0lim r = dr记：记：元路程元路程元位移元位移元位移的大小元位移的大小rArBrBoAsrArBrBoA元位移方向元位移方向 四、速度四、速度平均速度：平均速度：瞬时速度：瞬时速度：rv =tt0rv = limtdr=dt0 速度的方向速度的方向BAt0 时，

11、时，即：即：0 dr = ds沿沿A点处轨道的切线方向点处轨道的切线方向dr0速度的方向沿速度的方向沿A点处轨道的切线方向点处轨道的切线方向0平均速率：平均速率：sv =t瞬时速率：瞬时速率：t0sv = limtds=dtrArBrBoAs速度方向与速度方向与 同向同向dr 瞬时速度就是很短时间内的瞬时速度就是很短时间内的 平均速度？平均速度？ 能否按照瞬时速度的定义通能否按照瞬时速度的定义通 过实验测量瞬时速度？过实验测量瞬时速度？drv = v =dtdsv =dt 速度的大小速度的大小速度大小与速率相等速度大小与速率相等三、速度的分量形式三、速度的分量形式1. 直角坐标系直角坐标系速度

12、的分量形式：速度的分量形式：速度的大小（速率）为：速度的大小（速率）为：dxdydz=i +j+kdtdtdtdrv =dtxyzv = v i + v j+ v kxyzdxv =dtdyv=dtdzv =dtv = v222xyz=v + v + vdr=dtds = drrArBrBoAs若质点速度矢量的方向若质点速度矢量的方向不变，仅大小改变，质不变，仅大小改变，质点作何种运动？点作何种运动？2.（平面）自然坐标系（平面）自然坐标系s = s(t)坐标坐标:drv =dt速度速度:质点沿质点沿 向运动向运动00dr = ds0dsv =dt0r(t)o oPs0n标量标量沿沿s增加的方

13、向增加的方向指向凹侧指向凹侧0v = v dsv =dt记记:速度的切向分量速度的切向分量速度没有法向分量！速度没有法向分量！v 0质点逆质点逆 向运动向运动0v 0说明说明:有些教科书忽略不记有些教科书忽略不记解：以人距船为解：以人距船为l 的时刻作为计时起点，的时刻作为计时起点，并以此时刻船的位置为原点建立并以此时刻船的位置为原点建立ox坐标坐标系。则系。则t时刻船行驶的路程为：时刻船行驶的路程为：速率：速率：dxv =dt例例：如图，人拉绳子牵引小船运动，人拉绳的速度大小为：如图，人拉绳子牵引小船运动，人拉绳的速度大小为v0，人拉绳距水面的高度为，人拉绳距水面的高度为h。某时刻人与船的距

14、离为。某时刻人与船的距离为l，求船靠岸求船靠岸过程过程的速率。的速率。22220 x(t) =-h( -v t) -hll0vlh22220d=-h( -v t) -hdtll00220v ( -v t)=( -v t) -hllxox瞬时加速度：瞬时加速度：五、加速度五、加速度oABArBrBvAvdrv =dtva =tt0va = limtdv=dt22d r=dt平均加速度：平均加速度：AvBv1. 直角坐标系中的加速度直角坐标系中的加速度dxdydzv =i +j+kdtdtdtxyza = a i +a j+a k2x2d xa =dt2yy2dvd ya =dtdt2zz2dvd

15、 za =dtdt222222d xd yd za =i +j+kdtdtdtxdv=dt大小：大小： a = a222xyz=a +a +a v例：质点的运动方程为：例：质点的运动方程为： 式中式中R、h、 为正的常量。求：为正的常量。求：质点运动的轨道方程；质点运动的轨道方程； 质点的速度大小；质点的速度大小；质点的加速度大小。质点的加速度大小。hx = Rcost, y = Rsint, z =t2222x +y = Rhz =t2xdxv = -Rsintdt22222xyz2hv =v + v + v = R +42xa = -R cost2ya = -R sintza = 0222

16、xya =a +a = R解：解： 轨道方程为轨道方程为空间螺旋线空间螺旋线 螺距为螺距为hydyv = Rcostdtzdzhv =dt22. 自然坐标系中的加速度自然坐标系中的加速度00dsv = v=dtdva =dt00ddv=+ vtdtd22dvd sa =dtdt切向加速度分量：切向加速度分量：反映速度大小的变化反映速度大小的变化反映速度方向的变化反映速度方向的变化0(t+t)0o0) (t0n (t)o？0t大小：大小：00= 2sin()2 t时间内时间内：t0当当0有有0d(v)=dt 0dd= 2 1= d2ABsdsd曲率半径曲率半径:00(t+t)-t(t)=0) (

17、t0n (t)00d/ n00d= dn方向：方向：00dd=dtndt0(t+t)0doABsoddtdv=dt20=vn00ddv= vndtdt法向加法向加速度速度200dvva = +ndt22002d s1 ds= +() ndt dt0n0a = a +a nt0当当有：有：曲率半径的倒数曲率半径的倒数d ds=ds dtd= vds22na =a +anatan =aPana在自然坐标系中，加速度大小：在自然坐标系中，加速度大小： 加速度与速度的夹角：加速度与速度的夹角：242dvv=+dt加速度指加速度指向凹侧向凹侧0taoRx xo六、圆周运动六、圆周运动t0 = limtt

18、0 = limt = (t + t)-(t)角位移：角位移：(t)角位置角位置:v极坐标系中极坐标系中t时刻质点坐标：时刻质点坐标：(R,)角速度：角速度：角加速度：角加速度：ss(t) = R(t)vds=dtd=(R)dtd= Rdt= R自然坐标系：自然坐标系： P角角量量d=dt22dd =dtdtdva =dt2n1a =vd= Rdt= R21=(R)R2= RvkoP 匀角加速圆周运动：匀角加速圆周运动：0t0d =dt0t0d =dt（ 为恒量）为恒量）0 = +t2001 = + t+t22200 - = 2(- )Rv = R200dvva = +ndt角速度角速度法向加速

19、度：法向加速度：解：由速率定义，有解：由速率定义，有：dsv = 2-10tdt2nva =R例：一质点沿半径为例：一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长的圆周运动，它通过的弧长s按按 s=10+2t-5t2 的规律变化的规律变化。求求它在它在t = 2s时刻时刻的速的速度、切向度、切向加速度、法向加速度。加速度、法向加速度。则则t=2s时的速率为：时的速率为：v = 2-10 2 = -18m/s22d sa =dt切向加速度：切向加速度：2= -10 m/s2= 324m/s2(2-10t)=R则则t=2s时法向加速度为：时法向加速度为：2n(2-10 2)a =1得：得： 角位置角

20、位置为为:则得：则得： 即：即： 解：由定义有：解：由定义有： d =dta= R2na = Rnatan45 =1a 2R = R22(9t ) =18t32t =93 = 2+3t例：一质点沿半径为例：一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为的圆周运动，运动方程为 =2+3t3,式中式中 以弧度计，以弧度计，t以秒计以秒计。求：求： t = 2s时，质点的切向时，质点的切向和法向加速度；和法向加速度；当加速度的方向和半径成当加速度的方向和半径成45o角时的角时的角角位置位置。当加速度方向与半径成当加速度方向与半径成45o角时，有：角时，有： t = 2s时，切向和法向加速度为：时，切向

21、和法向加速度为：d =dt2= 9t=18t2=1 182 = 36m /s 222=1 (92 ) =1296m /s 2= 2+3= 2.67rad9 解：将解：将 a = e-v 改写为改写为分离变量得：分离变量得：例：测得作直线运动的质点其加速度为例：测得作直线运动的质点其加速度为a = e-v。测得。测得t=0时时x=0，v=0。求质点的运动方程与速度。求质点的运动方程与速度。积分积分 得：得：-vdv= edtve dv = dtvtv00e dv =dtve -1= tv = ln(t+1)dx = ln(t+1)dt再对上式分离变量得：再对上式分离变量得：积分积分 得：得：xt

22、00dx =ln(t+1)dtx = (t+1)ln(t+1)-(t+1)+1七、运动学中的两类问题之一七、运动学中的两类问题之一得：得： 角位移为角位移为:则得：则得： 即：即： 解：由定义有：解：由定义有： d =dta= R2na = Rnatan45 =1a 2R = R22(9t ) =18t32t =93 = 2+3t例：一质点沿半径为例：一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为的圆周运动，运动方程为 =2+3t3,式中式中 以弧度计，以弧度计，t以秒计以秒计。求：求： t = 2s时，质点的切向时，质点的切向和法向加速度；和法向加速度；当加速度的方向和半径成当加速度的方向和半

23、径成45o角时的角角时的角位移。位移。当加速度方向与半径成当加速度方向与半径成45o角时，有：角时，有： t = 2s时，切向和法向加速度为：时，切向和法向加速度为：d =dt2= 9t=18t2=1 182 = 36m /s 222=1 (92 ) =1296m /s 2= 2+3= 2.67rad9 rr运动的描述有相对性运动的描述有相对性!P经典力学（牛顿力学）的绝对时空观：经典力学（牛顿力学）的绝对时空观：1. 空间间隔的绝对性。空间间隔的绝对性。2. 时间间隔的绝对性。时间间隔的绝对性。 绝对运动：质点对绝对运动：质点对S的运动的运动 牵连运动：牵连运动： S 对对S的运动的运动 相对运动：质点对相对运动：质点对S 的运动的运动0r = r +r绝对位矢绝对位矢牵连位矢牵连位矢相对位矢相对位矢yxzosx