随机变量的数字特征介绍学习教案

1、会计学1随机变量随机变量(su j bin lin)的数字特征介的数字特征介绍绍第一页，共99页。第第4章章 随机变量的数字随机变量的数字(shz)特征特征第2页/共99页第二页，共99页。1随机变量随机变量(su j bin lin)的数学期望的数学期望引例引例 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子瞄准靶子(b zi)相继射击相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下试问试问(shwn):该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?543210151322010309015901390290

2、2090109030命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率knnnk第3页/共99页第三页，共99页。解解平均平均(pngjn)射中环数射中环数射击次数射击次数射中靶的总环数射中靶的总环数 9030520410315213120 90305902049010390152901319020 .37. 3 50kknnk 设射手设射手(shshu)命中的环数为随机变量命中的环数为随机变量 Y .第4页/共99页第四页，共99页。 50kknnk 平均平均(pngjn)射中环数射中环数频率随机波频率随机波动动随机波随机波动动 50kknnk n 50kkpk随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平

3、均平均(pngjn)射中环数射中环数”的稳的稳定值定值? “平均平均(pngjn)射中环数射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加第5页/共99页第五页，共99页。1.1离散离散(lsn)型随机变量的数型随机变量的数学期望学期望()iiiXxEp()E X不存在不存在 |iiixp 第6页/共99页第六页，共99页。所以所以A的射击的射击(shj)技术较技术较B的好的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数XBA射手名称()8 0.39 0.1 10 0.69.3AE X ()8 0.29 0.5 10 0.39.1BE

4、 X 例例 有有A，B两射手，他们的射击技术两射手，他们的射击技术(jsh)如表所示，试如表所示，试问哪一个射手本领较好？问哪一个射手本领较好？解解 A射击射击(shj)平均击中环数平均击中环数为为B射击平均击中环数为射击平均击中环数为第7页/共99页第七页，共99页。 解解 分布分布(fnb)律为：律为： 平均平均(pngjn)废品数为：废品数为： ()1.1 0.40 021(3 0./30.21E X个 天）第8页/共99页第八页，共99页。例例 设随机变量设随机变量X具有如下具有如下(rxi)的分布，求的分布，求E(X).解解 虽然虽然(surn)有有但是但是(dnsh)因此因此E(X

5、)不存在不存在.2ln1) 1(1kkk,1,2,.(221)1kkkkP Xk1kkkPxXx111kkkkkx p12( 1)12kkkkk=?=?第9页/共99页第九页，共99页。1.2连续型随机变量的数学连续型随机变量的数学(shxu)期望期望离散型随机变量离散型随机变量(su j bin lin)X的数学期望为的数学期望为()kkkE Xx p自然自然(zrn)要问连续型随机变量要问连续型随机变量X的数学期望是什的数学期望是什么么?()?E X第10页/共99页第十页，共99页。设设p(x) 是连续型随机变量是连续型随机变量X的密度的密度(md)函数函数,取分点取分点x0 x1xn+

6、1则随机变量则随机变量(su j bin lin)X落在落在xi=(xi, xi+1)中的概率为中的概率为与与X近似的随机变量近似的随机变量Y的数学的数学(shxu)期期望为望为niiiixxpx0)(由微积分知识自然想到由微积分知识自然想到X的数学期望为的数学期望为dxxxp)(1( )( )iiixxiiiixP Xxp x dP Yxxp xx相当小时第11页/共99页第十一页，共99页。()p xEdxXx( )x p x dx ()E X不存在不存在 第12页/共99页第十二页，共99页。其他, 010,2)(xxxp例例 设随机变量设随机变量(su j bin lin)X的概率密度

7、的概率密度函数为函数为试求试求X的数学的数学(shxu)期期望望.dxxxpXE)()(解解32322103102xdxx102xdxx0101( )( )( )pxdxxp xdxxdxp xx0101xdxxdxxdx02x0第13页/共99页第十三页，共99页。xxxp,111)(2dxxxdxxxdxxpx02212111|)(|011)(2dxxxdxxxp例例 若随机变量若随机变量(su j bin lin)X的概率密度的概率密度函数为函数为问随机变量问随机变量X的数学期望的数学期望E(X)是否是否(sh fu)存存在在.解解所以所以(suy)E(X)不存在不存在.但但02202|

8、 )1ln(1)1 (111xxdx第14页/共99页第十四页，共99页。1.3随机变量函数的数学随机变量函数的数学(shxu)期望期望 1()()iiEpg X ()ig x第15页/共99页第十五页，共99页。()( )()dgExXg x ( )p x第16页/共99页第十六页，共99页。 解解 ( )(32)E YEX( 2) 0.331 (0)20.32 33(1) 0.4(2) 0.23.822 6 . 12 . 024 . 013 . 001 . 0)2()()(22222XEZE第17页/共99页第十七页，共99页。(,)(,)iijjE g X Yg xy ijp第18页/共

9、99页第十八页，共99页。(,)( , )ddEp x yxg XyY ( , )g x y第19页/共99页第十九页，共99页。解法解法(ji f)111115()002284284E X 11111()0 00 12 02 184284E XY 第20页/共99页第二十页，共99页。解法解法(ji f)2355()02884E X 711()02884E XY 第21页/共99页第二十一页，共99页。其他, 010 , 10,),(yxyxyxp(, )EdxdypyXYx 例例 设二维随机变量设二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率密度为的概率密度为试求试求XY的数学的

10、数学(shxu)期望期望.解解1100dxdyxy xy()xy13第22页/共99页第二十二页，共99页。1.4数学期望数学期望(qwng)的性质的性质()E XY ()( )aE XbE Ycab() ( )E X E Y第23页/共99页第二十三页，共99页。证明证明(zhngmng) ( )aap x dx( )ap x dx( )xp x dx()E X( )bp x dx( )bp x dxb( )1E CCC 第24页/共99页第二十四页，共99页。证明证明(zhngmng) ()()( )E aXbYcaE XbE Yc2()() ( , )RE aXbYcaxbyc p x

11、y dxdy222( , )( , )( , )RRRaxp x y dxdybyp x y dxdycp x y dxdy()( )aE XbE Yc第25页/共99页第二十五页，共99页。()() ( )E XYE X E Y证明证明(zhngmng) ()( , )E XYxyp x y dxdy ( )( )() ( )XYxpx dxypy dyE X E Y( )( )XYxypx py dxdy 第26页/共99页第二十六页，共99页。解解 第27页/共99页第二十七页，共99页。121()(126)66iE X从而从而(cng r)由期望的性质可得由期望的性质可得 6611()

12、()iiiiE XEXE X1216(126)62166第28页/共99页第二十八页，共99页。221,1( , )0,xyp x y其他第29页/共99页第二十九页，共99页。解解 22221111111()()0 xxxyE XYxydxdyxydy dx2211()0 xyE Xxdxdy2211( )0 xyE Yydxdy()()( )E XYE XE Y第30页/共99页第三十页，共99页。2212112( )( , )1xXxpxp x y dydyx221,11( )0,Xxxpx 其他221,11( )0,Yyypy 其他( , )( )( )XYp x ypxpy第31页/

13、共99页第三十一页，共99页。26()355E X 3323(),0,1,2,355kkkP XkCk解解 第32页/共99页第三十二页，共99页。2随机变量随机变量(su j bin lin)的方差的方差引例引例(yn l) A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：分布律：易知易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法由数学期望无法(wf)判别两种手判别两种手表的优劣表的优劣.但直觉告诉我们但直觉告诉我们A优于优于B,怎么样用数学的方法怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢把这种直觉表达出来呢?第33页/共99页第三十三页，共99页。2( 20)

14、 2( 1 0) 2( 1 0) 2(00)序序号号12345678910误差-2-1-100001122(00)2(00)2(00)2(1 0)2(1 0)2(20)11011011011011011011011011011022222( 20)( 1 0)(00)(11242110100)101010(20) 大小(dxio)反映第一只的质量好坏大小反映(fnyng)十只整体的质量好坏第34页/共99页第三十四页，共99页。2.1方差方差(fn ch)的概念的概念标准差（标准差（Standard variance）: ()()XD X2()Var()D XXEXE X 第35页/共99页第

15、三十五页，共99页。方差的意义方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量取值分散程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示(biosh) X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 则表示则表示(biosh)X 的取值比较集中的取值比较集中, 以以 E(X) 作为随机变量的代表性好作为随机变量的代表性好.第36页/共99页第三十六页，共99页。22()()()D XE XE X证明证明(zhngmng)2()()XEXXDE E 222()()(XX EEXEEX 22)()

16、(XEXE 22()()E XEX定理定理(dngl)222()()XXE XE X第37页/共99页第三十七页，共99页。例例 A，B两种手表的日走时误差两种手表的日走时误差(wch)分别具有如下分别具有如下的分布律，问哪种手表质量好些的分布律，问哪种手表质量好些?2222222222()()( 1) 0.1 0 0.8 1 0.1 0.2()()( 2) 0.1 ( 1) 0.20 0.4 1 0.2 2 0.1 1.2AABBD XE XD XE X 解解 易知易知E(XA)=E(XB)=0.所以所以(suy)由于由于(yuy)D(XA)D(XB),因此因此A手表较手表较B手表的手表的质

17、量好质量好.第38页/共99页第三十八页，共99页。1,10( )1,010,xxp xxx 其他解解 ()( )E Xp x dx01100dxdx2()( )E Xp x dx012210 xdxxdx()D X (1)xx(1)xxx2x(1)x(1)x1622()()E XEX16第39页/共99页第三十九页，共99页。1,01,( , )0,xyxp x y其他第40页/共99页第四十页，共99页。解法解法(ji f)1 2 ,01( )( , )0,Xxxpxp x y dy其他13 10022()( )233XE Xxpx dxxxdxx12224 10011()( )222XE

18、 Xx px dxxxdxx22141()() ()2918D XE XE X第41页/共99页第四十一页，共99页。解法解法(ji f)2 ()( , )E Xdxxp x y dy113 100022233xxxdxdyxxdxx22()( , )E Xdxx p x y dy11223 100011222xxx dxdyxxdxx22141()() ()2918D XE XE X第42页/共99页第四十二页，共99页。2.2方差方差(fn ch)的性质的性质()D XY2()a D X()( )D XD Y第43页/共99页第四十三页，共99页。()()( )D XYD XD Y证明证明

19、(zhngmng)2()()() D XYEXYE XY2() ( )EXE XYE Y22()( )2 ()( )E XE XE YE YEXE XYE Y()( )D XD Y 第44页/共99页第四十四页，共99页。(32 )DXY223()( 2)( )D XD Y 2234( 2)2 D第45页/共99页第四十五页，共99页。3协方差与相关系数协方差与相关系数第46页/共99页第四十六页，共99页。3.1协方差协方差(, ) ()XECovEYXXYEY第47页/共99页第四十七页，共99页。协方差的性质协方差的性质(xngzh)(, )abCov X Y() ( )E X E Y(

20、,)( ,)Cov X ZCov Y Z2Cov(, )abX Y第48页/共99页第四十八页，共99页。证明证明(zhngmng) ( )()( )XYXE YYE XE X E YE)()()(YEXEXYE(, ) ()XECovEYXXYEY()( )()() (EEEXYX E YY E XE X E Y第49页/共99页第四十九页，共99页。证明证明(zhngmng) 2()()()D aXbYcE aXbYcE aXbYc2()( )E aXaE XbYbE Y2222()( )2()( )E aXE Xb YE Yab XE XYE Y22()( )2(, )a D Xb D

21、YabCov X Y第50页/共99页第五十页，共99页。6(43),01( , )170,xyxp x y其他解解 11320006612()(43)(43)171717xE Xxxdydxxx dx 11320006636( )(43)(2)1717217xE Yyxdydxxx dx 1143000663124()(43)(2)17172170 xE XYxyxdydxxx dx (, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y12412664917017171445第51页/共99页第五十一页，共99页。1112(, )(,)nCov X YCov XXXX11121(,)

22、(,)(,)nCov XXCov XXCov XX200B第52页/共99页第五十二页，共99页。3.2相关系数相关系数 协方差的数值在一定程度上反映协方差的数值在一定程度上反映(fnyng)了了X与与Y相互相互间的联系间的联系,但它受但它受X与与Y本身数值大小量纲的影响本身数值大小量纲的影响. 如令（如令（Xcm，Yg）和（）和（Xm,Ykg)都表示同一人群的都表示同一人群的(身高，体重身高，体重),只是单位不一样只是单位不一样,这时这时Xcm与与Yg间的相互联系和间的相互联系和Xm与与Ykg的的相互联系应该是一样的，但是相互联系应该是一样的，但是Cov(Xcm,Yg)=Cov(10Xm,1

23、000Ykg) =100000Cov(Xm, Ykg)引进引进(ynjn)相关系数的概念克服这相关系数的概念克服这一缺点一缺点.第53页/共99页第五十三页，共99页。*()()XE XXD X()( ),()( )XYXE XYE YCovD XD Ymmm第54页/共99页第五十四页，共99页。Cov(, )()( )XYX YD XD Y第55页/共99页第五十五页，共99页。2( , )() e a bE YabX2222()()2( )2()2()E Yb E XaaE YbE XYabE X222()2 ( )02()2 ()2()0eabE XE YaebE XE XYaE Xb

24、第56页/共99页第五十六页，共99页。解方程组得：解方程组得： )(),(0XDYXCovb )(),()()()()(00XDYXCovXEYEXEbYEa)()(min2002,XbaYEbXaYEba)()1 (2YDXY2,min () a bE YabX第57页/共99页第五十七页，共99页。相关系数的性质相关系数的性质(xngzh)： 100XbaYP0),(CovYX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD第58页/共99页第五十八页，共99页。证明证明(zhngmng) 2,min () a bE YabX)()1 (2YDXY200() 0E Yab X( )0

25、D Y 012XY11XY第59页/共99页第五十九页，共99页。证明证明(zhngmng) ()() ( )E XYE X E Y(, )()() ( )0Cov X YE XYE X E Y(, )0()( )XYCov X YD XD Y第60页/共99页第六十页，共99页。第61页/共99页第六十一页，共99页。oXYoooXXXYYY01-10 =1 =-1相关相关(xinggun)情况示意图情况示意图,0YabX b,01P YabX b第62页/共99页第六十二页，共99页。XYnYnXA第63页/共99页第六十三页，共99页。解解 11()sin0( )cos022E Xxdx

26、E Yxdx1()sincos02E XYxxdx(, )()()( )0Cov X YE XYE XE Y0XY第64页/共99页第六十四页，共99页。0),(CovYX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD证明证明(zhngmng) Cov(, )0()( )XYX YD XD Y0=Cov(, )()() ( )X YE XYE X E Y)()()(YEXEXYE),(Cov2)()()(YXYDXDYXD)()()(YDXDYXD第65页/共99页第六十五页，共99页。解解 ()0E XY 第66页/共99页第六十六页，共99页。()0E X 1( )3E Y (, )

27、()()( )0Cov X YE XYE XE Y(, )0()( )XYCov X YD XD Y12(1,1)(1)(1)69P XYP XP Y 第67页/共99页第六十七页，共99页。1(1),1,1( , )40,xyxyp x y其他解解 11111()(1)4E XYdxxyxy dy1111111121(1)4439xxyxy dy dxxdx第68页/共99页第六十八页，共99页。11111()(1)4E Xdxxxy dy11111111(1)042xxy dy dxxdx同理可得同理可得 ( )0E Y1(, )()()( )09Cov X YE XYE XE Y第69页

28、/共99页第六十九页，共99页。 解解 1(, )()( )4 923XYCov X YD XD Y()(2)(2)( )2(2, )D UDXYDXD YCovX Y4()( )22(, )33D XD YCov X Y ( )(2)(2)( )2(2, )D VDXYDXD YCovX Y4()( )2 2(, )17D XD YCov X Y 第70页/共99页第七十页，共99页。( ,)(2,2)Cov U VCovXYXY(2,2)(2, )( ,2)( , )CovXXCovX YCov YXCov Y Y4()( )7D XD Y( , )7( )( )551UVCov U VD

29、 UD V所以所以(suy)因此因此(ync)第71页/共99页第七十一页，共99页。3.3矩与协方差矩阵矩与协方差矩阵(j zhn)() ( ) klEXE XYE Y第72页/共99页第七十二页，共99页。11122122cccc)(21111XEXEc)()(221112XEXXEXEc)()(112221XEXXEXEc)(22222XEXEc第73页/共99页第七十三页，共99页。nnnnnncccccccccC212222111211(,)ijijcCov XX()()iijjEXE XXE X第74页/共99页第七十四页，共99页。第75页/共99页第七十五页，共99页。解解 (

30、)E Xp( )E Yp11()(1)cD Xpp22( )(1)cD Ypp()E XYp1221()() ( )(1)ccE XYE X E Ypp(1)(1)(1)(1)ppppCpppp第76页/共99页第七十六页，共99页。第第4章习题课章习题课数学数学(shxu)期期望望方方 差差离散离散(lsn)型型连续型连续型性性 质质协方差与相关系数协方差与相关系数二维随机变量二维随机变量(su j bin lin)的数学期望的数学期望定定 义义计计 算算性性 质质随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望定定 义义协方差的协方差的性质性质相关系数相关系数定理定理第77页/共99页第七十七

31、页，共99页。随机变量的数学随机变量的数学(shxu)期望期望1()()iiEpg X ()ig x()( )()dgExXg x ( )p x(,)(,)iijjE g X Yg xy ijp(,)( , )ddEp x yxg XyY ( , )g x y第78页/共99页第七十八页，共99页。数学数学(shxu)期望期望的性质的性质()E XY ()( )aE XbE Ycab() ( )E X E Y第79页/共99页第七十九页，共99页。随机变量随机变量(su j bin lin)的方差的方差2()Var()D XXEXE X 22()()()D XE XE X()D XY2()a

32、D X()( )D XD Y第80页/共99页第八十页，共99页。协方差协方差(, )() ( )Cov X YEXE XYE Y(, )abCov X Y() ( )E X E Y(,)( ,)Cov X ZCov Y Z2Cov(, )abX Y第81页/共99页第八十一页，共99页。相关系数相关系数Cov(, )()( )XYX YD XD Y100XbaYP0),(CovYX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD第82页/共99页第八十二页，共99页。oXYoooXXXYYY01-10 =1 =-1相关相关(xinggun)情况示意图情况示意图第83页/共99页第八十三页

33、，共99页。典型典型(dinxng)例题例题题型题型1 随机变量的数学随机变量的数学(shxu)期期望和方差望和方差解解12222017()(2)6E Xxxdxxx dx1201()(2)1E Xx xdxxx dx221()()()6D XE XEX第84页/共99页第八十四页，共99页。第85页/共99页第八十五页，共99页。解解()1 0.150 0.501 0.350.20E X 2222()( 1)0.1500.5010.350.50E X 22()()()0.46D XE XEX第86页/共99页第八十六页，共99页。题型题型2 随机变量随机变量(su j bin lin)函数的数学期望函数