材料力学课件 刘鸿文 第四章弯曲内力X

1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-1 弯曲的概念与实例弯曲的概念与实例AB以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内(包括支反力包括支反力) 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 对称弯曲对称弯曲(平面弯曲）平面弯曲）_固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端24-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化一、支座的几种基本形式：一、支座的几种基本形式：简化原则：最后的计算结果尽可能接近实际简化原则：最后的计算结果尽可能接近实际二、载荷的简化二、载荷的简化集中载荷集中载荷分布

2、载荷分布载荷集中力偶集中力偶2简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA三、静定梁的基本形式三、静定梁的基本形式4-3 剪力和弯矩剪力和弯矩xLBP2aaAP1FAFBFSMP1axFA梁横截面上的梁横截面上的内力分量内力分量:剪力剪力FS：分布内力系主矢，方：分布内力系主矢，方向平行于横截面向平行于横截面弯矩弯矩M：分布内力系主矩，作用：分布内力系主矩，作用在纵向截面内在纵向截面内FSaFBP2LxMFAP2aaxLABP1FBP1axFSFAMFS ：使保留的分离体产生左上：使保留的分离体产生左上右下变形时为正，反之为负。右下变形时为正，反之为

3、负。M: 当梁段的弯曲为向下凸当梁段的弯曲为向下凸时为正时为正,反之为负。反之为负。FSaFBP2LxM剪力剪力:使杆件截开部分产生顺时使杆件截开部分产生顺时针方向针方向 转动者为转动者为 正正,逆时针方向逆时针方向转动者为负转动者为负 。 FSMFSM剪力、弯矩剪力、弯矩符号规定符号规定:左：左：Y = 0，FAFP1FS1= 0mc = 0，M1+FP1（x a） FAx = 0右：右：Y = 0，mc = 0，M+FP2（Lxa）FB（Lx） = 0剪力等于截面以左（或右）所有横向外力的代数和；剪力等于截面以左（或右）所有横向外力的代数和；弯矩等于截面以左（或右）所有外力（包括外力偶）对

4、截面形心力弯矩等于截面以左（或右）所有外力（包括外力偶）对截面形心力矩的代数和。矩的代数和。例、用截面法求图示梁例、用截面法求图示梁FS、 MFAFS1M1FS1aFBFP2LxM1FP2=2 FP1aaxLABFP1FByx解：求反力解：求反力laFFFPPA11laFFFPPB112111PPASFlaFFFaFxlaFaxFxFMPPPA111)(1121PBPSFlaFFFaFxlaFaxlFxlFMPPPB112)()(1FP1axcFA左：左：右：右：FAFP2=2 FP1aaxLABFP1FByx111PPASFlaFFFaFxlaFaxFxFMPPPA111)(1121PBPS

5、FlaFFFaFxlaFaxlFxlFMPPPB112)()(1无论左侧或右侧，总是向上的外力产生正弯矩。无论左侧或右侧，总是向上的外力产生正弯矩。对水平梁某一指定截面而言：对水平梁某一指定截面而言：在它左侧的向上外力，或右侧的向下外力，将产生正剪力；在它左侧的向上外力，或右侧的向下外力，将产生正剪力；FS1M1FS1aFBFP2LxM1FP1axcFA例：求图示梁例：求图示梁II、截面剪力、弯矩截面剪力、弯矩解：解：FS= qa，2MI = qa2右右:FS= qa，MI = qa2a22qqa2 = a22q：FS= qa，a22qM = qa2 = a22q左：左：IIqaFB22qaM

6、BB2qaACaaII：求反力求反力q一、剪力、弯矩方程一、剪力、弯矩方程剪力方程剪力方程FS= FS（x）弯矩方程弯矩方程M = M（x）二、剪力、弯矩图二、剪力、弯矩图剪力、弯矩沿梁轴变化规律的图线剪力、弯矩沿梁轴变化规律的图线横坐标横坐标表示横截面沿梁轴线的位置表示横截面沿梁轴线的位置纵坐标纵坐标表示相应截面上的剪力或弯矩表示相应截面上的剪力或弯矩xxFSxM44 剪力方程、弯矩方程剪力方程、弯矩方程 剪力图、弯矩图剪力图、弯矩图三、实例三、实例例例1、写出图示梁、写出图示梁FS 、M方程方程,并作并作FS 、M图图二、建坐标系二、建坐标系解：一、求反力解：一、求反力FB =LP aFA

7、 =LP b三、求三、求 FS 、M方程方程四、画四、画 FS、M 图图CB：LP aLP bFS（x2）= FA P = P = LP aM（x2）= FB (L x2) = （Lx2）x1x2abPL+PPbLaPLPbL+PaLAC：LP bFS（x1）= FA = LP bM（x1）= FA x1 = x1yAabPxBCLFBFAMxxFS+例例2、求、求FS、M方程，画方程，画FS、M图图解：一、求反力解：一、求反力FA=FB = qL 2二、建坐标系二、建坐标系FS（x）= FAqx = qL 2qxM（x）= FA x （qx）x2三、列方程三、列方程=qLx2 qx22四、作

8、图四、作图M（0）= 0M（L）= 0qL2+qL2FAABCxLqFBML2（ ） =qL28MxxFS（令（令M（x）=0）qL28写FS、M方程、画FS、M图步骤1、求支反力、求支反力;2、定坐标、定坐标（注意分段）（注意分段）;3、列内力方程、列内力方程:在集中力作用处在集中力作用处;在在M作用处作用处;在在q作用的起点、终点截面处作用的起点、终点截面处;4、画图、画图:判断各段图形状判断各段图形状;求控制面内力数值：求控制面内力数值：直线直线首点首点末点末点曲线曲线首点首点末点末点极点极点分段根据分段根据x1x2yAabPxBCL在各段内任选一截面，用变量表示该截面位置，在各段内任选

9、一截面，用变量表示该截面位置，写出该截面剪力、弯矩，即为相应段内力方程；写出该截面剪力、弯矩，即为相应段内力方程；约定约定：q（x）向上为正）向上为正:0Y 0 xdFxFdxxqxFSSS xqdxxdFS, 0CM dMMdxFdxxdxqxMS2 SFdxxdM求导再利用求导再利用 xqdxMd22dxFS(x)+d FS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)q(x)dxCyP1M0P2xq(x)x45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系一、微分关系一、微分关系abPL+PbL+PaLyAabPxBCLMxxFS+qL2+qL2ABCLqMxxFSqL281.

10、1. q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为直线；剪力图为直线；M M(x(x) ) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力的一次函数，剪力图为斜直线；图为斜直线；M M(x(x) ) 为为 x x 的二次函数，弯的二次函数，弯矩图为抛物线。矩图为抛物线。分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形；分布载荷向下（分布载荷向下（q q 0 0），抛物线呈凸形。），抛物线呈凸形。3.3. 剪力剪力F Fs s=0=0处，弯矩取极值。

11、处，弯矩取极值。4.4. 集中力作用处，剪力图突变；集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变集中力偶作用处，弯矩图突变载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：FSFBFAFSFSFS二、二、q（x）、）、 FS 、M之间的积分关系之间的积分关系abbaSSdxxqaFbF)()()()(xqdxdFSbabaSdxxqdF)(SdFdxdM同理，由同理，由baSdxFaMbM)()( 梁任意两截面间的剪力改变量等于这两截面之间的梁段梁任意两截面间的剪力改变量等于这两截面之间的梁段上的分布载荷之合力；上的分布载荷之合力； 梁任意两截面间的弯矩改变量等于这两截面之间的梁段

12、梁任意两截面间的弯矩改变量等于这两截面之间的梁段上的剪力图的面积上的剪力图的面积例：已知梁例：已知梁FS图，求梁上载荷图与图，求梁上载荷图与M图图解：解：斜率：斜率：050 = +2qq = 25kN/m或或E、D间：间：FS = 100kN/m4q = 100kN/m ,q = 25kN/mMB0 = 50kNmME （50） = 50kNmME =050kN50kN100kNq=25kN/m50kN50kN50kNAB E CD1m 1m2m2mxFS+50kNm50kNmMx+微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控根据载荷及

13、约束力的作用位置，确定控制面。制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。矩数值。建立建立F FS S一一x x和和M M一一x x坐标系，并将控制面上坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。与弯矩图。 BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNBA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题：例题：简支梁受力的大小简支梁受力的大小和方

14、向如图示。和方向如图示。试画出试画出其剪力图和弯矩图。其剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 目录(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标坐标系系

15、5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线4 4应用截面法确定控制应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并面上的剪力和弯矩值，并将其标在将其标在 F FS S x x和和 M Mx x 坐标系中。坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS (kN)O0.89 kN=1.11 kN（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN0.89 kN F FFyFy1.11 kN1.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、B两侧截面。两侧截面。 FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截面左

16、测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs（ kN）0.891.11做法做法 4 4从从A A截面左测开始画截面左测开始画弯矩图。弯矩图。 M（ kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.11从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右1.67(-)(-)0.3351.335qBAFAyFBy例题：例题：试画出梁剪力图和弯试画出梁剪力图和弯矩图。矩

17、图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00，BAMM求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaFqaFByAy4349,qa2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左左侧的截面，也都是控制面。侧的截面，也都是控制面。 C（+）（-）（+）qBAFAyFByC3 3建立坐标系建立坐标系建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx4 4确

18、定控制面上的确定控制面上的剪力值，并将其标剪力值，并将其标在在F FS Sx x中。中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5 5确定控制面上的确定控制面上的弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M Mx x中。中。qa49qa43 （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力2 2确定控制面，确定控制面，即即A A、B B、D D两侧截面。两侧截面。 3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4qa（+） M （+） （-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/

19、4qa4 4求出剪力为零的点求出剪力为零的点到到A A的距离。的距离。 B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2ABAB段段为上凸抛物线。且有为上凸抛物线。且有极大值。该点的极大值。该点的弯矩为弯矩为 1/21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5从从A A截面左测开始画弯截面左测开始画弯矩图矩图 4/9a 81qa2/32qa2（-）（-）（+）（+）（-） Fs例题例题: :试画出图示有中间铰试画出图示有中间铰梁的梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqa2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2q